優(yōu)秀實驗報告二-上海交通大學數(shù)學系

1、個人住房抵押貸款及其它金融問題的數(shù)學模型顏齊，F(xiàn)，4指導老師 陳賢峰上海交通大學機械與動力工程學院目錄個人住房抵押貸款及其它金融問題的數(shù)學模型1一、實驗背景1二、實際任務及相應解法12.1 制定住房商業(yè)性貸款利率表和（月）還款表22.2 請自己到銀行了解最新住房貸款利率，試制作一張為期120年的貸款利率表和（月）還款表22.3 一個購房貸款的比較42.4 還款周期比較52.5 某保險公司的推出結(jié)合養(yǎng)老的壽險計劃62.6 金融公司的支付基金問題一92.7 等額本息與等額本金還款102.8 金融公司的支付基金問題二122.9 國債收益率問題13三、小程序說明14四、對某些任務的分析討論154.1

2、任務2.5的思路一與思路二之爭154.2 任務2.5思路2中的計算方法16五、結(jié)語17一、 實驗背景個人住房商業(yè)抵押貸款是常見的一種額度大、期限長的貸款形式，每期還款的數(shù)額根據(jù)貸款期限的長短、年利率的高低、還款方式（等額本息、等額本金）、還款周期的不同而不同，這些因素的變更會導致累計支付的利息有一定差異。在數(shù)額較大的貸款中，這種差異有時還會有相當大的區(qū)別，因此有必要建立數(shù)學模型研究其對分期還款的具體影響。此外，對于養(yǎng)老保險、人壽保險、基金流動等問題，利率、周期等因素對結(jié)果也有不同程度的影響，可通過數(shù)學模型定量探究。二、 實際任務及相應解法2.1 制定住房商業(yè)性貸款利率表和（月）還款表2.1.1

3、 模型建立依照PPT的暗示，這種情況下為等額本息、按月還款的模式，否則采用等額本金還款辦法的話，每月還款額將會有變化。輸入還款期限年數(shù)K、年利率R、貸款總額A0，可得到總期次n=12K、月利率r=R/12，設Ak為完成第k期還款后還剩下的欠款總額，則有:Ak=Ak-1*1+r-m (k=0,1,2)m為等額本息下每月的固定還款額度。迭代后可以得到Ak=A0*1+rn-1+rn-1*m/r從而可得每期還款額m=A0*1+rn*r/1+rn-12.1.2 MATLAB代碼function m=function_1(yr,rate)if(nargin=2) error(輸入的參數(shù)不正確);else

4、r=0.01*rate/12; n=yr*12; m=10000*(1+r)n*r/(1+r)n-1);end2.1.3 運行結(jié)果(以2年、6.25%利率為例，詳細列表見任務2) function_1(2,6.25)ans = 444.3334此即為2年期、6.25%年利率的貸款，按等額本息的還款模式的每月還款額。完整的表格請見任務2的結(jié)果。2.2 請自己到銀行了解最新住房貸款利率，試制作一張為期120年的貸款利率表和（月）還款表2.2.1 模型建立基本思路與2.1一樣，只是輸入了具體真實的年利率和貸款期限。查得 招商銀行官網(wǎng)人民幣貸款基準利率/Cm

5、bWebPubInfo/CDRate.aspx?chnl=cdrate：貸款年限年利率0-6月(含6月)4.35%6月-1年(含1年)4.35%1-3年(含3年)4.75%3-5年(含5年)4.75%5-30年(含30年)4.90%由此，修改代碼，使之輸入貸款期限之后內(nèi)部自動匹配年利率，然后輸出表格。2.2.2 MATLAB代碼function function_2()A=zeros(2,30);clc;for yr=1:30 if(yr=1) rate=4.35; else if(yr=5) rate=4.75; else if(yr20) N=n-40此題中認為所有補貼來自繳納保費產(chǎn)生的本

