向量法在初等幾何中的應(yīng)用畢業(yè)論文

畢 業(yè) 論 文（設(shè)計(jì)） 論文（設(shè)計(jì)）題目：向量在初等幾何中的應(yīng)用 系 別： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào)： 2010104520 姓 名： 指導(dǎo)教師： 黃春妙 時(shí) 間： 河 池 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計(jì)） 開 題 報(bào) 告系別: 數(shù)學(xué)系 專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號(hào) 2010104520 姓 名論文（設(shè)計(jì)）題目 向量法在初等幾何中的運(yùn)用命題來(lái)源 教師命題 學(xué)生自主命題 教師課題選題意義(不少于 300 字)：向量與解析幾何都是代數(shù)形式和幾何形式的統(tǒng)一體,有著異曲同工之妙。向量既能體現(xiàn)“ 形 ”的直觀位置特征,又具有 “數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì),是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶;而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征。向量與中學(xué)數(shù)學(xué)的許多主干知識(shí)綜合,形成知識(shí)的交匯點(diǎn)。因此, 它或作為知識(shí)的載體,或作為解決問(wèn)題的工具,幾乎滲透到數(shù)學(xué)的所有支之中。它的引入給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力,給學(xué)生的思維搭建了一個(gè)更加廣闊的平臺(tái)。高中數(shù)學(xué)中許多難度較大的問(wèn)題,用向量來(lái)處理就能迎刃而解。自從向量引入高中數(shù)學(xué)后,高考每年都考查一個(gè)向量基本知識(shí)的選擇或填空題,并在很多解答題中都有體現(xiàn)。因此在平面解析幾何的考查中,經(jīng)常以向量為載體給出各類幾何條件,在解題中,以向量的基本知識(shí)為切入點(diǎn),考查解析幾何的知識(shí),體現(xiàn)了高考在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題的原則,成為中學(xué)數(shù)學(xué)命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)。本文主要就向量在解析幾何、立體幾何等問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的探討。研究綜述(前人的研究現(xiàn)狀及進(jìn)展情況，不少于 600 字):向量概念的演變首先是物理學(xué)發(fā)展的需要，大約從 17 世紀(jì)開始，向量相加“平行四邊形法則”就已經(jīng)被用來(lái)確定兩個(gè)運(yùn)動(dòng)“合成”運(yùn)動(dòng)所驅(qū)使的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。17 世紀(jì)中葉，向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算已廣泛運(yùn)用與物理學(xué)等自然科學(xué)研究之中。為了復(fù)數(shù)應(yīng)用的合法化，韋塞爾（C.wessel）于 1797 年，阿爾崗于 1806 年獨(dú)立的建立起復(fù)數(shù)的幾何表示，而高斯的工作是這些原理變得廣為人知，并且被數(shù)學(xué)家們所接受，再熟悉了復(fù)數(shù)的幾何表示后，數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)可用來(lái)表示和研究平面上的向量，數(shù)學(xué)家們?cè)噲D將這種思想轉(zhuǎn)到三維空間去。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力，在 1843 年，哈曼頓終于得到有 4 個(gè)分量的四元素。大約 19 世紀(jì)中期，格拉斯曼借助直角坐標(biāo)系，引進(jìn)了向量的向量積以及兩個(gè)向量的向量積，并自然的引進(jìn)了三個(gè)向量的混合積和二重向量積等運(yùn)算，并研究它們的運(yùn)算性質(zhì)。在微分幾何的發(fā)展中，高斯和黎曼等在 19 世紀(jì)引入張量的概念，隨后又發(fā)展成張量分析，進(jìn)而建立和發(fā)展了黎曼幾何，n維空間中的標(biāo)量和向量都是張量的特例。希爾伯特于 20 世紀(jì)初，以平方和數(shù)列空間為標(biāo)本，將n維歐幾里得空間理論推廣到無(wú)限維。在希爾伯特空間中，有內(nèi)積、夾角、也有正交性，這實(shí)際是無(wú)限維的解析幾何學(xué)。希爾伯特空間理論對(duì)其后的量子力學(xué)的誕生和發(fā)展起了巨大作用。向量作為一種理論工具在幾何中的運(yùn)用，確實(shí) 1918 年著名數(shù)學(xué)家韋爾提出了歐幾里得幾何學(xué)的“向量”論證，他應(yīng)用歐幾里得向量空間作為輔助結(jié)構(gòu)，將向量空間元素作為點(diǎn)空間的算子，并用向量空間的維數(shù)來(lái)確定空間的維數(shù)。韋爾的公里體系是歐幾里得空間的理論轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)的語(yǔ)言。