論文_傅里葉變換的可視化及應用研究.doc

論文編碼：首都師范大學本科學生畢業(yè)論文傅里葉變換的可視化及應用研究作者：吳曉龍院系：物理系專業(yè)：物理學（師范）學號：1070600080指導教師：郭懷明日期：2011年5月9日I中文提要傅里葉變換是由實空間向頻譜空間的變換。傅里葉變換的重要性在于很多實際問題在頻譜空間更易處理，而快速傅里葉變換的發(fā)展則使之更便于應用。本文涉及傅里葉級數(shù)、連續(xù)傅里葉變換、快速傅里葉變換、廣義傅里葉級數(shù)，旨在介紹它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，并探討它們在MatLab中的可視化實現(xiàn)方法，以及在實際中的應用。本文最后還對傅里葉變換的意義做了簡單探討。關鍵詞：傅里葉級數(shù)傅里葉變換快速傅里葉變換可視化IIAbstractFourierTransformisakindoftransformationfromthereal-spacetofrequency-space.ThereasonwhyFourierTransformisimportantisthatmanyrealisticproblemsaremoreeasilytobesolvedinfrequency-space.Specially,thedevelopmentofFastFourierTransformmakeitmoreconvenienttouse.ThispaperreviewsFourierSeries,FourierTransform,FastFourierTransformandGeneralizedFourierSeries.Wediscusstherelationshipandthedifferenceamongthem,andintroducetheirapplicationsinrealisticproblems,thenvisualizetheminMatLab.Finally，wemakesomecommentsonthemeaningofFourierTransform.Keywords：FourierSeriesFourierTransformFFTVisualization第1頁目錄一、引言1二、傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的可視化及應用12.1傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的數(shù)學依據(jù)12.2傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的Matlab可視化實現(xiàn)22.3傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的實際應用3三、DFT、FFT的可視化及應用43.1DFT、FFT的數(shù)學依據(jù)43.2FFT的Matlab可視化實現(xiàn)53.3FFT的實際應用6四、廣義傅里葉級數(shù)的可視化及應用84.1廣義傅里葉級數(shù)的數(shù)學依據(jù)84.2廣義傅里葉級數(shù)的Matlab可視化實現(xiàn)94.3廣義傅里葉級數(shù)的實際應用9五、傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的意義11六、總結(jié)及結(jié)論12附錄13參考文獻17致謝18英文原文19中文譯文30第1頁一、引言傅里葉級數(shù)最初是法國數(shù)學家約瑟夫傅里葉在求解熱傳導方程時產(chǎn)生的，隨后傅里葉變換、離散傅里葉變換（DFT）應運而生，并不斷的發(fā)展為一整套傅里葉分析理論體系。傅里葉分析在很多方面都有應用，但直到快速傅里葉變換（FFT）的誕生才把傅里葉分析推向了高潮。1965年，Cooley和Tukey兩人在計算機科學上發(fā)表了機器計算傅里葉級數(shù)的一種算法一文，之后FFT開始大規(guī)模應用。時至今日，傅里葉分析已被廣泛的應用于信號分析、信號處理、光譜分析、量子力學、天體物理學、微分方程求解、地質(zhì)勘探、醫(yī)學、生物學等領域，成為數(shù)據(jù)分析的一種有效的基礎手段。同時，結(jié)合各領域自身的特點，以傅里葉分析為基礎而發(fā)展起來的其他更有效的分析方法也得到了廣泛的實際應用。比如小波分析以及Z變換，在信號分析中應用都很廣泛。但毋庸置疑，以傅里葉級數(shù)、傅里葉變換、DFT、FFT為基礎的傅里葉分析依然是一種不可替代的簡單而有效的分析方法。二、傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的可視化及應用2.1傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的數(shù)學依據(jù)2.1.1傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)以三角函數(shù)系1,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,.xxxxnxnx為展開函數(shù)，可以證明三角函數(shù)系是正交歸一的。