概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案非常全很詳細(xì)

第1頁共101頁1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)旦大學(xué)此答案非常詳細(xì)非常全，可供大家在平時(shí)作業(yè)或考試前使用，預(yù)祝大家考試成功習(xí)題一1略見教材習(xí)題參考答案2設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件（1）A發(fā)生，B，C都不發(fā)生；（2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3）A，B，C都發(fā)生；（4）A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；（5）A，B，C都不發(fā)生；（6）A，B，C不都發(fā)生；（7）A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生；（8）A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）ABCCBABCACABABCBABC567BCACABCAB8ABBCCAABACBCABCB3略見教材習(xí)題參考答案4設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）07,PAB03，求P（）AB【解】P（）1P（AB）1PAPAB10703065設(shè)A，B是兩事件，且P（A）06,PB07,求（1）在什么條件下P（AB）取到最大值（2）在什么條件下P（AB）取到最小值第2頁共101頁2【解】（1）當(dāng)ABA時(shí)，P（AB）取到最大值為06（2）當(dāng)AB時(shí)，P（AB）取到最小值為036設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）P（B）1/4，P（C）1/3且P（AB）P（BC）0，P（AC）1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率【解】P（ABC）PAPBPCPABPBCPACPABC143247從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少【解】P5321315C/8對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題（1）求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；（2）求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3）求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率【解】（1）設(shè)A1五個(gè)人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故P（A1）（）5（亦可用獨(dú)立性求解，下同）57（2）設(shè)A2五個(gè)人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）563設(shè)A3五個(gè)人的生日不都在星期日P（A3）1PA11579略見教材習(xí)題參考答案10一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品從中隨機(jī)地取出N件（N30如圖陰影部分所示23164P22從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求（1）兩個(gè)數(shù)之和小于的概率；65（2）兩個(gè)數(shù)之積小于的概率1【解】設(shè)兩數(shù)為X,Y，則0正正（甲乙）（甲反1乙反）（甲反乙反）由對(duì)稱性知P（甲正乙正）P（甲反乙反）因此P甲正乙正1246證明“確定的原則”（SURETHING）若P（A|C）PB|C,PA|PB|，則P（A）PB【證】由P（A|C）PB|C,得,即有PACB同理由|,得故PACPABCPB47一列火車共有N節(jié)車廂，有KKN個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率【解】設(shè)AI第I節(jié)車廂是空的，（I1,N）,則第12頁共101頁121211NKKIKIJKIINPAPA其中I1,I2,IN1是1，2，N中的任N1個(gè)顯然N節(jié)車廂全空的概率是零，于是211211122111231CC0NNKKINIKIJIJNKNIIIINNISPASPASS1CCKKNKNN故所求概率為1211NKIINNPA1NK48設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為0試證明不論0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1【證】在前N次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為11N49袋中裝有M只正品硬幣，N只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）在袋中任取一只，將它投擲R次，已知每次都得到國徽試問這只硬幣是正品的概率是多少【解】設(shè)A投擲硬幣R次都得到國徽B這只硬幣為正品由題知,MNPB1|12RAPB則由貝葉斯公式知|APB第13頁共101頁13122RRRMNN50巴拿赫（BANACH）火柴盒問題某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有R根的概率是多少第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有R根的概率又有多少【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有（1）發(fā)現(xiàn)一盒已12PB空，另一盒恰剩R根，說明已取了2NR次，設(shè)N次取自B1盒（已空），NR次取自B2盒，第2NR1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2NR次火柴視作2NR重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為1221CCNRRNRP式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是B2盒先取空）（2）前2NR1次取火柴，有N1次取自B1盒，NR次取自B2盒，第2NR次取自B1盒，故概率為11221RNRNRNRP51求N重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為P則由0120CC1NNNNNQQQPQCNNNNP以上兩式相減得所求概率為13NNPQ21N若要求在N重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得2NPP52設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P（B）（AB）（）（A）的值B【解】因?yàn)椋ˋB）（）AB（B）（A）AB所求AB第14頁共101頁14ABAB故所求值為053設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件ABC，PAPBPC0,PA|B1,試比較PAB與PA的大小2006研考解因?yàn)榈?6頁共101頁16PABBP所以A習(xí)題二1一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律【解】352435,10C06XPX故所求分布律為X345P0103062設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；3133,1,12222PXPX【解】315231350,CCPX故X的分布律為X012P235235135第17頁共101頁17（2）當(dāng)XA時(shí)，F(xiàn)（X）1即分布函數(shù)0,01,XXAA18設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率【解】XU2,5，即1,2530XFX其他53DPX故所求概率為233120C7P19設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布某顧客在窗15E口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求PY1【解】依題意知，即其密度函數(shù)為15XE51E,0XF該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為2510EDXPX,即其分布律為25EYB225525CE,1,3410E067KKYP20某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）（1）若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些（2）又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些【解】（1）若走第一條路，XN（40，102），則第24頁共101頁24406620971XPX若走第二條路，XN（50，42），則505384故走第二條路乘上火車的把握大些（2）若XN（40，102），則0545056911XP若XN（50，42），則42P125016故走第一條路乘上火車的把握大些21設(shè)XN（3，22），（1）求P202FX,0,212他B試確定常數(shù)A,B，并求其分布函數(shù)F（X）【解】（1）由知DFX|02ED2EDXAA故即密度函數(shù)為E,20XF當(dāng)X0時(shí)1DE2XXXFF第27頁共101頁27當(dāng)X0時(shí)00DED2XXFF1EX故其分布函數(shù)1E,02,XFX2由12011DDBFBX得B1即X的密度函數(shù)為2,01,FXX其他當(dāng)X0時(shí)F（X）0當(dāng)00時(shí)，ELNXYPXYLNDYXF故2/LN11LNE,0YYYXFFFY221PX當(dāng)Y1時(shí)0YFPY當(dāng)Y1時(shí)21XY212YYP1/2DYXFX故D1142YYXYYFYFFFY1/412E,30PY當(dāng)Y0時(shí)0YFPY第30頁共101頁30當(dāng)Y0時(shí)|YFPXYXYDYFX故DYYXFYFFY2/E,0Y31設(shè)隨機(jī)變量XU（0,1），試求（1）YEX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2）Z2LNX的分布函數(shù)及密度函數(shù)【解】（1）01P故EX當(dāng)時(shí)Y0YFY當(dāng)10時(shí)，2LNXZ/2LNEZP第31頁共101頁31/21/2EDZZX即分布函數(shù)/20,1EZZF故Z的密度函數(shù)為/2,0ZZF32設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為FX2,0,X其他試求YSINX的密度函數(shù)【解】01P當(dāng)Y0時(shí)，0YFYP當(dāng)00）1，故06,則P（X1時(shí)，ELNXYYPYLN01DYX即,01YYFY故2,YYFY第39頁共101頁3951設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為FXX,12求Y1的密度函數(shù)FYY3X【解】331FYPPY332113DARCTGARCTGYYXY故261YYF52假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為T的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（T）服從參數(shù)為T的泊松分布（1）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2）求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q（1993研考）【解】（1）當(dāng)TT與NT0等價(jià)，有1101ETTPNT即E,0TTFT即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（2）168E16|816/8QPPT53設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，PX11/8，PX11/4在事件1P|Y2|1P0,PX1,Y1PU1,U11X21D1,4XU故得X與Y的聯(lián)合概率分