論文_傅里葉變換的可視化及應(yīng)用研究.doc

論文編碼：首都師范大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)論文傅里葉變換的可視化及應(yīng)用研究作者：吳曉龍?jiān)合担何锢硐祵I(yè)：物理學(xué)（師范）學(xué)號(hào)：1070600080指導(dǎo)教師：郭懷明日期：2011年5月9日I中文提要傅里葉變換是由實(shí)空間向頻譜空間的變換。傅里葉變換的重要性在于很多實(shí)際問題在頻譜空間更易處理，而快速傅里葉變換的發(fā)展則使之更便于應(yīng)用。本文涉及傅里葉級(jí)數(shù)、連續(xù)傅里葉變換、快速傅里葉變換、廣義傅里葉級(jí)數(shù)，旨在介紹它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，并探討它們?cè)贛atLab中的可視化實(shí)現(xiàn)方法，以及在實(shí)際中的應(yīng)用。本文最后還對(duì)傅里葉變換的意義做了簡(jiǎn)單探討。關(guān)鍵詞：傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉變換快速傅里葉變換可視化IIAbstractFourierTransformisakindoftransformationfromthereal-spacetofrequency-space.ThereasonwhyFourierTransformisimportantisthatmanyrealisticproblemsaremoreeasilytobesolvedinfrequency-space.Specially,thedevelopmentofFastFourierTransformmakeitmoreconvenienttouse.ThispaperreviewsFourierSeries,FourierTransform,FastFourierTransformandGeneralizedFourierSeries.Wediscusstherelationshipandthedifferenceamongthem,andintroducetheirapplicationsinrealisticproblems,thenvisualizetheminMatLab.Finally，wemakesomecommentsonthemeaningofFourierTransform.Keywords：FourierSeriesFourierTransformFFTVisualization第1頁(yè)目錄一、引言1二、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的可視化及應(yīng)用12.1傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的數(shù)學(xué)依據(jù)12.2傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)22.3傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的實(shí)際應(yīng)用3三、DFT、FFT的可視化及應(yīng)用43.1DFT、FFT的數(shù)學(xué)依據(jù)43.2FFT的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)53.3FFT的實(shí)際應(yīng)用6四、廣義傅里葉級(jí)數(shù)的可視化及應(yīng)用84.1廣義傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)依據(jù)84.2廣義傅里葉級(jí)數(shù)的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)94.3廣義傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用9五、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的意義11六、總結(jié)及結(jié)論12附錄13參考文獻(xiàn)17致謝18英文原文19中文譯文30第1頁(yè)一、引言傅里葉級(jí)數(shù)最初是法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫傅里葉在求解熱傳導(dǎo)方程時(shí)產(chǎn)生的，隨后傅里葉變換、離散傅里葉變換（DFT）應(yīng)運(yùn)而生，并不斷的發(fā)展為一整套傅里葉分析理論體系。傅里葉分析在很多方面都有應(yīng)用，但直到快速傅里葉變換（FFT）的誕生才把傅里葉分析推向了高潮。1965年，Cooley和Tukey兩人在計(jì)算機(jī)科學(xué)上發(fā)表了機(jī)器計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法一文，之后FFT開始大規(guī)模應(yīng)用。時(shí)至今日，傅里葉分析已被廣泛的應(yīng)用于信號(hào)分析、信號(hào)處理、光譜分析、量子力學(xué)、天體物理學(xué)、微分方程求解、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域，成為數(shù)據(jù)分析的一種有效的基礎(chǔ)手段。同時(shí)，結(jié)合各領(lǐng)域自身的特點(diǎn)，以傅里葉分析為基礎(chǔ)而發(fā)展起來(lái)的其他更有效的分析方法也得到了廣泛的實(shí)際應(yīng)用。比如小波分析以及Z變換，在信號(hào)分析中應(yīng)用都很廣泛。但毋庸置疑，以傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換、DFT、FFT為基礎(chǔ)的傅里葉分析依然是一種不可替代的簡(jiǎn)單而有效的分析方法。