輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)學(xué)士-畢業(yè)論.docx

北方民族大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 論文題目: 輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 院(部)名 稱: 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 學(xué) 生 姓 名: 柯樹媛 專 業(yè): 統(tǒng)計學(xué) 學(xué) 號: 20124615 指導(dǎo)教師姓名: 陳瑞鵬 論文提交時間: 論文答辯時間: 學(xué)位授予時間: 北方民族大學(xué)教務(wù)處制輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘 要在高等數(shù)學(xué)的解題中,靈活地運用輔助函數(shù)往往可以把一個題目簡單化,使我們能夠更好地理解題目本質(zhì),甚至有時候只有用輔助函數(shù)才能解出題目.高等數(shù)學(xué)解題中建立輔助函數(shù)的思路,類似于幾何證明中添加輔助線,二者都是解決問題的重要思路和經(jīng)典方法.因此,深入理解輔助函數(shù)及其作用,對于我們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類相關(guān)課程是至關(guān)重要的,并且是必須熟練掌握的.怎樣根據(jù)題目的特點構(gòu)造出合適的輔助函數(shù),通常都是快速解決題目的關(guān)鍵所在,也是難點所在.但其實經(jīng)過大量的題海戰(zhàn)歸納總結(jié)就可以發(fā)現(xiàn),輔助函數(shù)的構(gòu)造在每類題型中,還是遵從一定規(guī)律的并有章可循的.以下我們通過本文,分別從證明定理和解題兩大方面來講述輔助函數(shù)的作用.關(guān)鍵字: 高等數(shù)學(xué),輔助函數(shù),應(yīng)用. IIAbstractThe using of flexible application can make us suderstand a difficult problem easily,and make it be solved quickly in higher mathematics studying,sometimes even could not to solve the questions without auxiliary function. The thought of establishing auxiliary function in solving the problem of higher mathematics,which is similar to the auxiliary line in the proof of geometry,they are the important ways and the classical methods of solving the problem all.So,It is essential to understand the auxiliary functions and their application for us to study the related mathematics courses,and we must master it skillfully.How to construct suitable auxiliary functions according to the characteristics of the problem,not only is the key to solve the questions quickly,but also the difficulties.However we can find it also could be coplid with certain rules and regulations ,after solving a large number of mathematical prombles.In the follo,let us talk about the usage of flexible functions in theorems proving and problem solving . Key words: higher mathematics,auxiliary function,application . 