3_8064979_4.立體幾何解題策略之二面角求法

2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 565 中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題 (第 166 號(hào) ) 立體幾何解題策略之二面角 求法 用 平面的 法向量求二面角或求二面角 的余弦值 時(shí) ,涉及到 判斷二面角是銳角還是鈍角 ,如何判斷二面角是銳角還是鈍角？ 求二面角或求二面角 的余弦值 還有無(wú)其它方法 ？ 母題結(jié)構(gòu) :( )(判定方法 )若 二面角 平面 角 是 ,在半平 面 內(nèi)取點(diǎn) P,則 : 是銳角 點(diǎn) P 在 平面 內(nèi) 的 射影點(diǎn)在 半平 面 內(nèi) ; 是鈍角 點(diǎn) P 在 平面 內(nèi)的 射影點(diǎn)不在 半平 面 內(nèi) ; ( )(方向關(guān)系 )若 二面角 平面 角是 , 的法向量 ,平面 的法向量 ,則 : 兩個(gè) 法向量 的方向一個(gè)向二 面角 的 內(nèi) 部 ,另一個(gè)向二 面角 的外部 , ; 兩個(gè)法向量 的方向 均 向二 面角 的 內(nèi) 部 ,或均 向二 面角 的外部 設(shè) ( )(另類(lèi)求法 )設(shè)點(diǎn) A,C 分別是二面角 棱 l 上的兩點(diǎn) ,點(diǎn) B,D 分別在半平面 , 內(nèi) ,且 l,l,則 夾的角就是二面角 平面 角 . 母題 解 析 :略 . 子題類(lèi)型 :(2016 年 高考 全國(guó) 乙 卷 試題 )如圖 ,在以 A,B,C,D,E,F 為頂點(diǎn)的五面體中 , 面 正方形 , 00,且二面角 二面角 是 600. ( )證明 :平面 平面 ( )求二面角 余弦值 . 解析 :( )由 正方形 由 00 平面 平面 平面 ( )以 E 為原點(diǎn) ,建立坐標(biāo)系 如圖 ,設(shè) a,則 B(0,4a,0),C(a,0, 3 a),A(4a,4a,0) (0,4a,0),(a,3 a),(,0);設(shè)平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0, m 0 m=( 3 ,0,同理可得 :平面 法向量 n=(0, 3 ,4) (點(diǎn) E 在 平面 的 射影點(diǎn)不在 半平 面 )二面角 余弦值 =-|點(diǎn)評(píng) :若二面角 則 : 當(dāng)是銳角時(shí) ,|當(dāng)是鈍角時(shí) ,-| 同 類(lèi) 試題 : 1.(2014 年課標(biāo) 高考試題 )如圖 ,三棱柱 側(cè)面 菱形 , )證明 :( )若 00,C,求二面角 弦值 . 2.(2011 年課標(biāo)高考試題 )如圖 ,四棱錐 ,底面 00,D底面 ( )證明 : ( )若 D,求二面角 余 弦值 . 系 子題類(lèi)型 :(2015 年 浙 江高考試題 )如 圖 ,在三棱柱 00,C=2,射影為 中點(diǎn) ,D 是 中點(diǎn) .( )證明 :平面 )求二面角 解析 :( )設(shè) 中點(diǎn) 為 O,則 C 平面 面 平面 ( )在長(zhǎng)方體中作出 三棱柱 以直線(xiàn) x、 y、 z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 ,如圖 ,則B( 2 ,0,0),0, 14 ),2 , 2 , 14 ),D(0, 2 , 14 );則 平面 法向量 m=( 7 ,0,1)(向二 面角 的 內(nèi) 部 ),平面 法向量 n=(0, 7 ,向二 面角 的外部 ) 81 二面角 F 566 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 點(diǎn)評(píng) :利用平面法向量的方向與二面角的大小關(guān)系 ,求二面角的平面角的余弦值 ,關(guān)鍵是判 斷 平面法向量的方向 ,平移向量是判 斷 平面法向量方向的有力手段 . 同 類(lèi) 試題 : 3.(2010 年 重慶 高考試題 )如 圖 ,四棱錐 底面 底 面 A=6 ,點(diǎn) E 是棱 中點(diǎn) . ( )求直線(xiàn) 平面 距離 ; ( )若 3 ,求二面角 平面角的余弦值 . 4.(2011 年 遼 寧高考試題 )如圖 ,四邊形 正方形 ,平面 DB=21( )證明 :平面 平面 ( )求二面角 余弦值 . 子題類(lèi)型 :(2013 年 大綱 高考試題 )如圖 ,四棱錐 , 00, 是等邊三角形 . ( )證明 : ( )求二面角 大小 . 解析 :( )取 中點(diǎn) E,連結(jié) 正方形 ,過(guò) P 作 平面 足為 O; 由 是等邊三角形 B=B=點(diǎn) O 為正方形 角線(xiàn)的 交點(diǎn) D 的中點(diǎn) E 是 中點(diǎn) ( )以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,方向?yàn)?x 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè) 且 0,則 成的角就是二面角 平面角 ;由 且 0 =1 二面角 余弦值 =點(diǎn)評(píng) :這種方法就是要分別過(guò)兩個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn) (兩點(diǎn)在棱上時(shí)可以重合 )作與棱垂直的向量 ,這兩個(gè)向量所成的角就是二面角的平面角 . 同 類(lèi) 試題 : 5.