布為,1,04242因,而XY及（XY）2的概率分布相應(yīng)2DXYE為,01422041從而,EXY2102所以2DEXY6931設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為FX，（10503485有一批建筑房屋用的木柱，其中80的長度不小于3M現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問其中至少有30根短于3M的概率是多少【解】設(shè)100根中有X根短于3M，則XB（100，02）從而3012301308P259866某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為08醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言（1）若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是08，問接受這一斷言的概率是多少（2）若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是07，問接受這一斷言的概率是多少【解】,1,200IIXI第人治愈其他令1II1XB100,08，751075108751752IIPXPX2942XB100,07，107510751753IIPPX1927用LAPLACE中心極限定理近似計(jì)算從一批廢品率為005的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率【解】令1000件中廢品數(shù)X，則P005,N1000,XB1000,005，EX50，DX475故120513020689547P346898設(shè)有30個(gè)電子器件它們的使用壽命T1，T30服從參數(shù)01單位（小時(shí)）1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，以此類推令T為30個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，求T超過350小時(shí)的概率【解】10,IE20,ID33T故5055011109318433PT9上題中的電子器件若每件為A元，那么在年計(jì)劃中一年至少需多少元才能以95的概率保證夠用（假定一年有306個(gè)工作日，每個(gè)工作日為8小時(shí)）【解】設(shè)至少需N件才夠用則ETI10，DTI100，ET10N，DT100N從而即1306895,IPT3061故761024824895,16,27NNN所以需272A元10對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會(huì)議的概率分別為005,08,015若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布（1）求參加會(huì)議的家長數(shù)X超過450的概率（2）求有1名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率【解】（1）以XII1,2,400記第I個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長數(shù)則XI的分布律為XI012P00508015易知E（XI11）,DXI019,I1,2,400而,由中心極限定理得40I4014010,99IXN近似地于是5450541PXP1470132以Y記有一名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)則YB400,08由拉普拉斯中心極限定理得83025093840P11設(shè)男孩出生率為0515，求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率【解】用X表10000個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，則XB（10000，0515）要求女孩個(gè)數(shù)不少于男孩個(gè)數(shù)的概率，即求PX5000由中心極限定理有501053101354812設(shè)有1000個(gè)人獨(dú)立行動(dòng)，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為09以95概率估計(jì)，在一次行動(dòng)中（1）至少有多少個(gè)人能夠進(jìn)入（2）至多有多少人能夠進(jìn)入【解】用XI表第I個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體（I1,2,1000）令SNX1X2X10001設(shè)至少有M人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求PMSN1000095，事件7790109NNSMS由中心極限定理知110950NNPM從而95,M故016,9所以M900156588435884人2設(shè)至多有M人能進(jìn)入掩蔽體，要求P0SNM095095NS查表知165,M900156591565916人9013在一定保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi)求（1）保險(xiǎn)公司沒有利潤的概率為多大；（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0006）1公司沒有利潤當(dāng)且僅當(dāng)“1000X1000012”即“X120”于是所求概率為112006120069494P2160/523018E59427E2因?yàn)椤肮纠麧?0000”當(dāng)且僅當(dāng)“0X60”于是所求概率為66010601009494PX5614設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為05試根據(jù)契78比雪夫不等式給出P|XY|6的估計(jì)（2001研考）【解】令ZXY，有0,23XPEDDYDY所以21|6|6362PZPX15某保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20，以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)（1）寫出X的概率分布；（2）利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