6、息和，即有FN=0經(jīng)驗算，此方法無法得出合理的年利率，故放棄，下面部分所采用的是思路二。思路二：設投保人所獲得的全部補貼等效于其繳納的保金及利息在其離世那一年的總和。有下列關(guān)系式：Fk=1+r*Fk-1+p (k=1,2,3,N)p=1540 (k=1,2,320)0 (k20)N=n-40FN=總補貼金（59000或69000）2.5.2 MATLAB代碼function funcion_5()clc;n=input(請輸入投保人壽命：);if(n70&n=75&n20) p=0; end %定義F(k)迭代規(guī)則 if(k=1) F(k)=p; else F(k)=(1+r)*F(k-1)+

7、p; end end % disp(Q); %disp(F(N); if(abs(F(N)-sum)0.1) disp(計算失??！); return; endendend2.5.3 運行結(jié)果請輸入投保人壽命：74計算成功！等效年利率為： 0.0275請輸入投保人壽命：76計算成功！等效年利率為： 0.0315由于沒有采用手動推到迭代方程的辦法，我直接讓年利率r在for循環(huán)中不斷疊加（步長為1e-9），通過控制F(N)與補貼金總額sum的差值（精度為1元），來達到求解的目的。這種辦法資源消耗量大，但代碼簡單易懂，計算時間較長。 對結(jié)果本身來看，似乎投保人壽命越長其收益效果越好，等效年利率越高，這

8、也是符合常識的。擴大壽命的范圍，可以得出年利率r與壽命n的關(guān)系，如下圖所示：從這里我們可以清晰地看到，在思路二指導下，等效年利率并不是隨著年齡的增長而增大。由于75歲時會發(fā)放高達10000元的補貼金，因此74歲75歲等效年利率會發(fā)生突然增大。實際上不發(fā)放補貼金的歲月里，壽命越長、等效年利率反而越低，這是由于60歲之后就不再繳納保金的緣故，60歲后的本息和增長能力不如60歲之前的本息增長能力強，表現(xiàn)為在相鄰兩次發(fā)放補貼金的年齡區(qū)間內(nèi)，年利率隨壽命增長的下降。2.6 金融公司的支付基金問題一總額$540萬基金,放置A公司和B公司，要求：周末結(jié)算時總額仍為$540萬。每過一周，A 城公司基金10 B

9、 城公司，A 城公司 B 城公司基金12。A公司基金額A0$260萬，B公司基金額B0$280萬。現(xiàn)有問題：資金流動趨勢？會否少于警戒數(shù)220(萬)？2.6.1 模型建立設第k周末結(jié)算時,A城公司和B城公司支付基金數(shù)分別為ak和bk(單位:萬美元),則有：ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk既然已經(jīng)知道初始值，通過嵌套for循環(huán)進行迭代即可觀察出ak+1、bk+1在k時趨緊的值。2.6.2 MATLAB代碼function function_6()clc;a(1)=260;b(1)=280;for N=10:10:200for k=1:N a(k+1)=0.9*

10、a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k);enddisp(迭代次數(shù)為：N=,num2str(N),，a(N+1)=,num2str(a(N+1),b(N+1)=,num2str(b(N+1),，資金總和為：,num2str(a(N+1)+b(N+1),萬元);end2.6.3 運行結(jié)果迭代次數(shù)為：N=10，a(N+1)=291.6658,b(N+1)=248.3342，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=20，a(N+1)=294.3054,b(N+1)=245.6946，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=30，a(N+1)=294.5254,b

11、(N+1)=245.4746，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=40，a(N+1)=294.5438,b(N+1)=245.4562，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=50，a(N+1)=294.5453,b(N+1)=245.4547，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=60，a(N+1)=294.5454,b(N+1)=245.4546，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=70，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=80，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)

12、為：N=90，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=100，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=110，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=120，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=130，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=140，a(N+1)=294.5455,b(

13、N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=150，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=160，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=170，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=180，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元迭代次數(shù)為：N=190，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元

14、迭代次數(shù)為：N=200，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，資金總和為：540萬元通過以上可見，資金流動的趨勢是A城市資金稍稍增多，B城市資金稍稍減少，都在第30-40個周末進行結(jié)算之后保持穩(wěn)定。在N時，aN+1294.5455萬元、bN+1245.4545萬元。ak+1、bk+1都沒有小于220萬元的風險，不會低于警戒值。2.7 等額本息與等額本金還款個人住房抵押貸款還款方式主要有兩種：等額本息還款法、等額本金還款法。等額本息還款法，即把按揭貸款的本金總額與利息總額相加然后平均分攤到還款期限的每個月中，本案例屬此種情形；等額本金還款法：貸款人將本金分攤到每個月內(nèi),

