高中數(shù)學(xué)論文淺談分類討論思想.

淺談分類討論思想及其應(yīng)用【摘 要】：分類討論思想方法是研究與解決數(shù)學(xué)問題的重要思想之一,在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中十分廣泛,本文從分類討論的原則、分類討論的步驟及應(yīng)用環(huán)境出發(fā),輔以一定例題,著重分析討論了分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的一般原則、方法、技巧及應(yīng)用環(huán)境.【關(guān)鍵詞】：分類討論 分類討論思想 分類討論原則 分類討論步驟一、 分類討論思想的概念由于數(shù)學(xué)研究對(duì)象的屬性不同,影響了研究問題的結(jié)果,從而對(duì)不同屬性的對(duì)象進(jìn)行研究的思想；或者由于在研究問題過程中出現(xiàn)了不同情況,從而對(duì)不同情況進(jìn)行分類研究的思想,我們稱之為分類討論思想,其實(shí)質(zhì)是一種邏輯劃分的思想.從思維策略上看,它是把要解決的數(shù)學(xué)問題,分解成可能的各個(gè)部分,從而使復(fù)雜問題簡單化,使“大”問題轉(zhuǎn)化為“小”問題,便于求解.通過正確的分類可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答,做到正確的分類,必須遵循一定的原則,以保證分類科學(xué)、統(tǒng)一,不重復(fù)、不遺漏,并力求最簡.二、 分類討論的原則從某種意義上講,分類討論是不得已而為之的事情,通過協(xié)調(diào)、緩和“矛盾”,達(dá)到運(yùn)用知識(shí)合理解決問題的思想方法.那如何進(jìn)行分類討論呢？分類討論必須要遵循一定的原則,才能使分類科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn),從而正確、合理地解題,分類討論原則有同一性原則、互斥性原則、層次性原則.1.同一性原則同一性原則簡言之即“不遺漏”,可以通過集合的思想來解釋,如果把研究對(duì)象看作全集 I, 是 I 的子集,并以此分類,且niA1A1A 2A n=I,則稱這種分類（A 1,A2An）符合同一性原則.比如,我們?nèi)舭褜?shí)數(shù) R 分成正實(shí)數(shù) R+與負(fù)實(shí)數(shù) R ,那這種分類不符合同一性原則 ,因?yàn)?R= R+R 0,則這種分類方法遺漏了零.在下面的例子中來討論同一性原則的應(yīng)用：例 1：已知直線 l: ，求它的斜率及斜率的取值范圍、01sin4yx傾斜角的取值范圍.分析：直線 l 的方程中 y 的系數(shù)是 ，而 的值域是 ，sisin1,值可取零 ，但 =0 時(shí)斜率不存在，故視 為研究對(duì)象 I sinsin， ， ， A1, A2 都是 I 的子集，且1,0A1,0,2A1A 2=I,滿足同一性原則 ,作如下分類討論：(1) 當(dāng) =0,即 =k（k Z）,直線 l 的斜率不存在,傾斜角 =sin2(2) 當(dāng) 0,即 k（k Z）,直線 l 的斜率 k= , 并且由 i sin4-1 0,0 1,得出1 , 1, sinsinsin1i1k 的取值范圍為,4,直線傾斜角 取值范圍為 4arctgrt例 2：已知集合 A= x x2ax+4=0,x R, a R ,B= x x3 5x2+2x+8=0,b R ,若 A ,求 a 的取值范圍.分析：由于 x x35x 2+2x+8=0, b R = x (x+1)(x2)( x4)=0 = 1,2,4 ,且 A ,則集合 A 可能是空集、單元素集合和兩個(gè)元素集合,而集合 A 的元素是一個(gè)一元二次方程的解集 ,即一元二次方程可能是無解、兩個(gè)相等的解或兩個(gè)不相等的實(shí)根,因此要分三類討論,求出a 的取值范圍,此題研究對(duì)象是一元二次方程 x2ax+4=0 的根的判別式,分成大于零,小于零和等于零這三種情況,這種分類符合同一性原則,沒有遺漏任一情況.(1) 當(dāng)=a 2160,即4a4 時(shí),因?yàn)?A= ,滿足 A ,所以 a4,(2) 當(dāng)=0,即 a=4 時(shí),由 A 得 a=4(3) 當(dāng)0,即 a 4 或 a4 時(shí),A B綜上可得,當(dāng) a 時(shí),A2.