2011高考數(shù)學總復習 計數(shù)原理與排列組合課件.ppt

1、計數(shù)原理與排列組合,2011高考導航,1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理會用兩個原理分析和解決一些簡單的實際問題 2.理解排列、組合的概念 3.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式 4.能解決簡單的實際問題,2011高考導航,1.計數(shù)原理內(nèi)容考查比較穩(wěn)定，試題難度起伏不大；排列組合題目一般為選擇、填空題，考查排列組合的基礎(chǔ)知識、思維能力，多數(shù)試題與教材習題的難度相當，但也有個別題難度較大。 2考查熱點為排列組合與兩個計數(shù)原理結(jié)合命題。,基 本 原 理,組合,排列,排列數(shù)公式,組合數(shù)公式,應(yīng) 用 問 題,1、知識結(jié)構(gòu),一。復習回顧,2。分類記數(shù)原理，分步記數(shù)原理,3。排列與組合,4。

2、解排列組合問題基本思路,排列組合問題,有序,無序,排列,組合,分類或分步,分類或分步,直接法,直接法,間接法,不易解,不易解,5。解排列組合問題的常見方法,（1）特殊元素（位置）優(yōu)先安排。 （2）多個限定條件或含“至多”、“至少”問題，合理分類合理分步。 （3）排列組合混合問題一般要先組合后排列，先整體后局部。 （4）正難則反，等價轉(zhuǎn)化。 （5）相鄰問題，捆綁法。 （6）不相鄰問題，插空法。 （7）定序問題、平均分組問題用除法。 （8）相同物品分配問題、名額分配問題用隔板法。 （9）數(shù)的大小排列問題，查字典法。 （10）可重復元素排列問題，住店法.,基礎(chǔ)知識梳理,二、題型與方法,【例1】如圖，

3、用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？,題型1 涂色問題,解法一（分步法）如題圖分四個步驟來完成涂色這件事需分為四步，第一步涂A區(qū)有5種涂法；第二步涂B有4種方法；第三步涂C有3種方法；第四步涂D有3種方法(還可以使用涂A的顏色)，根據(jù)分步計數(shù)原理共有5433180種涂色方法,解法二：由于A、B、C兩兩相鄰，因此三個區(qū)域的顏色互不相同，共有 60種涂法；又D與B、C相鄰、因此D有3種涂法；由分步計數(shù)原理知共有603180種涂法,2011高考導航,解法三（分類法）：完成涂色的方法分為兩類，第一類：四個區(qū)域涂四種不同

4、的顏色共有 120種涂法； 第二類：四個區(qū)域涂三種不同的顏色，由于A、D不相鄰只能是A、D兩區(qū)域顏色一樣，將A、D看做一個區(qū)域，共 60種涂法 由分類計數(shù)原理知共有涂法12060180(種),方法總結(jié)： 對涂色問題，有兩種解法，法1是逐區(qū)圖示法，注意不相鄰可同色. 法2根據(jù)用色多少分類法.,變式1 如下圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有_ 種(以數(shù)字作答) 答案：72,題型2 可重復元素排列問題,【例2】若Aa1，a2，a3，a4，Bb1，b2，b3試問從A到B可建立多少種 不同的映射？,解答：（住店法）完成建立一

5、個從A到B的映射需要分成四步，第一步：a1與B中唯一的元素對應(yīng)有3種方法；第二步：a2與B中唯一的元素對應(yīng)有3種方法； 第三步：a3與B中唯一的元素對應(yīng)有3種方法； 第四步：a4與B中唯一的元素對應(yīng)有3種方法由分步計數(shù)原理，可建立從A到B的映射共有3481(個),方法小節(jié)： 解決“允許重復排列問題”常用“住店法”，要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,變式2. 1.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多 少？五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，獲得冠軍的可能性有多少種？

6、解答：報名的方法種數(shù)為4444445(種) 獲得冠軍的可能情況有555554(種).,2.將3種作物種植在如下圖的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有_種(以數(shù)字作答) 解析：32222 242. 答案：42,題型3 在與不在的排序問題,常見的排列問題有三種：(1)排隊；(2)排數(shù)；(3)排課程表對于“在”或者“不在”的排列問題的計算方法主要是：(1)位置優(yōu)先法；(2)元素優(yōu)先法；(3)間接計算法,【例3】甲、乙、丙、丁四名同學排成一排，分別計算滿足下列條件的排法種數(shù) (1)甲不在排頭、乙不在排尾； (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁

7、不在第四位； (3)甲一定在乙的右端(可以不鄰),解答：(1)（直接法）分為兩類，第一類甲排在排尾共有 6種排法，第二類，若甲在排尾共有 8種排法，由分類計數(shù)原理知共有： 14(種) 也可間接計算： 14(種),（2）（樹圖法）,位置 1 乙 丙 丁 2 甲 丁 丙 甲 丁 甲 丙 3 丁 甲 丁 丁 乙 甲 乙 乙 甲 4 丙 丙 甲 乙 甲 乙 丙 甲 乙,由樹圖可知有9種不同排法.,（3）可先排丙、丁有 種排法，則甲、乙只有一種排法，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列共有 112(種)或看作定序問題 12.,方法總結(jié),(2).位置分析法,在解有限定位置的排列問題時，首先考慮特殊位置的安排方法，