以2l為周期的任意周期函數(shù)()fx的傅里葉級數(shù)形式為：011(cossin)2nnnnnaaxbxll（2-1-1）1()coslnlnafxxdxll(1,2,3,n)1()sinlnlnbfxxdxll(1,2,3,n)01()llafxdxl若()fx滿足狄里克雷充分條件，即：（1）在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，（2）在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點，則()fx的傅里葉級數(shù)收斂于1()()2fxfx。()fx亦可寫為復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：()nixlnrfxe（2-1-2）R.Courant，D.Hilbert.MethodsofMathematicalPhysics（VolumeI），Wiley，1989，49-50第2頁1()2nixllnlfxedxl(0,1,2,)2.1.2傅里葉變換對定義在(,)上的非周期函數(shù)()fx，在傅里葉級數(shù)形式中令半周期l可得傅里葉積分公式形式，且若()fx滿足條件：（1）在任意有限區(qū)間內(nèi)滿足狄里克雷條件，（2）()fx在(,)上絕對可積，則()fx的傅里葉積分收斂于1()()2fxfx。其展開形式為：00()()cos()sinfxAxdBxd（2-1-3）1()()cosAfxxdx1()()sinBfxxdx()fx亦可寫為復數(shù)形式傅里葉積分：1()()2ixfxFed（2-1-4）()()ixFfxedx其中第二式即為傅里葉變換式，第一式又稱傅里葉逆變換式。可以看出，兩變換式前的系數(shù)存在一個自由度，因此變換式與對應的級數(shù)展開式之間也會相差一常數(shù)因子。同時也可以看出，變換的展開系數(shù)本身數(shù)值的絕對大小并不具有切實的物理意義，其相對大小才真正具有意義。2.2傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的Matlab可視化實現(xiàn)在給定()fx形式后，運用Matlab中的積分命令“int()”可以實現(xiàn)對傅里葉級數(shù)、傅里葉變換中系數(shù)的計算，或運用傅里葉變換命令“fourier()”直接實現(xiàn)傅里葉變換，進一步作圖可得到傅里葉變換的直觀圖像。下面我們就來看一個簡單而典型的例子，以方波為例看看一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)在MatLab中是怎樣可視化實現(xiàn)的：例1.1：以T為周期的方波()ft的傅里葉級數(shù)的可視化。()ft=H()22t0(,)2222TTtt張志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大學出版社，2003第3頁從定義式（2-1-2）可以很容易得到()ft的k級傅里葉展開系數(shù)為2/2/21kitTkHedtT，由積分命令int()計算可得sinkHkkT，又/20/21HHdtTT，故有基波及諧波振幅為0HAT，sinkHkAkT。用MatLab中的stem()函數(shù)做出基波及各級諧波振幅的直觀圖像，這里令H=1，T=2，0.25，圖像如下（計算、作圖程序見附錄）圖1.1方波的傅里葉級數(shù)譜圖1.2方波脈沖的傅里葉變換譜從圖中可以清晰地看出基波及各級諧波的振幅對比，振幅隨級次的衰減、變化的趨勢一目了然。我們還可以做一些拓展，來看看傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間存在的微妙聯(lián)系。在例1.1中令T則()ft變?yōu)榉讲}沖，其對應的傅里葉變換如圖1.2。與圖1.1對比可以看出實際上圖1.2中的譜線就是圖1.1中傅里葉級數(shù)譜的包絡線，只是幅值大小相差倍。這也從側(cè)面反映出了傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間的緊密聯(lián)系。2.3傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的實際應用數(shù)學物理方程中波動方程（如一維波動方程：20ttxxuau）、輸運方程（如一維熱傳導方程：20txxuau）的空間部分的本征函數(shù)解構(gòu)成正交完備的三角函數(shù)系，因此可用傅里葉級數(shù)法或傅里葉變換法進行求解。傅里葉級數(shù)法適用于求解定義在有限區(qū)域內(nèi)的問題，而傅里葉變換法則適用于求解定義在無限區(qū)域上的問題。同樣的