互斥性原則由同一性原則可以看出,在分類討論時(shí),同一性僅僅考慮了“不遺漏”,但是對(duì)于全集 I 來說,A 1,A2An 在滿足 A1A 2A n=I 的前提下,并不能保證 AiA j= （i,j n,i j）,即在分類討論中不能避免重復(fù)討論,使討論復(fù)雜,互斥性原則則解決了這一問題,即對(duì)于研究對(duì)象 I, Ai(i=1n)是 I 子集,且作為分類的標(biāo)準(zhǔn),若 AiA j= （i,j n, i j）,則稱這種分類符合互斥性原則 ,互斥性原則的重要性在下面例子中可以很明顯地顯露出來.例 3：某車間有 10 名工人,其中 4 人僅會(huì)車工,3 人僅會(huì)鉗工,另外三人車工、鉗工都會(huì),現(xiàn)需選出 6 人完成一件工作需要車工、鉗工各 3 人,問有多少種選派方案？分析：如果先考慮鉗工,因?yàn)?6 人會(huì)鉗工,故有 種選法,但這時(shí)不清36C楚選出的鉗工中有幾個(gè)是車鉗工都會(huì)的,因此也不清楚余下的 7 人中有多少人會(huì)車工,因此在選車工時(shí),就無法確定是從 7 人中選,還是從 6 人、5 人、4人中選,同樣,如果先考慮車工也會(huì)遇到同樣的問題,因此需對(duì)全能工人進(jìn)行分類,因?yàn)橛?3 人是全能的,故有四種不同的情況可能出現(xiàn),具體如下：（1） 選出的 6 人中不含全能工人；（2） 選出的 6 人中含一名全能工人；（3） 選出的 6 人中含二名全能工人；（4） 選出的 6 人中含三名全能工人；故有 234231423413232413234134 PCCCC 9注意：選出的全能工人,既會(huì)車工,又會(huì)鉗工,這兩種情況也需分開來進(jìn)行討論,這種分類方法避免了重復(fù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì),不遺漏任一情況,一般地,互斥性 原則在排列組合中應(yīng)用十分廣泛.3.層次性原則如果在解決某一問題時(shí),需要分類討論,當(dāng)確定了某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論后,問題并沒有得到解決,還需要繼續(xù)進(jìn)行分類討論,這時(shí),我們稱之為兩個(gè)不同層次的討論,這就是分類討論的層次性,而分類討論的層次性原則是指分類討論必須按同一標(biāo)準(zhǔn)的層次進(jìn)行,不同標(biāo)準(zhǔn)的不同層次的討論不能混淆,層次性原則實(shí)質(zhì)上就是要求有層次的分類討論不錯(cuò)位.例 4：解關(guān)于 x 的不等式：ax 2-(a+1)x+10 a R 分析：這是一個(gè)含參數(shù) a 的不等式,它不一定是二次不等式,故首先應(yīng)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù) a 進(jìn)行分類,a=0 和 a0.當(dāng) a0 時(shí),不等式是一元二次不等式,不等式的解集可能是兩根之外,也可能處于兩根之間,故又須分 a0 和 a0兩種,確定了這一層后,又會(huì)出現(xiàn) 1 與 的大小問題 ,又需將 a 與 1 之間進(jìn)行a分類,分三層討論,具體過程如下：（1）當(dāng) a=0 時(shí),原不等式化為 0xx（2）當(dāng) a0 時(shí),原不等式化為 a(x1)(x ) 0a1i.若 a0,則化為 (x1)(x ) 0 x1 或 x aii.若 a0,則化為 (x 1)(x )0a1a).a1 時(shí), 1 x1b).a=1 時(shí), =1 解是空集ac).0a 1 時(shí) , 1 1xa由上看出,分類討論三原則,同一性、互斥性、層次性中,同一性要求分類不遺漏,互斥性則使分類不重復(fù),二者是分類劃分的基本原則,而層次性是在解決某些問題時(shí),按同一標(biāo)準(zhǔn)一次分類,尚不能完全達(dá)到目的,而要求再次分類時(shí)必須掌握的原則,層次性是在同一性、互斥性的基礎(chǔ)上的分類原則.三、 分類討論的步驟同一性、互斥性、層次性三原則僅僅保證合理分類,是分類討論中的核心步驟,解題中,分類討論一般分為四步：第一， 確定討論的對(duì)象以及討論對(duì)象的取值范圍；第二， 正確選擇分類標(biāo)準(zhǔn),合理分類；第三， 逐類、逐段分類討論；第四， 歸納并做出結(jié)論.