研究的目標(biāo)和主要內(nèi)容（不少于 400 字）一 研究的目標(biāo)探討向量法在初等幾何中幾大求解問(wèn)題中的應(yīng)用，在熟記基本公式、性質(zhì)以及基本作圖方法的基礎(chǔ)上，分析向量法在初等幾何問(wèn)題上的簡(jiǎn)便應(yīng)用，進(jìn)行分類歸納，從而找出規(guī)律性的方法和技巧。同時(shí)，遇到具體問(wèn)題要仔細(xì)分析，選擇一個(gè)合適而簡(jiǎn)單的方法，達(dá)到靈活運(yùn)用、熟練掌握不定積分的計(jì)算方法與技巧的目標(biāo)。二 主要內(nèi)容1、在直線的共點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用2、在點(diǎn)共線問(wèn)題中的應(yīng)用3、在直線平行問(wèn)題中的應(yīng)用4、在直線垂直問(wèn)題中的應(yīng)用5、在距離問(wèn)題 中的應(yīng)用6、關(guān)于面積問(wèn)題的應(yīng)用7、關(guān)于兩直線夾角問(wèn)題的應(yīng)用擬采用的研究方法文獻(xiàn)法 、網(wǎng)絡(luò)搜索法 、探究分析、歸納總結(jié)、教師指導(dǎo)法研究工作的進(jìn)度安排2014 年 1 月至 2014 年 2 月，閱讀相關(guān)方向文獻(xiàn)資料，與指導(dǎo)教師商定題目.2014 年 3 月，大量閱讀與所撰寫內(nèi)容相關(guān)的參考資料，擬定論文（設(shè)計(jì)）詳細(xì)寫作提綱，填寫河池學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告 ，交指導(dǎo)教師審核批準(zhǔn).2014 年 4 月到 5 月上旬，撰寫論文初稿，及時(shí)與指導(dǎo)老師聯(lián)系，匯報(bào)寫作進(jìn)展，遇到難以解決的問(wèn)題應(yīng)及時(shí)向指導(dǎo)老師請(qǐng)教，完成初稿，交指導(dǎo)教師審閱.2014 年 5 月中旬 接受指導(dǎo)教師整改意見，反復(fù)修改，最后定稿.2014 年 5 月下旬至 6 月上旬 準(zhǔn)備論文答辯，答辯結(jié)束后，把論文和各種表格裝訂成冊(cè)交數(shù)學(xué)系辦公室歸檔.參考文獻(xiàn)目錄（作者、書名或論文題目、出版社或刊號(hào)、出版年月日或出版期號(hào)）1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）M.3 版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一類不定積分的計(jì)算及應(yīng)用J.山東師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ，2001,16（3）:317-318.3 蕭勝中.淺談不定積分的求解方法J.廣東民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ，1998（4）:92-95.4 高麗，齊瓊，謝瑞.關(guān)于三類特殊不定積分求解方法的討論J.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào) 自然科學(xué)版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，劉展.一類三角函數(shù)有理式積分計(jì)算的簡(jiǎn)便方法及推廣J.平頂山學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,24（5）：68-70.6 陳慶軒.介紹一類不定積分的解法J.重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，1986,（3）:184-194.7 展丙軍，李兆興.兩類不定積分的巧解J.高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（6）：20-24.指導(dǎo)教師意見該生的選題擬采查閱資料、歸納分析的方法，探討幾類向量法的求解方法，歸納總結(jié)出幾種簡(jiǎn)便方法以求相應(yīng)類型的幾何問(wèn)題，選題有意義，符合專業(yè)研究目標(biāo)，有一定的創(chuàng)新性，并且難度適中，對(duì)工作量的要求合理，估計(jì)能夠完成既定目標(biāo)，同意開題.簽名： 2012 年 月 日教研室主任意見同意指導(dǎo)教師的意見，同意開題.簽名： 2012 年 月 日河 池 學(xué) 院 2014 屆畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）學(xué)生自主選題審批表系別: 數(shù)學(xué)系 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào) 2010104520 姓名論文(設(shè)計(jì))題目 向量在初等幾何中的應(yīng)用題目類型 理論研究 應(yīng)用研究 設(shè)計(jì)開發(fā) 其他是否在實(shí)驗(yàn)室、工程實(shí)踐和社會(huì)實(shí)踐中完成是 否選題依據(jù)與內(nèi)容:在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，在必修二學(xué)習(xí)空間幾何體，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，接著必修四第二章學(xué)習(xí)平面向量，讓學(xué)生對(duì)向量有了初步認(rèn)識(shí)，到選修 2-2 的空間向量與立體幾何充分將之前學(xué)過(guò)的內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合在一起，用向量解決空間幾何問(wèn)題思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)潔，有意想不到的神奇效果，比起過(guò)去的常規(guī)法解決空間幾何問(wèn)題有了更深刻更新穎的認(rèn)識(shí)。