15、同時付清上一交易日至本次還款日之間的利息。假設小張夫婦貸款10000元，貸款兩年，年利率6.255%，按月還款。請建立數(shù)學模型并求解若小張夫婦按等額本金還款法，月還款額是多少（列表表示）？并比較等額本息還款法與等額本金還款法哪種方法還的利息多，并解釋說明。2.7.1 模型建立設貸款額度為A0，年利率為R，月利率為r=R/12，總期次n=year*12，第k月還款額為mk元，則有下列的關(guān)系式：mk=A0n+r*Ak-1Ak=(1+r)Ak-1-mk=1+rAk-1-A0n-r*Ak-1=Ak-1-A0n通過第2個差分方程可以得出Ak=A0-k*A0n從而得到mk=A0n+r*A0-k-1*A0n

16、=A0(1+r(1+n-k)n)由此即可容易地算出每月還款額，總而得出總還款金額。2.7.2 MATLAB代碼function function_7()clc;a0=10000*input(請輸入貸款總額（萬元）：);R=input(請輸入年利率（%）：);r=R*0.01/12;n=12*input(請輸入貸款年份：);m=zeros(n,1);row=cell(n,1);for k=1:n m(k)=a0*(1+r*(1+n-k)/n; rowk=第,num2str(k),期;endarray2table(m,rownames,row,variablenames,money)disp(總還

17、款利息為：,num2str(sum(m)-a0);end2.7.3 運行結(jié)果請輸入貸款總額（萬元）：1請輸入年利率（%）：6.255請輸入貸款年份：2ans = money _ 第1期 468.79 第2期 466.62 第3期 464.45 第4期 462.28 第5期 460.1 第6期 457.93 第7期 455.76 第8期 453.59 第9期 451.42 第10期 449.24 第11期 447.07 第12期 444.9 第13期 442.73 第14期 440.56 第15期 438.39 第16期 436.21 第17期 434.04 第18期 431.87 第19期 4

18、29.7 第20期 427.53 第21期 425.35 第22期 423.18 第23期 421.01 第24期 418.84總還款利息為：651.5625本案例中，A0/n=416.67元，可見隨著期數(shù)的增加還款額中利息的占比越來越低，本金占比相對提高，還款額越來越接近平均的本金。在任務4中，可以算得相同年限、貸款額的按月等額本息還款模式中，累計還款為：10664.5443、累計支付利息為：664.5443，可見等額本金比等額本息還款總利息更少。但是弊端在于一開始還的錢比較多，后面逐漸減少，等額本息則是所有期次還的錢一樣多。等額本息之所以還款錢數(shù)較多，是因為每期的還款時主要用來支付了利息，

19、抵扣的可增值利息的本金較少，因此利息增值能力更強，總利息較多。等額本金則是將定額抵扣本金，使之增值利息的能力不斷減小，從而抑制了利息的增長。2.8 金融公司的支付基金問題二根據(jù)兩地公司的業(yè)務情況，該金融機構(gòu)決定在每周末結(jié)算時，將A城公司的基金增加$6萬，相應地B城公司的支付基金減少$6萬. 此時，機構(gòu)中一位的職員(他曾就讀于某大學數(shù)學系)向機構(gòu)負責人建議將增減數(shù)額改為$5.5萬. 試問機構(gòu)負責人是否應該采納這個建議，為什么？2.8.1 建模過程這道題是2.6的擴展，只需要在每次迭代時改變ak,bk的量即可。2.8.2 MATLAB代碼function function_8()clc;a(1)=

20、260;b(1)=280;S=6;for N=1:1:500for k=1:N a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k)+S; b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k)-S;endif(a(N+1)=220|b(N+1)每周轉(zhuǎn)移5.5萬元：計算成功！每周轉(zhuǎn)移金額為5.5萬元時，迭代次數(shù)為N=500，則a(N+1)=319.5455,b(N+1)=220.4545，資金總和為：540萬元由此可見，該職員的判斷無誤，每周轉(zhuǎn)移5.5萬元可以使兩城市的基金在不低于警戒值的情況下達到穩(wěn)定，每周轉(zhuǎn)移6萬元在第15周周末時就出現(xiàn)了B城基金額低于220萬元警戒值的情況，不符合要求。2.9