下面從一個(gè)具體的例子出發(fā)來分析分類討論的四個(gè)步驟.例 5：設(shè) k R,問方程(8 k)x2+(k4)y 2=(8k) (k 4)表示什么曲線？分析：第一步,確定討論對(duì)象及其范圍.因?yàn)榉匠滔禂?shù)中含有參數(shù) k,所以將 k 視為研究對(duì)象,k 的取值范圍是全體實(shí)數(shù) R.第二步,選擇正確分類標(biāo)準(zhǔn),合理分類.當(dāng) k4 且 k8 時(shí),方程可變形為, (k4)與(8k)的正負(fù)會(huì)引起曲線有不同的類型,故“4”和1842kyx“8”是一個(gè)分界點(diǎn),而 k4=8k 與 k40, 8k0,但 k48k 所表示的曲線也是不一樣的,因此,“6”也是一個(gè)分界點(diǎn),所以對(duì) k 進(jìn)行正確的分類應(yīng)為： (,4) ，4， (4,6)，6，(6,8)，8，(8,)第三步,逐類、逐段分類討論(1) k=4 時(shí),方程變?yōu)?4x 2=0,即 x=0 表示直線(2)k=8 時(shí),方程變?yōu)?4y2=0,即 y=0 表示直線(3)k4 且 k8 時(shí),原方程化為 1842kyxi.當(dāng) k4 時(shí) 表示雙曲線ii.當(dāng) 4k6 時(shí) 表示橢圓iii.當(dāng) k=6 時(shí) 表示圓iv.當(dāng) 6k8 時(shí) 表示橢圓v.當(dāng) k8 時(shí) 表示雙曲線第四步,歸納并做出結(jié)論當(dāng) k4 或 k8 時(shí), 方程表示雙曲線當(dāng) 4k6 或 6k8, 方程表示橢圓當(dāng) k=4 或 k=8 時(shí),方程表示直線當(dāng) k=6 時(shí),方程表示圓通過上例分析,我們可以看出,分類討論第一要明確為什么要分類討論,第二要形成分類討論的意識(shí),第二要學(xué)會(huì)如何合理分類并正確進(jìn)行討論,第四要掌握分類討論的嚴(yán)密性和表達(dá)的正確性.四、 引起分類討論的七種環(huán)境并非所有的數(shù)學(xué)問題都需要進(jìn)行分類討論,但若涉及到以下七種情況,常常需要進(jìn)行分類討論使問題簡單化.1. 概念分段定義例 6：求函數(shù) 的值域 .ctgxtxycossin分析：這個(gè)問題出現(xiàn)絕對(duì)值,而絕對(duì)值是分段定義的概念,因此需要根據(jù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值定義分類討論,而此題涉及到三角函數(shù)值的正負(fù),即將 x 分為四個(gè)象限：當(dāng) x 在第一象限時(shí),y=4； 當(dāng) x 在第二象限時(shí),y=2；當(dāng) x 在第三象限時(shí),y=0； 當(dāng) x 在第四象限時(shí),y=2；所以值域是 4,02像絕對(duì)值這樣分段定義的概念,在中學(xué)數(shù)學(xué)中還有直線的斜率、復(fù)數(shù)的輻角主值等,當(dāng)這些概念出現(xiàn)時(shí),一般要進(jìn)行分類討論.2. 公式分段表達(dá)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),常常要用到數(shù)學(xué)公式,若該公式是分段表達(dá)的,那么在 應(yīng)用到這些公式時(shí),需分類討論,常見的分段表達(dá)的公式有：(1)a,b R+(當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立)；a,b R (當(dāng)且僅ab2ab2當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立)； na1 q=1(2)等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn= q1 qan)(3)實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式; (4)一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 的解：當(dāng) 0 時(shí),x ;當(dāng) =0 時(shí), 且 x ;Rabx2R當(dāng) 0 時(shí),x ,x ；(5)三角函數(shù)中的半角公式等.ab2ab23. 