數(shù)學建模競賽課件---微分方程模型

微分方程模型馬忠明動態(tài)模型 描述對象特征隨時間 (空間 )的演變過程 分析對象特征的變化規(guī)律 預報對象特征的未來性態(tài) 研究控制對象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分方程建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程背景年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口 (億 ) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口 (億 ) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律 控制人口過快增長一、 人口增長模型指數(shù)增長模型 馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(t) 時刻 t的 人口基本假設 : 人口 (相對 )增長率 r 是常數(shù)今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應用及局限性 與 19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于 19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合 19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù) 人口增長率 r不是常數(shù) (逐漸下降 )阻滯增長模型 (Logistic模型 )人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設 r固有增長率 (x很小時 )xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是 x的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0x(t)S形曲線 , x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型 (Logistic模型 )參數(shù)估計 用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位 百萬）1860 1870 1880 1960 1970 1980 199031.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計阻滯增長模型 (Logistic模型 )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗用模型計算 2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為 281.4 (百萬 )模型應用 預報美國 2010年的人口加入 2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟領域中的應用 (如耐用消費品的售量 )阻滯增長模型 (Logistic模型 )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0Leslie模型與人口發(fā)展模型l 中國人口增長預測 論文 1l 中國人口增長預測 論文 2人口預測和控制 年齡分布對于人口預測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）0 tr生育率的分解總和生育率h生育模式0人口發(fā)展方程和生育率總和生育率 控制生育的多少生育模式 控制生育的早晚和疏密 正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制 N(t)不過大控制 (t)不過高二、 隨機人口模型背景 一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū) 平均生育率平均死亡率 確定性模型一個家族或村落 出生概率死亡概率 隨機性模型對象 X(t) 時刻 t 的人口 , 隨機變量 .Pn(t) 概率 P(X(t)=n), n=0,1,2,研究 Pn(t)的變化規(guī)律；得到 X(t)的期望和方差若 X(t)=n, 對 t到 t+t的出生和死亡概率作以下假設1)出生一人的概率與 t成正比，記 bnt ;出生二人及二人以上的概率為 o(t).2)死亡一人的概率與 t成正比，記 dnt ;死亡二人及二人以上的概率為 o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。bn與 n成正比，記 bn=n , 出生概率 ；dn與 n成正比，記 dn=n， 死亡概率 。進一步假設模型假設建模 為得到 Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察 Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).事件 X(t +t)=n的分解X(t)=n-1, t內(nèi)出生一人X(t)=n+1, t內(nèi)死亡一人X(t)=n, t內(nèi)沒有出生和死亡其它 (出生或死亡二人，出生且死亡一人， )概率 Pn(t+t) Pn-1(t), bn-1t Pn+1(t), dn+1t Pn(t), 1-bnt -dn t o(t)一組遞推微分方程 求解的困難和不必要(t=0時已知人口為 n0)轉而考察 X(t)的期望和方差bn=n， dn=n微分方程建模X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k求解比較