值（1988研考）【解】（1）X可看作100次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶出現(xiàn)的概率是02，因此，XB100,02，故X的概率分布是1010C28,210KKP2被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件14X30的概率由中心極限定理，得3414010281028X5939716一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0977【解】設(shè)XI（I1,2,N）是裝運(yùn)I箱的重量（單位千克），N為所求的箱數(shù)，由條件知，可把X1，X2，XN視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，而N箱的總重量TNX1X2XN是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和，由條件知50,IE5,IDNTNT依中心極限定理，當(dāng)N較大時(shí)，,故箱數(shù)N取決于條件015N近似地50NNTPT197279因此可從解出N196,NN即N2401，所以N至少應(yīng)取253設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命XN（1000，2）（單位小時(shí)），隨機(jī)抽取一容量為9的樣本，并測(cè)得樣本均值及樣本方差但是由于工作上的失誤，事后失去了此試驗(yàn)的結(jié)果，只記得樣本方差為S21002，試求P（1062）【解】1000,N9，S21002108/3/XTT10626218605/3PTPT4從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，假定有2的樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值在4以上，求總體的標(biāo)準(zhǔn)差80【解】，由P|4002得0,1/XZNNXP|Z|4/N002,故,即410224109查表得3,所以410525設(shè)總體XN（，16），X1，X2，X10是來自總體X的一個(gè)容量為10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S2為其樣本方差，且P（S2A）01，求A之值【解】2299,0166查表得9148,6所以2105A6設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1，X2，XN是來自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問統(tǒng)計(jì)量Y，N5NIIII6251服從何種分布【解】2522211,5INIIIXX且與相互獨(dú)立12所以21/5,5XYFN7求總體XN（20，3）的容量分別為10，15的兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本平均值差的絕對(duì)值大于03的概率【解】令的容量為10的樣本均值，為容量為15的樣本均值,則N20,310,YX81N20,，且與相互獨(dú)立Y315XY則0,0,5N那么,15XYZ所以03|03|21045PPZ216878設(shè)總體XN（0，2）,X1,X10,X15為總體的一個(gè)樣本則Y服從分布,參數(shù)為215210【解】I1,2,15,I那么122201520,5IIIIXX且與相互獨(dú)立,12所以22211015/0,5XXYF所以YF分布，參數(shù)為（10,5）9設(shè)總體XN（1,2）,總體YN2,2,X1,X2,和Y1，Y2，分別來自總體XN2N和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則21212NENJJNII【解】令122211,NNIIIJSXSY則1222211,NNIJIJYS82又22221121,1,NSNSN那么1221221212NNIJIJXYEEN221122N10設(shè)總體XN（,2），X1，X2，X2N（N2）是總體X的一個(gè)樣本，NIIX21令Y，求EYNIINI12【解】令ZIXIXNI,I1,2,N則ZIN2,221IN,且Z1,Z2,ZN相互獨(dú)立令211/1,IIIISN則211,NIIIXZ故那么222111,NNINIIIIYXZNS所以22ES11設(shè)總體X的概率密度為FX0，那么時(shí)，LL最大,18MAXII所以的極大似然估計(jì)值09因?yàn)镋E,所以不是的無偏計(jì)18AXII18AIIX6設(shè)X1，X2，XN是取自總體X的樣本，E（X），D（X）2，K,問K為何值時(shí)為2的無偏估計(jì)21NIII【解】令I(lǐng)1,2,N1,1,IIY則20,IIIIEXEDY于是12221,NIKKNK那么當(dāng),即時(shí),2E22有1KN7設(shè)X1，X2是從正態(tài)總體N（，2）中抽取的樣本11231234XXX試證都是的無偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差2,【證明】（1）11212,333EE,2124X3所以均是的無偏估計(jì)量12,2221145,339DXDX862222135,448DXD231,8某車間生產(chǎn)的螺釘，其直徑XN（，2），由過去的經(jīng)驗(yàn)知道2006,今隨機(jī)抽取6枚，測(cè)得其長度（單位MM）如下147150148149151152試求的置信概率為095的置信區(qū)間【解】N6,2006,1095005,025149,196AXU的置信度為095的置信區(qū)間為/240196475,16XN9總體XN,2，2已知，問需抽取容量N多大的樣本，才能使的置信概率為1，且置信區(qū)間的長度不大于L【解】由2已知可知的置信度為1的置信區(qū)間為,/2XUN于是置信區(qū)間長度為,/2UN那么由L,得N/22/4L10設(shè)某種磚頭的抗壓強(qiáng)度XN（，2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（KGCM2）64694992559741848899846610098727487844881（1）求的置信概率為095的置信區(qū)間（2）求2的置信概率為095的置信區(qū)間【解】76,184,095,20,XSN/2025