目錄 1 緒 論11.1本論文選題的目的及意義11.2輔助函數(shù)的發(fā)展及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究現(xiàn)狀11.3本文結(jié)構(gòu)及主要工作任務(wù)12輔助函數(shù)的構(gòu)造及在定理證明的應(yīng)用32.1輔助函數(shù)幾種常見的構(gòu)造方法32.1.1弧弦差法32.1.2 “逆向思維法”32.1.3原函數(shù)法32.1.4設(shè)置變量法32.1.5幾何直觀法32. 1. 6微分方程法42.1.7常數(shù)k值法42. 2輔助函數(shù)在定理證明中的應(yīng)用42.2.1牛頓-萊布尼茲公式的證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用42. 2. 2構(gòu)造輔助函數(shù)證明泰勒公式52. 2. 3構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理73 輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用93. 1構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式與不等式93. 1.1構(gòu)造輔助函數(shù)在恒等式證明中的應(yīng)用93.1.2構(gòu)造輔助函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用113.2構(gòu)造輔助函數(shù)的值域在解題中的應(yīng)用133.2.1構(gòu)造輔助函數(shù)討論方程的根133. 3構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值問題143.4構(gòu)造輔助函數(shù)求極限15總 結(jié)17致 謝18參考文獻19VII1 緒 論 1.1本論文選題的目的及意義我們通常所提到的輔助函數(shù)在題目中是沒有的,結(jié)論中也是不存在的 ,它僅是解題的過程,類似于平面幾何中添加的輔助線,起到輔助解題的作用.這就如同我們自己人生的道路中,往往遇到絆腳石時,只有選擇特殊的方法來幫助我們解決所遇到的絆腳石,才能到達理想的彼岸一樣.同時,輔助函數(shù)是幫助我們巧妙的把特殊的數(shù)學(xué)問題變換為一般問題,把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的一種重要手段,這種轉(zhuǎn)化的思維方式在分析數(shù)學(xué)問題的過程中，是非常重要和常見的。如：輔助函數(shù)為微分中值定理的證明奠定了基礎(chǔ),特別在拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明中運用的恰到好處.以及在格林公式的證明中,先對既是X型又是Y型的特殊區(qū)域進行討論,再通過添加輔助線利用已經(jīng)解決了的特殊區(qū)域的結(jié)果,把任意單連通區(qū)域分成若干個特殊區(qū)域來解決問題.總之,數(shù)學(xué)領(lǐng)域中廣泛地被運用著構(gòu)造輔助函數(shù)法,輔助函數(shù)所起的作用是橋梁式的作用,甚至有些是無法被其他方法替代的.所以,對于我們深入研究其技巧和方法也就顯得十分必要了.1.2輔助函數(shù)的發(fā)展及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究現(xiàn)狀早在19世紀以前就已經(jīng)有了幾何、代數(shù)和分析這三大數(shù)學(xué)分支,而幾何和代數(shù)都是初等數(shù)學(xué)的分支,只有分析從一開始就屬于高等數(shù)學(xué).到后來幾何和分析也逐漸發(fā)展為高等數(shù)學(xué)的一部分.隨著高等數(shù)學(xué)發(fā)展的逐步完善,在解決某些定理、不等式的證明、隱函數(shù)的求導(dǎo)、函數(shù)零點的討論等一系列較難問題的過程中,根據(jù)問題的條件與結(jié)論的特點 ,綜合運用數(shù)學(xué)的基本概念和原理 ,通過逆向分析,經(jīng)過多角度的思考、構(gòu)造出能夠讓結(jié)論和條件互相聯(lián)系起來的輔助型函數(shù),使得輔助函數(shù)應(yīng)運而生.雖然輔助函數(shù)沒有自己特定的意義,但是隨著科技的發(fā)展,它的應(yīng)用已經(jīng)深入到自然科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟、管理和工程科學(xué)等各個領(lǐng)域.尤其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為顯著.在數(shù)學(xué)分析中,基本定理、極限、恒等式、微分中值定理的證明以及不等式的證明中它都發(fā)揮著極其重要的作用;在高等數(shù)學(xué)中,有關(guān)是否存在方程根的問題,有關(guān)近似計算問題,幫助學(xué)生掌握易混淆概念等方面都有輔助函數(shù)的身影.