實(shí)施某些運(yùn)算引起分類討論在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),不論是化簡、求值還是論證,常常要進(jìn)行運(yùn)算,若在不同條件下實(shí)施這些運(yùn)算時(shí)會(huì)得到不同結(jié)果時(shí),會(huì)引起分類討論.例 7：解關(guān)于 x 的不等式： a(2x) a(x+1)(其中,n21n21n常數(shù) a 0 且 a1),N分析：由于不等式兩邊都有相同的因式 ,我們?cè)诓坏仁絻蛇呁?1n以這個(gè)式子,而當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),其為正,當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)其為負(fù),從而影響了不等式中不等號(hào)的方向,因此須對(duì) n 進(jìn)行分類討論：(1) 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),因?yàn)?0,所以 a(2x) a(x+1).又21n2x0因?yàn)?a0 且 a1,所以當(dāng) a1 時(shí), x+10 1x2xx+12x0當(dāng) 1a0 時(shí) , x+10 0x12xx+1(2) 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí),因?yàn)?0,所以 a(2x) a(x+1).又因?yàn)?n2x0a0 且 a1,所以當(dāng) a1 時(shí), x+10 0x12xx+12x0當(dāng) 1a0 時(shí) , x+10 1x2xx+14. 圖形位置不確定如果圖形的位置不確定,常常會(huì)引起分類討論,因此,如果圖形可能處于不同位置并且影響問題的結(jié)果時(shí),首先要有分類討論的意識(shí),其次要全面考察,分析各種可能的位置關(guān)系,然后合理分類討論,防止漏解.例 8：已知圓 A：x 2+(y2) 2=1,動(dòng)圓 P 與圓 A 相切并且 x 軸相切,求圓 P的圓心 P 的軌跡方程 ,并指明表示何種曲線？分析：由于動(dòng)圓 P 與定圓 A 相切,因此它們之間位置不確定：可能外切,可能內(nèi)切,引起分類討論：xyBApco(a)b(1) 如圖 a,當(dāng)圓 P 與圓 A 外切且切于點(diǎn) B 時(shí),作 PCx 軸,因?yàn)閳A P 與 x軸相切,令 P (y0),則yx,1BC所以 y= 36)2(22yx(2) 如圖 b,當(dāng)圓 P 與圓 A 內(nèi)切且切于點(diǎn) B 時(shí),作 PCx 軸所以 1PBy所以 y= 321)2(2 yxx綜合(1)(2)得,點(diǎn) P 的軌跡為拋物線 x2=6y3 及 x2=2y35. 圖形的形狀不同當(dāng)圖形的形狀不確定時(shí),要對(duì)各種可能出現(xiàn)的形狀進(jìn)行分析討論.例 9：求圓錐曲線 的焦距( 其中 m0,m 1)12myx分析：因?yàn)榉匠?根據(jù) m 的正負(fù),形狀不一樣 ,所以需對(duì) m 進(jìn)行2討論.(1) 當(dāng) m0 時(shí),方程表示雙曲線： ,a2= m2,b2 =m 12yx,所以,焦距為 2c2 m(2)當(dāng) m0 且 m1 時(shí),方程表示橢圓,若 ,則因?yàn)?m2m, 所以 a2 = 10m, b2 = m2 ,所以焦距為 2 ；若 m ,則因?yàn)?m2m,所2c2以 a2 = m2, b2 = m ,所以,焦距為 26. 字母系數(shù)參與引起分類討論字母系數(shù)的出現(xiàn),常常會(huì)使問題出現(xiàn)多種不同情況影響了問題結(jié)果,從而引起分類討論.例 10：函數(shù) 的最大值是 6 ,最小值是2 ,求bxaycossin22a,b 的值.分析：因?yàn)楹瘮?shù)表達(dá)式中出現(xiàn)字母,所以分類討論,而函數(shù)可變形為,即要對(duì) a 進(jìn)行分類.bxy)4/sin(2(1) 當(dāng) a0 時(shí), ,26mxby 2minba