21、國債收益率問題2002年10月24日發(fā)行的面值100元年利率2.65%的5年期記帳式國債，期內(nèi)每年10月24日派發(fā)利息2.65元.設在2005年3月31日，該國債的收盤價格F99元，投資者購買該國債需要支付上次派息日到購買日的利息(依天數(shù)計息)，還需上兩項總數(shù)的0.1%為手續(xù)費.如果投資者到期再取出本息，其間獲得的利息也按年利率2.65%計息，那么他購入的國債平均年收益率是多少？2.9.1 建模過程設年利率為R，日利率為r=R/365，投資者購買時需要支付的利息為逐日計算的利息， 100*（1+r）(158)，據(jù)此可計算手續(xù)費，再根據(jù)購買后獲得的收益計算平均年利率即可。計算年均利率時認為購買期

22、限為3年。2.9.2 MATLAB代碼function function_9()clc;r=2.65*0.01/365;ints=100*(r)158;pay=(99+ints)*(1+0.1/100);gets=2.65*3+100;fr=(r)pay*(1+r)3-gets;disp(等效年利率為,num2str(100*fzero(fr,0),%);end2.9.3 運行結(jié)果等效年利率為2.8927%由此可見，中間降價時買入的利率為2.8927%，比一開始買入的2.65%要高。三、 小程序說明為了便于計算不同貸款金額、貸款期限、年利率、還款周期、還款方式（等額本息、等額本金）等對每一期次

23、還款金額、累計支付利息的影響，我用C+平臺的MFC制作了一款簡單的小程序，截圖及簡單工作流程圖如下：將每期還款額、總支付額呈現(xiàn)在列表中計算總期次，每期利率；根據(jù)還款方式迭代出每期還款額選擇還款方式、還款周期輸入貸款金額、貸款期限、年利率本程序可以計算很大數(shù)額的貸款金額，精度為小數(shù)點后三位，并且通過列表的辦法展示出了每期還款額度以及該期還款完后的剩余款項，基本滿足了一般性貸款的計算需求。四、 對某些任務的分析討論4.1 任務2.5的思路一與思路二之爭下面先簡要敘述原始題目：若40歲的男性投保人每年交保險費1540元，交費期20年至60歲則在他生存時期，45歲時(投保滿5年)可獲返還補貼4000元

24、，50歲時可獲返還補貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補貼；而在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20000元。試分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費所獲得的實際年利率是多少？若該投保人的壽命為74歲，其交保險費所獲得的實際年利率又是多少？兩種情況下，投保人均需繳納同等數(shù)目的金額，但74歲離世與76歲離世所獲得的保險費不同，等效年利率也不同，需要計算。74歲離世時獲得總保險費=4000+5000+6000+7000+8000+9000+20000=59000元；76歲離世時獲得總保險費為4000+5000+6000+7000+8000+9000+10000+2000

25、0=69000元。思路一：設投保人在投保后第k年所交保險費及利息之和為Fk元，假設投保人所得到的錢全部由其繳納的保費以及利息生成，可以得到：Fk=1+r*Fk-1+p-q (k=1,2,3,N)p是每年繳納的保費；q為當年領(lǐng)取的補貼，沒發(fā)放補貼時為0；N=n-40,n為壽命。它們滿足以下的條件F0=0q=3000+1000*k5 (k=5,10,15,20)0 (其它)p=1540 (k=1,2,320)0 (k20) N=n-40此題中認為所有補貼來自繳納保費產(chǎn)生的本息和，即有FN=0經(jīng)驗算，此方法無法得出合理的年利率，故放棄。思路二：設投保人所獲得的全部補貼等效于其繳納的保金及利息在其離世那一年的總和。有下列關(guān)系式：Fk=1+r*Fk-1+p (k=1,2,3,N)p=1540 (k=1,2,320)0 (k20)N=n-40FN=總補貼金（59000或69000）我個人更傾向思路一的做法，無奈算不出結(jié)果，向老師發(fā)過郵件懇請幫助，但截止撰寫報告時未