作為為其他數(shù)學(xué)問題提供方便的一種函數(shù),輔助函數(shù)的發(fā)展遠不止如此,只要社會是發(fā)展的,數(shù)學(xué)是發(fā)展的,那么輔助函數(shù)也就會一直發(fā)展下去.1.3本文結(jié)構(gòu)及主要工作任務(wù) 本論文主要是認識輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性以及廣泛性,進而深入了解并學(xué)習(xí)掌握輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中常見的幾種應(yīng)用情況.首先我們需要歸納總結(jié)輔助函數(shù)的幾種構(gòu)造方法,并講解它們的適用題型和需要特別注意的點.在此基礎(chǔ)上,我們應(yīng)該通過具體的例題來鞏固輔助函數(shù)的應(yīng)用方法,體會它在數(shù)學(xué)解題中的重要性以及方便靈活性,和輔助函數(shù)的引進如何使題目變得簡單易解.在解題中的應(yīng)用主要從定理證明和具體例題解答兩個大的方面入手,定理證明中的應(yīng)用包括：微積分基本定理,牛頓-萊布尼茲公式,泰勒公式,以及拉格朗日中值定理幾大定理,具體解題中的應(yīng)用主要包括：恒等式的證明,不等式的證明,方程根的討論,中值問題的證明,極限的求解幾大類.最后還需要對整片論文加以概括總結(jié),呈現(xiàn)它的主體枝干和各種不同類題型的解題心得,以便后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中再遇到輔助函數(shù)相關(guān)問題時,方便參考.2輔助函數(shù)的構(gòu)造及在定理證明的應(yīng)用2.1輔助函數(shù)幾種常見的構(gòu)造方法構(gòu)造輔助函數(shù)法是指：在數(shù)學(xué)題目的解答過程中,觀察問題的已知條件和所需要求得的結(jié)論之間的隱含關(guān)系及特點,使用逆向思維方式,通過嚴密的邏輯思維,全面的聯(lián)系數(shù)學(xué)中所學(xué)過的基本定理和概念,貼入題目建立一個條件與結(jié)論相聯(lián)系的橋梁（即我們構(gòu)造的輔助函數(shù)）,以通過對它的利用來幫助我們快速解答所要求解的問題.中值點存在性定理,微分中值定理,不等式的證明等很多命題的證明都用到了構(gòu)造函數(shù)法.但輔助函數(shù)一般都是通過仔細觀察,題型之間相互類比,從結(jié)論到條件逆向思考,假設(shè)猜想,以及具體分析的過程而得到的,其構(gòu)造方法多樣廣泛,并沒有具體的套路.這一章我們先來對輔助函數(shù)常見的幾種構(gòu)造方法進行簡單的歸納介紹.2.1.1弧弦差法利用弧弦差來構(gòu)造輔助函數(shù),稱為弧弦差構(gòu)造函數(shù)法.微分中值定理的相關(guān)證明就是采用這種方法,就如拉格朗日中值定理.2.1.2 “逆向思維法”它是指在研究解決某一問題時,因為解決過程受到一定阻礙而無法解決時,將解決問題的手段轉(zhuǎn)化成另一種,或者從思考角度進行改變,從而達到目的思維方式.而轉(zhuǎn)換成另一種手段,或轉(zhuǎn)換思考角度思考,以使問題順利解決的思維方法.2.1.3原函數(shù)法在微分中值定理求解介值問題時要證明的結(jié)論往往是某一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點,所以輔助函數(shù)往往是通過不定積分反求出原函數(shù)得到的,用這種方法構(gòu)造輔助函數(shù)的具體步驟為：(1) 用x結(jié)論中的(或x0);(2) 將結(jié)論通過恒等變換化為易積分的形式;(3) 用觀察法或湊微分法求出原函數(shù),通常將積分常數(shù)取為零會更加簡便;(4) 一般習(xí)慣于，通過移項使等式右邊為零,則等式的左邊為所求的輔助函數(shù). 2.1.4設(shè)置變量法 結(jié)論中含有兩個中值的情況下,通常與拉格朗日定理,柯西定理的證明相類似,可以設(shè)置變量來構(gòu)造輔助函數(shù)F(x).就是用變量替換x結(jié)論中的或,通過做恒等變形后和中值定理的公式作對比,可以觀察出輔助函數(shù)的結(jié)構(gòu).2.1.5幾何直觀法對于一些證明題可以首先從幾何意義進行分析,作符合已知定義、定理的輔助曲線,再利用解析幾何知識列出輔助曲線方程然后找出證明題所需要的輔助函數(shù),打開證明的思路.2. 1. 6微分方程法所謂“微分方程法”就是指遇到諸如求證存在,使得之類的問題時,可先解微分方程,得到它的通解,則可以構(gòu)造輔助函數(shù).2.1.7常數(shù)k值法此法適用于從結(jié)論中可分離出常數(shù)部分的命題,構(gòu)造出輔助函數(shù)的具體步驟如下：(1)從結(jié)論中分離出常數(shù)部分,將它令為; (2)做恒等變化,使等式(或不等式)一端為及構(gòu)成的代數(shù)式,另一端為和構(gòu)成的代數(shù)式; (3)分析端點,的表達式是否為對稱式或輪換式.