8、再考慮其他位置的排法。,(3).間接法又叫排除法，在解有限定條件的排列問題時，首先求出不加限定條件的排列數(shù)，再減去不符合條件的排列數(shù)。,(1).元素分析法,在解有限定元素的排列問題時，首先考慮特殊元素的安排方法，再考慮其他元素的排法。,(4)樹圖法又稱框圖法，用樹圖或框圖列出所有排列（或組合），從而求出排列數(shù)。是解決多個限定條件的排列組合問題的常用法.,(5)消序法，定序問題、部分相同元素排列問題、平均分組問題常用此法，先將所有元素全排列，再將特殊元素在其位置上換位情況消去（通常除以特殊元素的全排列數(shù)），只保留指定的一種順序。 。,變式3. (1)從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四

9、個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6個人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有() A300種 B240種 C144種 D96種 (2)安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的種數(shù)是_(用數(shù)字作答) 解析：(1) 240. (2) 答案：(1)B(2)78,題型4 排列中的“相鄰”、“不相鄰問題”,【例4】 a1，a2，a8共八個元素，分別計算滿足下列條件的排列數(shù) (1)八個元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個元素排在一起； (2)八個元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個元素互不相鄰； (3)八個元素

10、排成一排，且a1，a2，a3，a4四個元素互不相鄰，并且a5，a6，a7，a8也互不相鄰； (4)排成前后兩排每排四個元素,解答：(1)（捆綁法）先將a1，a2，a3，a4四個元素看成一個元素與a5，a6，a7，a8排列一排，有 種排法，再排a1，a2，a3，a4有 不同排法，根據(jù)分步計數(shù)原理知滿足條件的排列數(shù)為 2 880.,(2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四個元素排成一排，有 種排法；再將元素a1，a2，a3，a4插入由a5，a6，a7，a8間隔及兩端的五個位置中的四個，有 種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為 2 880.,(3)先排a5，a6，a7，a8，；共有 種

11、排法；然后排a1，a2，a3，a4排在或中的共有2 種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有 2 1 152種排法 (4)前排有 種排法，后排有 種排法，由分步計數(shù)原理知共有 8！種排法,方法總結(jié),（1）若某些元素必須相鄰，常用捆綁法，即先把這幾個相鄰元素捆在一起看成一個元素，再與其他元素全排列，最后再考慮這幾個相鄰元素的順序。,（2）若某些元素不相鄰，常用插空法，即先將普通元素全排列，然后再從排就的每兩個元素之間及兩端選出若干個空擋插入這些特殊元素。,(3)前后排問題，直排法.,變式4 4個男同學，3個女同學站成一排 (1)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？ (2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有

12、多少種不同的排法？ (3)其中甲、乙兩同學之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？ (4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？ (5)女同學從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個女生身高互不相等),解答：(1)3個女同學是特殊元素，我們先把她們排好，共有 種排法；由于3個女同學必須排在一起，我們可視排好的女同學為一整體，再與男同學排隊，這時是5個元素的全排列，應(yīng)有 種排法，由分步計數(shù)的原理,有 720種不同排法 (2)先將男生排好，共有 種排法，再在這4個男生的中間及兩頭的5個空檔中插入3個女生有 種方案，故符合條件的排法共有 1 440種不同排法,(3)甲、乙2人先排

13、好，有 種排法，再從余下5人中選3人排在甲、乙2人中間，有 種排法，這時把已排好的5人視為一整體，與最后剩下的2人再排，又有 種排法，這樣總共有 720種不同排法,(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 種排法；由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有 種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空檔中有 種排法這樣，總共有 960種不同排法,(5)從7個位置中選出4個位置把男生排好，則有 種排法然后再在余下的3個空位置中排女生，由于女生要按身體高矮排列，故僅有一種排法這樣總共有 840種不同排法.,題型5 組合問題,【例5】7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，試問：

14、(1)每個盒子都不空的放法共有多少種？ (2)某些盒子可空的放法共有多少種？,解析（1）將7個相同小球，放入4個不同盒子，每個盒子不空，即相當于把7個相同小球分成4組，每組都有小球，一種分法對應(yīng)一種放法，先將7個小球排成一排有1種排法，在小球的中間的6個空擋中選3個放入隔板，有 放法，故滿足條件放法共有 種.,(2)將7個相同小球，放入4個不同盒子，某些盒子可空，即相當于把7個相同小球分成4組，某些小組可以沒小球，需要3個隔板，一種分法對應(yīng)一種放法，先將7個小球與3個隔板所在位置排成一排有1種排法，再在這10個位置中選3個放入隔板其余放小球，有 放法，故滿足條件放法共有 種.,隔板法，又叫隔墻

15、法，插板法，n件相同物品（n個名額）分給m個人，名額分配，相同物品分配常用此法。 若每個人至少1件物品（1個名額），則n件物品（n名額）排成1排，中間有n-1個空擋，在這個n-1空檔選m-1個空擋放入隔板，隔板1種插法對應(yīng)1種分法，所以有 種分法。,若允許有人分不到物品 ，則先把n 件物品和m-1塊隔板排成一排，有n+m-1個位置，從這個位置中選m-1個位置放隔板，有 種方法，再將n件物品放入余下的位置，只有1種方法，m-1塊隔板將物品分成m塊，從左到右可看成每個人分到的物品數(shù)，每1種隔板的放法對應(yīng)一種分法，所以共有 種分法。,變式3.(1)計算xyz6的正整數(shù)解有多少組； (2)計算xyz6的非負整數(shù)解有多少組,(本題滿分4分)某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工