209753,818TNT1的置信度為095的置信區(qū)間/2416361,85092ASXTN2的置信度為095的置信區(qū)間2872222/1/1919,84,841903,723507NSSN11設(shè)總體XFX,0,X中中X1,X2,XN是X的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量及極大似然估計(jì)量【解】1110DD,2EXFX又,XE故21所以的矩估計(jì)量X2似然函數(shù)1101,2NNIIIIXNLFX其他取對(duì)數(shù)1LNLLN01,D,IIIIIXINL所以的極大似然估計(jì)量為1LNIIX12設(shè)總體XFX36,0,X中X1,X2,XN為總體X的一個(gè)樣本（1）求的矩估計(jì)量；（2）求D88【解】12306DD,XEXXF令,EX所以的矩估計(jì)量22，42,DDN又3220663D,01XEX于是,2224DE所以25N13設(shè)某種電子元件的使用壽命X的概率密度函數(shù)為FX,2,0,XE其中0為未知參數(shù)，又設(shè)X1,X2,XN是總體X的一組樣本觀察值，求的極大似然估計(jì)值【解】似然函數(shù)121E01,20LNL,NIXINIIINLX其他由DLN20L,LL知那么當(dāng)01MINAXLNNXL時(shí)所以的極大似然估計(jì)量1IN14設(shè)總體X的概率分布為X0123P22121289其中01,0，設(shè)X1,X2,XN為來自總體X的樣本（1）當(dāng)1時(shí)，求的矩估計(jì)量；（2）當(dāng)1時(shí)，求的極大似然估計(jì)量；（3）當(dāng)2時(shí)，求的極大似然估計(jì)量【解】當(dāng)1時(shí)，11,0XXFF90當(dāng)2時(shí),213,0XXFF111DEXX令,于是,X所以的矩估計(jì)量12似然函數(shù)1111,12,0,LNLLN,DL,NNIIIIIINIIXNLFXLX其他所以的極大似然估計(jì)量1LNIIX3似然函數(shù)2311,12,0,NINIIIXNLFX其他顯然,那么當(dāng)時(shí),1MINX0MAXLL所以的極大似然估計(jì)量1IN16從正態(tài)總體XN（34，62）中抽取容量為N的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（14，54）內(nèi)的概率不小于095，問N至少應(yīng)取多大2/1EDZT91Z1281645196233Z090950975099【解】,則2634XNN340,1/XZNN543156/6/3210953ZPPNN于是則,09753N1963N3517設(shè)總體X的概率密度為FX，,01,12,X中其中是未知參數(shù)（01）,X1,X2,XN為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值X1,X2,XN中小于1的個(gè)數(shù)求（1）的矩估計(jì)；（2）的最大似然估計(jì)解1由于1201DDEXXFXX132令，解得，32X3所以參數(shù)的矩估計(jì)為32X2似然函數(shù)為，11NNNIILFX取對(duì)數(shù)，得LNLL,兩邊對(duì)求導(dǎo)，得92DLN1LNN令得，DLN0,L所以的最大似然估計(jì)為N習(xí)題八1已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N455,01082現(xiàn)在測(cè)了5爐鐵水，其含碳量（）分別為428440442435437問若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無顯著性變化（005）【解】0010/25025445,96,183635,18/HNZXZ所以拒絕H0，認(rèn)為總體平均值有顯著性變化2某種礦砂的5個(gè)樣品中的含鎳量（）經(jīng)測(cè)定為324326324327325設(shè)含鎳量服從正態(tài)分布，問在001下能否接收假設(shè)這批礦砂的含鎳量為325【解】設(shè)0010/25053532,461,13/4HNTNTXST所以接受H0，認(rèn)為這批礦砂的含鎳量為3253在正常狀態(tài)下，某種牌子的香煙一支平均11克，若從這種香煙堆中任取36支作為樣本；測(cè)得樣本均值為1008（克），樣本方差S201G2問這堆香煙是否處于正常狀態(tài)已知香煙（支）的重量（克）近似服從正態(tài)分布（取005）【解】設(shè)930010/22502536,5,301,36,18674,/174630HNTNTNXSTT所以接受H0，認(rèn)為這堆香煙（支）的重要（克）正常4某公司宣稱由他們生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池其平均壽命為215小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為29小時(shí)在實(shí)驗(yàn)室測(cè)試了該公司生產(chǎn)的6只電池，得到它們的壽命（以小時(shí)計(jì)）為19，18，20，22，16，25，問這些結(jié)果是否表明這種電池的平均壽命比該公司宣稱的平均壽命要短設(shè)電池壽命近似地服從正態(tài)分布（取005）【解】010505252,6,16,29,0,79/1HNZXXZ所以接受H0，認(rèn)為電池的壽命不比該公司宣稱的短5測(cè)量某種溶液中的水分，從它的10個(gè)測(cè)定值得出0452,S0037設(shè)測(cè)定值總體X為正態(tài)，為總體均值，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，試在水平005下檢驗(yàn)（1）H005；H105（2）004；004【解】1005055,05,19831,423742,/918NTNTXST所以拒絕H0，接受H12222010952220954,0,32,3716,NXS所以接受H0，拒絕H16某種導(dǎo)線的電阻服從正態(tài)分布N（，00052）今從新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中抽取9根，測(cè)其電阻，得S0008歐對(duì)于005，能否認(rèn)為這批導(dǎo)線電阻的標(biāo)準(zhǔn)差仍為000594【解】00102222/051/09759,8,8738,4,HHNS故應(yīng)拒絕H