二、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的可視化及應(yīng)用2.1傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的數(shù)學(xué)依據(jù)2.1.1傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)以三角函數(shù)系1,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,.xxxxnxnx為展開函數(shù)，可以證明三角函數(shù)系是正交歸一的。以2l為周期的任意周期函數(shù)()fx的傅里葉級(jí)數(shù)形式為：011(cossin)2nnnnnaaxbxll（2-1-1）1()coslnlnafxxdxll(1,2,3,n)1()sinlnlnbfxxdxll(1,2,3,n)01()llafxdxl若()fx滿足狄里克雷充分條件，即：（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，（2）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則()fx的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于1()()2fxfx。()fx亦可寫為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：()nixlnrfxe（2-1-2）R.Courant，D.Hilbert.MethodsofMathematicalPhysics（VolumeI），Wiley，1989，49-50第2頁(yè)1()2nixllnlfxedxl(0,1,2,)2.1.2傅里葉變換對(duì)定義在(,)上的非周期函數(shù)()fx，在傅里葉級(jí)數(shù)形式中令半周期l可得傅里葉積分公式形式，且若()fx滿足條件：（1）在任意有限區(qū)間內(nèi)滿足狄里克雷條件，（2）()fx在(,)上絕對(duì)可積，則()fx的傅里葉積分收斂于1()()2fxfx。其展開形式為：00()()cos()sinfxAxdBxd（2-1-3）1()()cosAfxxdx1()()sinBfxxdx()fx亦可寫為復(fù)數(shù)形式傅里葉積分：1()()2ixfxFed（2-1-4）()()ixFfxedx其中第二式即為傅里葉變換式，第一式又稱傅里葉逆變換式。可以看出，兩變換式前的系數(shù)存在一個(gè)自由度，因此變換式與對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)展開式之間也會(huì)相差一常數(shù)因子。同時(shí)也可以看出，變換的展開系數(shù)本身數(shù)值的絕對(duì)大小并不具有切實(shí)的物理意義，其相對(duì)大小才真正具有意義。2.2傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)在給定()fx形式后，運(yùn)用Matlab中的積分命令“int()”可以實(shí)現(xiàn)對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換中系數(shù)的計(jì)算，或運(yùn)用傅里葉變換命令“fourier()”直接實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，進(jìn)一步作圖可得到傅里葉變換的直觀圖像。下面我們就來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單而典型的例子，以方波為例看看一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在MatLab中是怎樣可視化實(shí)現(xiàn)的：例1.1：以T為周期的方波()ft的傅里葉級(jí)數(shù)的可視化。()ft=H()22t0(,)2222TTtt張志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大學(xué)出版社，2003第3頁(yè)從定義式（2-1-2）可以很容易得到()ft的k級(jí)傅里葉展開系數(shù)為2/2/21kitTkHedtT，由積分命令int()計(jì)算可得sinkHkkT，又/20/21HHdtTT，故有基波及諧波振幅為0HAT，sinkHkAkT。用MatLab中的stem()函數(shù)做出基波及各級(jí)諧波振幅的直觀圖像，這里令H=1，T=2，0.25，圖像如下（計(jì)算、作圖程序見附錄）圖1.1方波的傅里葉級(jí)數(shù)譜圖1.2方波脈沖的傅里葉變換譜從圖中可以清晰地看出基波及各級(jí)諧波的振幅對(duì)比，振幅隨級(jí)次的衰減、變化的趨勢(shì)一目了然。我們還可以做一些拓展，來(lái)看看傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換之間存在的微妙聯(lián)系。在例1.1中令T則()ft變?yōu)榉讲}沖，其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換如圖1.2。與圖1.1對(duì)比可以看出實(shí)際上圖1.2中的譜線就是圖1.1中傅里葉級(jí)數(shù)譜的包絡(luò)線，只是幅值大小相差倍。這也從側(cè)面反映出了傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換之間的緊密聯(lián)系。2.3傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方程中波動(dòng)方程（如一維波動(dòng)方程：20ttxxuau）、輸運(yùn)方程（如一維熱傳導(dǎo)方程：20txxuau）的空間部分的本征函數(shù)解構(gòu)成正交完備的三角函數(shù)系，因此可用傅里葉級(jí)數(shù)法或傅里葉變換法進(jìn)行求解。傅里葉級(jí)數(shù)法適用于求解定義在有限區(qū)域內(nèi)的問題，而傅里葉變換法則適用于求解定義在無(wú)限區(qū)域上的問題。同樣的