(2013 年 山東 高考試題 )如圖所示 ,在三棱錐 ,平面 A=,C,E,F 分別是 Q,中點(diǎn) ,D 與 于點(diǎn) G,Q 交于 點(diǎn) H,連接 )求證 : ( )求二面角 余弦值 . 6.(2012 年浙江高考試題 )如圖 ,在四棱錐 ,底面是邊長(zhǎng)為 2 3 的菱形 ,且 200,且 平面 A= 2 6 ,M,N 分別為 D 的中點(diǎn) . ( )證明 :平面 ( )過(guò)點(diǎn) Q 足為點(diǎn) Q,求二面角 平面角的余弦值 . 7.(2015 年 重慶 高考試題 )如圖 ,三棱錐 ,面 C=3, ,D,E 分別為線(xiàn)段 且 E= 2 ,. ( )證明 :面 ( )求二面角 余弦值 . 8.(2007 年 安徽 高考試題 )如圖 ,在六面體 四邊形 邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ,四邊形 的正方形 ,平面 平面 . ( )求證 :C 共面 ,D 共面 ; ( )求證 :平面 平面 ( )求二面角 大小 (用反三角函數(shù)值 表 示 ). 9.(2005 年 全國(guó) 高考試題 )已知四棱錐 底面為直角梯形 , 00, 底面 D=1,M 是 中點(diǎn) .( )證明 :面 ( )求 B 所成的角 ; ( )求面 面 成二面角的大小 . ( )設(shè) 1,在 菱形 平面 2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 567 由 O 是 ( )由 C,由 C 在直線(xiàn)分別為 x,y,z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)如圖 ,不妨設(shè) ,則 ,由 600 3 A(0,0,1),B( 3 ,0,0),1,0), 3 ,0,0) 11(- 3 ,0,1);設(shè)平面 m= (x,y,z),由 m 110,m 110 m=(1,- 3 , 3 );同理可得 :平面 n=(1, 3 , 3 ) 1 二面角 弦值 =71. ( )在 , 00, 面 面 ( )不妨設(shè) D=1,由 3 ;以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,B,x, y,z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)如圖 ,則 A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C(3 ,0),P(0,0,1);設(shè)平 面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(0,1, 3 );同理可得 :平面 n=(- 3 , 3 ) 二面角 余弦值 =772. ( )以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,射線(xiàn) 別為 x 軸、 z 軸 正半軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 ,設(shè) AD=a,則 (26,0,26),(- 6 ,0, 6 ) 0 平面 直線(xiàn) 平面 距離 =|= 3 ; ( )由 3 D(0, 3 ,0),C( 6 , 3 ,0);設(shè)平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(1,- 2 ,(向外部 );同理可得 平面 法向量 n=(0,1, 2 )(向外部 ) 33 二面角 余弦值 =33. ( )在長(zhǎng)方體中作出幾何體 ,并分別以直 線(xiàn) x、 y、 z 軸正方向 ,建立空間直角 坐標(biāo)系 ,如圖 ,不妨設(shè) ,則 (1,),(1,1,0),(0,0,1) 0, =0 Q 平面 平面 平面 ( )設(shè) 平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 ,令 y=1得 m=(1,1,1)(向二 面角 的外部 ),同理可得 平面 法向量 n=(0,1,2)(向二 面角 的外部 ) 15 二面角 余弦值 =( )由 別為 中位線(xiàn) C 面 ( )在 ,D= B 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,分別以 Q,在直線(xiàn)為 x 軸 , y 軸 ,z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,設(shè) P=,則 是二面角 平 面角 二面角 余弦值 =( )由 M,N 分別為 D 的中點(diǎn) 平面 ( )建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 中點(diǎn) H(23,0, 6 );由 Q(334,0,362) (0,- 6 ),( 635 ,0,- 36 ),又 (0,3,0) 0, 0 568 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 二面角 平面 角 ;由 333 二面角 平面角的余弦值 =3333. 分別以直線(xiàn) x、 y、 z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 ,如圖 ,則 P(0,0,3); 由 E= 2 , (0,2,0),B(0,3,0),D(1,1,0) A(23,0,0); ( )由 (,0),(1,1,0),(0,0,3) 0, 0 E 平面 ( )平面 法向量 m=(2,1,1),法向量 (,0) 63 二面角 余弦值 =63. ( )由 平面 平面 平面 平面 E 行且等于 理可得 :行且等于 行且等于 C 共面 ,同理可 證 : ( )由 平面 由 平面 平面 ( )以 D 為原點(diǎn) ,C,x