0，不能認(rèn)為這批導(dǎo)線的電阻標(biāo)準(zhǔn)差仍為00057有兩批棉紗，為比較其斷裂強(qiáng)度，從中各取一個(gè)樣本，測(cè)試得到第一批棉紗樣本N1200，0532KG,S10218KG；X第二批棉紗樣本N2200，057KG,S20176KGY設(shè)兩強(qiáng)度總體服從正態(tài)分布，方差未知但相等，兩批強(qiáng)度均值有無顯著差異005【解】01212/20502522211205,398196,807198,3719198203WWHNTTZSNSSXYTSNT所以接受H0，認(rèn)為兩批強(qiáng)度均值無顯著差別8兩位化驗(yàn)員A，B對(duì)一種礦砂的含鐵量各自獨(dú)立地用同一方法做了5次分析，得到樣本方差分別為043222與050062若A，B所得的測(cè)定值的總體都是正態(tài)分布，其方差分別為A2，B2，試在水平005下檢驗(yàn)方差齊性的假設(shè)2201ABH【解】22121/050975221,43,056,94,6384NSSFFS那么09750254,4,FF所以接受H0，拒絕H1912略95習(xí)題九1燈泡廠用4種不同的材料制成燈絲，檢驗(yàn)燈線材料這一因素對(duì)燈泡壽命的影響若燈泡壽命服從正態(tài)分布，不同材料的燈絲制成的燈泡壽命的方差相同，試根據(jù)表中試驗(yàn)結(jié)果記錄，在顯著性水平005下檢驗(yàn)燈泡壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異試驗(yàn)批號(hào)12345678燈絲材料水平A1A2A3A416001580146015101610164015501520165016401600153016801700162015701700175016401600172016601680180017401820【解】1,26RIRN69895900697001884619571154,421TIJISX6974454926970018846443607,241AIIN1513508,ETAS,05/43607/2151583,2ERFNF故燈絲材料對(duì)燈泡壽命無顯著影響表911方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值因素影響4436073147869215誤差151350822687959總和19571154252一個(gè)年級(jí)有三個(gè)小班，他們進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)考試，現(xiàn)從各個(gè)班級(jí)隨機(jī)地抽取了一些學(xué)生，記錄其成績(jī)?nèi)缦?366887768418960783179598245487856684393916291539680365176717973778596711574808756試在顯著性水平005下檢驗(yàn)各班級(jí)的平均分?jǐn)?shù)有無顯著差異設(shè)各個(gè)總體服從正態(tài)分布，且方差相等【解】13,40,RIRN1994621857769136851,21ITJISX18611225185776933535,231AIIN1334965,ETAS05/67045382,ERFNF故各班平均分?jǐn)?shù)無顯著差異表921方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值因素影響335352167680465誤差13349653736080總和13685393下面記錄了3位操作工分別在不同機(jī)器上操作3天的日產(chǎn)量甲乙丙A1151517191916161821A2171717151515192222A3151716181716181818A4182022151617171717取顯著性水平005,試分析操作工之間，機(jī)器之間以及兩者交互作用有無顯著差異【解】由已知R4,S3,T3的計(jì)算如表931,IJJT操作工機(jī)器97表931甲乙丙IT1A475455156251456315934851541534A604851159JT20619822362721212211065921475,3,0947120571,3RSTTIJKIJRAISBJRSIJAABITSXRSTTTSTTTSTT,41ETABS表932得方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值因素A（機(jī)器）2753092053A因素B（操作工）271721358789B交互作用AB735061225712AF誤差43324172總和1094750505053,241,2,43,241FFF接受假設(shè)，拒絕假設(shè)0HH即機(jī)器之間無顯著差異，操作之間以及兩者的交互作用有顯著差異4為了解3種不同配比的飼料對(duì)仔豬生長影響的差異，對(duì)3種不同品種的豬各選3頭進(jìn)行操作工機(jī)器TIJ98試驗(yàn)，分別測(cè)得其3個(gè)月間體重增加量如下表所示，取顯著性水平005，試分析不同飼料與不同品種對(duì)豬的生長有無顯著影響假定其體重增長量服從正態(tài)分布，且各種配比的方差相等因素B（品種）體重增長量B1B2B3因素A（飼料）A1A2A3515352565758454947【解】由已知RS3,經(jīng)計(jì)算52,5066,53X12X5234,52,57,47,3X1231216873,150,2RSTIJIJRAIIRBJJETABSXSXS表941得方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值飲料作用8682434523品種作用1502759036試驗(yàn)誤差3324083總和162由于05052,469,ABFF因而接受假設(shè),拒絕假設(shè)01H2即不同飼料對(duì)豬體重增長無顯著影響,豬的品種對(duì)豬體重增長有顯著影響5研究氯乙醇膠在各種硫化系統(tǒng)下的性能（油體膨脹絕對(duì)值越小越好）需要考察補(bǔ)強(qiáng)劑（A）、防老劑（B）、硫化系統(tǒng)（C）3個(gè)因素（各取3個(gè)水平），根據(jù)專業(yè)理論經(jīng)驗(yàn)，交互作用全忽略，根據(jù)選用L934表作9次試驗(yàn)及試驗(yàn)結(jié)果見下表表頭設(shè)計(jì)試驗(yàn)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234結(jié)果123456111112221