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負(fù)擔(dān)。 平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。 向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份” ，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，空間幾何占有著很重要的地位，有些問(wèn)題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會(huì)大大簡(jiǎn)化過(guò)程。預(yù)期成果：探討向量法的簡(jiǎn)易求解方法，分類歸納，找出規(guī)律性的方法和技巧估計(jì)能過(guò)達(dá)到靈活運(yùn)用、熟練掌握向量法的計(jì)算方法與技巧的目標(biāo)教研室主任審查意見:該生的選題符合專業(yè)研究目標(biāo)，估計(jì)能夠完成既定目標(biāo)，同意開題簽名: 年 月 日系(部)主管領(lǐng)導(dǎo)意見:同意開題 簽名: 年 月 日注:本表分選題填寫,每題一頁(yè),由系（院）存檔。目 錄摘 要 .ABSTRACT.1 向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用 .12 向量方法解決證明問(wèn)題的直接應(yīng)用 .22.1 平行問(wèn)題 .22.1.1 證明兩直線平行 .22.1.2 證明線面平行 .32.2 垂直問(wèn)題 .42.2.1 證明兩直線垂直 .42.2.2 證明線面垂直 .42.2.3 證明面面垂直 .52.3 處理角的問(wèn)題 .62.3.1 求異面直線所成的角 .62.3.2 求線面角 .72.3.3 求二面角 .83 向量方法解決度量問(wèn)題的直接應(yīng)用 .103.1 兩點(diǎn)間的距離 .103.2 點(diǎn)與直線距離 .103.3 點(diǎn)到面的距離 .113.4 求兩異面直線的距離 .113.5 求面積 .123.6 求體積 .134 向量方法解決證明與計(jì)算問(wèn)題有關(guān)的綜合應(yīng)用 .145 向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)反思 .215.1 對(duì)比綜合法與向量法的利弊 .215.2 向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟 .225.3 向量法能解決所有立體幾何問(wèn)題嗎 .22參考文獻(xiàn) .23向量法在初等幾何中的運(yùn)用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師：黃春妙摘 要向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份” ，是溝通代數(shù)和幾何的一種工具?？v觀這幾年的高考題，絕大部分都可以用幾何法和向量法去解決。因?yàn)?對(duì)此問(wèn)題向量具有良好的運(yùn)算通性，幾何的直觀性，表達(dá)的簡(jiǎn)潔性和處理問(wèn)題的一般性。通常可使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，本文通過(guò)舉例就向量法證明幾何問(wèn)題做一些探討。關(guān)鍵詞 向量法，初等幾何，應(yīng)用引言 向量既是一種既有大小,又有方向的量它的運(yùn)算具有鮮明的幾何意義,作為一種用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的有力工具,它不僅在研究復(fù)雜圖形方面有著重要作用,在研究初等幾何方面也有著廣泛的應(yīng)用,尤其對(duì)于初等兒何中的平行、垂直、共點(diǎn)共線等問(wèn)題應(yīng)用效果尤佳，現(xiàn)通過(guò)幾個(gè)實(shí)例對(duì)此進(jìn)行探討。裝訂線向量在立體幾何中的應(yīng)用摘 要作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一的向量已進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具，促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化.而在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問(wèn)題用常規(guī)方法去解決往往比較復(fù)雜，運(yùn)用向量作行與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則使過(guò)程得到大大的簡(jiǎn)化.向量法應(yīng)用于平面幾何中時(shí)，它能將平面幾何許多問(wèn)題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合.立體幾何常常涉及到的兩大問(wèn)題：證明與計(jì)算，用空間向量解決立體幾何中的這些問(wèn)題，其獨(dú)到之處，在于用向量來(lái)處理空間問(wèn)題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過(guò)程，使解題變得程序化.關(guān)鍵詞：向量；立體幾何；證明；計(jì)算；運(yùn)用ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimen