2009年全國碩士研究生數(shù)學(xué)三習(xí)題解析

2009 年全國碩士研究生數(shù)學(xué)三試題解析一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的，請把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）函數(shù) 的可去間斷點(diǎn)的個數(shù)為 3()sinxf(A)1. (B)2. (C)3. (D)無窮多個.【答案】C. 【解析】3sinxf則當(dāng) 取任何整數(shù)時， 均無意義fx故 的間斷點(diǎn)有無窮多個，但可去間斷點(diǎn)為極限存在的點(diǎn)，故應(yīng)是 的解fx 30x1,2302003112limlisncosillisncosxxxxxx故可去間斷點(diǎn)為 3 個，即 0,（2）當(dāng) 時， 與 是等價無窮小，則x()sinfxax2()ln(1)gbx(A) ， . （B ） ， . 1a6b6(C) ， . （D） ， .【答案】A. 【解析】 為等價無窮小，則2()sin,()(1)fxaxglnbx222200000sicossinlimlilimlilm()(1)()36xxxxxaaagbbb 洛 洛故排除(B)、 (C).230sinl6xab 36b另外 存在，蘊(yùn)含了 故 排除(D).201coslim3xaxb1cos0ax1.a所以本題選(A).（3）使不等式 成立的 的范圍是1sinlxtdx(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(,)2(,)2(,)【答案】A. 【解析】原問題可轉(zhuǎn)化為求成立時 的111sinsin()lxxxttfddt11sinsin0xxttddx取值范圍，由 ， 時，知當(dāng) 時， .故應(yīng)選(A).0t,t0,()f（4）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上的圖形為yfx1,31()f-2 O 2 3 x-11則函數(shù) 的圖形為0xFftd(A) (B)()fO 2 3 x1-2-11()fxO 2 3 x1-2-11(C) (D)()fxO 2 3 x1-11()fxO 2 3 x1-2-11【答案】D.【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識考核，由 的圖形可見，其圖像與 軸及 軸、()yfxxy所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù) ，從而可得出幾個方面的特征：0xF 時， ，且單調(diào)遞減.,1()Fx 時， 單調(diào)遞增.2x 時， 為常函數(shù) .,3()x 時， 為線性函數(shù)，單調(diào)遞增.10x0F由于 F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點(diǎn)，可見正確選項(xiàng)為(D).（5）設(shè) 均為 2 階矩陣， 分別為 的伴隨矩陣，若 ，則分塊,AB*,AB,|2,|3AB矩陣 的伴隨矩陣為O(A) . (B) . *32A*23OA(C) . (D) .*OB*B【答案】B.【解析】根據(jù) ，若CE1,C分塊矩陣 的行列式 ，即分塊矩陣可逆OAB236ABBO（ ）11166OBOAABBBOA12362A故答案為(B).（6）設(shè) 均為 3 階矩陣， 為 的轉(zhuǎn)置矩陣，且 ，,APTP102TPA若 ，則 為123123(,),(,)QTQ(A) . (B) . 00(C) . (D) .201102【答案】A.【解析】 ，即：1231231231(,)(,)0(,)(QE121212122112()()()()0()0210012TTTPEAPEPA（7）設(shè)事件 與事件 B 互不相容，則A(A) . (B) . ()P()()PAB(C) . (D) .1(1【答案】D.【解析】因?yàn)?互不相容，所以,AB()0PAB(A) ，因?yàn)?不一定等于 1，所以(A)不正確.()()1P()(B)當(dāng) 不為 0 時， (B)不成立，故排除.,(C)只有當(dāng) 互為對立事件的時候才成立，故排除.AB(D) ，故(D) 正確.()()1()PPAB（8）設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立，且 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 的概率分布為XYX(0,1)NY，記 為隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，則函數(shù)102()zFZX的間斷點(diǎn)個數(shù)為（ ）()zFZ(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.【答案】 B.【解析】 ()(0)(1)(ZzPXYzzYPXYzP1()120()XzYzY獨(dú)立,XY1()(0)()2ZFzPxzxz（1）若 ，則12Z（2）當(dāng) ，則z()()zz為間斷點(diǎn)，故選(B).0二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上 .（9） .cos320lim1xxe【答案】 .【解析】 .coscos1332200()limli1xxxee02(cos)lim3ex201li3ex（10）設(shè) ，則 .()yxze(1,0)z【答案】 .2ln1【解析】由 ，故xyz,xz ln(1)ln(1)1xxxde代入 得， .1ln21,02lzx（11）冪級數(shù) 的收斂半徑為 .21()nne【答案】 .【解析】由題意知， 210nnea1111222 ()nnnnn nneea ee 所以，該冪級數(shù)的收斂半徑為 1e（12）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 ,其對應(yīng)價格 的彈性 ，則當(dāng)需求量為()QP0.2p10000 件時，價格增加 1 元會使產(chǎn)品收益增加 元.【答案】8000.【解析】所求即為 因?yàn)?，所以0.2pQP0.2PQ所以 0.2.8QPQ將 代入有 . 10（13）設(shè) , ，若矩陣 相似于 ，則 .()T(1,)TkT30k【答案】2.【解析】 相似于 ，根據(jù)相似矩陣有相同的特征值，得到 的特征值為T30 T3，0，0.而 為矩陣 的對角元素之和， ， .TT130k2k(14)設(shè) ， , 為來自二項(xiàng)分布總體 的簡單隨機(jī)樣本， 和 分別為樣1X2n(,)BnpX2S本均值和樣本方差，記統(tǒng)計量 ，則 .2TXSET【答案】 2np【解析】由 .222()(1)ETnpnp三、解答題：1523 小題，共 94 分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15） （本題滿分 9 分）求二元函數(shù) 的極值.2(,)lnfxyy【解析】 ， ，故 .()0x 2(,)ln10yfxy1,xye.221(),4xyxyfff則 ， ， .12(0,)xef 1(0,)xyef1(0,)yef而xfxyxyff二元函數(shù)存在極小值 .(0,)e（16） （本題滿分 10 分）計算不定積分 .1ln()xd(0)【解析】令 得tx22,(1)tdt2221ln()ln(1)dttt而 2 211()4(1ln()l)24dt dttttC所以 21ln()11l()l42()lnl().xttdtxxC （17） （本題滿分 10 分）計算二重積分 ，其中 .()Dxyd 22(,)1(),Dxyyx【解析】由 得 ，221sincor3(i)4() (sin)0Dxydrrd332(sinco)14(cosi)0rd 2384(cosin)(sico)(sinco)d3384(cosin)(sico)d.33 438814(sinco)(sinco)(sinco)34d 8（18） （本題滿分 11 分）（）證明拉格朗日中值定理，若函數(shù) 在 上連續(xù)，在 上可導(dǎo)，則()fx,ab,ab，得證 .,ab()fa（）證明：若函數(shù) 在 處連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且x00,()，則 存在，且 .0lim()xfA()f()fA【解析】 （）作輔助函數(shù) ，易驗(yàn)證 滿足：()()fbaxax ()x； 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且()ab(),b,.faxf根據(jù)羅爾定理，可得在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使 ，即,()0()f()0()fbfbafbaa（）任取 ，則函數(shù) 滿足：在閉區(qū)間 上連續(xù)，開區(qū)間 內(nèi)可0,xx0,x0,x導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在 ，使得0x0 0()xfff*又由于 ，對上式（*式）兩邊取 時的極限可得：0limxfA0x000 00 ()lilim()li()xxxxff ffA 故 存在，且 .()f()fA（19） （本題滿分 10 分）設(shè)曲線 ，其中 是可導(dǎo)函數(shù)，且 .已知曲線 與直線()yfx()fx()0fx()yfx及 所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲邊梯0,1t形面積值的 倍，求該曲線的方程 .【解析】旋轉(zhuǎn)體的體積為 22()()11xxttVfdf曲邊梯形的面積為： ()xtsf，則由題可知2 2()()()()111xxxxttttVtsfdffdf兩邊對 t 求導(dǎo)可得 2 2()()()()()()txtttxfffffd A繼續(xù)求導(dǎo)可得 ftftft，化簡可