若是將端點改為,相應(yīng)的函數(shù)值(或)改為,則關(guān)于,的表達式即為所求的輔助函數(shù).2. 2輔助函數(shù)在定理證明中的應(yīng)用2.2.1牛頓-萊布尼茲公式的證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用微積分基本定理,即牛頓-萊布尼茲公式的證明是我們必需要掌握的,它將定積分和不定積分兩者聯(lián)系起來,使得定積分的計算變得簡單易懂,牛頓-萊布尼茲公式的理解和掌握也能使我們更好地了解微積分.下面我們來看這個公式的證明.定理1:若在上是連續(xù)的,且是在上的一個原函數(shù),那么 分析:我們第一步構(gòu)造一個輔助函數(shù),下一步,針對函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)定義為,連續(xù),如果連續(xù),則有.證明:讓函數(shù)獲得一個增加的量,則對應(yīng)的函數(shù)增量 ，那么可以根據(jù)區(qū)間的可加性, 假設(shè)、分別是在閉區(qū)間上的max和min,則根據(jù)積分第一中值定理我們有,存在實數(shù),使得 當(dāng)連續(xù)時,存在,使得所以趨近于0時,趨近于0,即有連續(xù).若連續(xù),當(dāng),則 .從而我們得出 下面,我們得到牛頓-萊布尼茲公式的證明.證:通過上面的證明我們已經(jīng)得到,所以有 .顯然,（由于積分區(qū)間是,所以面積是0）,有.于是 ,當(dāng)時 .即牛頓-萊布尼茲公式得到了證明.2. 2. 2構(gòu)造輔助函數(shù)證明泰勒公式用函數(shù)在某個固定點的信息描述其附近的取值的公式就是泰勒公式,假設(shè)函數(shù)足夠光滑,已知函數(shù)在某固定點的各階導(dǎo)數(shù)值,用這些各階的導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)建立起一次多項式來近似函數(shù)在這點的鄰域中的值.但是精確度不高是這種近似表達最主要的不足之處,而且在近似計算的過程中,沒有辦法具體得出誤差大小,也是其不足之一.泰勒公式的引進恰到好處的解決了這個問題.這樣的話,我們沒必要計算太多的式子,就可以用泰勒公式直接近似函數(shù)的值,能更加簡單,更加快速的得出結(jié)果.下面我們來證明泰勒公式.定理2:如果函數(shù)在含有x的某個開區(qū)間有階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)函數(shù)在區(qū)這個開間內(nèi)時,即可展開為一個關(guān)于的多項式和一個余項之和,為 分析: 可以知道 ,那么由拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理,得到 當(dāng),則時,偏差.因此,這種情況下近似計算的不夠精確,我們就需要構(gòu)造一個更加精確的能夠把誤差估算出來的多項式,以下是構(gòu)造出的多項式： 用來近似地表示函數(shù),并寫出誤差的具體表達式,我們這時就可以得到如下證明:設(shè)函數(shù)滿足, ,依次求出顯然, ,則; ,; , ,;至此,這個多項式的各項系數(shù)都已經(jīng)求出,得 然后,我們將誤差的具體表達式求出：設(shè) ,則 故得出 由柯西中值定理可以得到 ,.繼續(xù)使用柯西中值定理得 ,這里在與之間;連續(xù)使用此后,得出 ,但是,因為, 是一個常數(shù),所以,于是得 .綜上所述,余項,這樣,泰勒公式得證.2. 2. 3構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一,是對可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的總體平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點處局部變化率之間關(guān)系關(guān)系的反應(yīng).拉格朗日中值定理的推廣也可以理解為是羅爾中值定理,同樣它也可以理解為是柯西中值定理的特殊情形,泰勒公式的弱形式（一階展開）也是它.定理3：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則在至少存在一點,使得 分析:從結(jié)論中可以看出,若將換成變量,則可得到一階微分方程 其通解為 .將函數(shù)變作關(guān)于函數(shù),就可以得到下面的輔助函數(shù)： .下面展示證明步驟證:構(gòu)造輔助函數(shù) ,有 .則滿足羅爾定理的三個條件,故在至少存在一點使 所以 .拉格朗日中值定理證畢.3 輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用3. 1構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式與不等式3. 1.1構(gòu)造輔助函數(shù)在恒等式證明中的應(yīng)用對于恒等式的證明是一種非常常見的題型,在解題過程中我們不僅要得到解答,更要找到簡單快速的方法來節(jié)省時間.例如下面這種形式比較復(fù)雜,而且存在一階導(dǎo)數(shù)的題,我們可以通過先構(gòu)造輔助函數(shù),再變幻形式,創(chuàng)建出中值定理成立的條件,進而利用中值定理來證明,就會變得簡單許多.例1:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點屬于內(nèi),使得 令 有 是關(guān)于和的對稱式,所以取 .證： 令則在內(nèi)是連續(xù)的,在內(nèi)是可導(dǎo)的,又由于 ,因此在閉區(qū)間內(nèi)滿足羅爾中值定理,則存在一點,使得.即 .即 .在上題的證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造對羅爾定理使用,使得整個證明過程變得更加簡單易于理解.但是輔助函數(shù)的構(gòu)造并不是都特別容易,看好條件靈活的構(gòu)造輔助函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.接下來我們通過一個條件恒等式的例題,具體感受一下.例2:設(shè)在上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,則至少存在一點,使得 分析:我們可以先將看作變量,將結(jié)論化為： 有 即可得到通解令常數(shù)為關(guān)于的函數(shù)即可得到輔助函數(shù),證： 因為助函數(shù) 有 又因為所以有 且如果時,有所以得到 如果時,就肯定存在滿足 又由于在區(qū)間內(nèi)連續(xù),中值定理可知,必定存在點,滿足使得 對在區(qū)間內(nèi)使用羅爾定理,那么至少存在一點 使得 有 在以上例題的解答中我們是把將客觀存在的數(shù)看作變量,將方程通解里的常數(shù)變成一個的函數(shù)利用的是拉格朗日常數(shù)變易法的思想,構(gòu)造出了能夠幫助我們證明這個命題的輔助函數(shù).在像這種恒等式的證明的例子中,通常會非常廣泛的運用到中值定理,同時在中值定理中,羅爾定理的運用也是特別常見的,如以上題的題型解題方法得理解與掌握就更能幫助我們開拓學(xué)習(xí)和做題的思維方式.3.1.2構(gòu)造輔助函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用不等式的證明中最常用的一種方法就是作差法,而將不等式兩端做差之后得到的式子就是我們構(gòu)造的輔助函數(shù),構(gòu)造出來的輔助函數(shù)也非常簡單明了,利用它來證明不等式,會使得題目簡易許多.我們來通過以下這個簡單的例題來體會一下.例3:若,試證明分析:在證明不等式的題型中構(gòu)造輔助函數(shù)最常用的方法是作差法,其實質(zhì)就是將不等式左右兩端作差得到一個右邊值為零的式子,再通過證明不等號左邊函數(shù)的單調(diào)性,來得到結(jié)果. 證明:不等式兩邊相減得到輔助函數(shù)當(dāng)時,則有 所以,在時是遞增函數(shù),而在時連續(xù),且有因此 即原不等式成立.上面這個不等式的證明并不難,兩邊相減只需輔助函數(shù)的單調(diào)性得到證明即可.接下來我們看另外一個例子,對兩端式子性質(zhì)的了解,才能幫助我們更好的構(gòu)造輔助函數(shù).例4:證明不等式.分析:因為式子左邊相乘的項數(shù)太多,將不等式左右兩邊直接做差會使得證明難度較大.但觀察不等式兩邊的式子可知左右兩邊都是冪級數(shù)的形式,而且右邊為,所以我們可以先將不等式兩邊取對數(shù)形式,化簡后再作差,構(gòu)造輔助函數(shù)就會容易.證明:把不等式的兩邊取對數(shù)得 我們先來研究不等式的左邊 構(gòu)造輔助函數(shù) 對求導(dǎo)得由此可知,當(dāng)時,為單調(diào)遞增. 而故得出 則原不等式得到證明.比較法,分析法,綜合法等也是證明不等式時較常見的方法,但有的特殊情況下,使用這些方法來證明不等式通常證明步驟多,過程麻煩且不一定能夠得到證明結(jié)果.對此,找到題目突破口恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助函數(shù),就會使解題過程簡單很多.比如通過對題目定義域、值域、單調(diào)性、連續(xù)性、最值等性質(zhì)的研究探討,來構(gòu)造輔助函數(shù)幫助解題. 3.2構(gòu)造輔助函數(shù)的值域在解題中的應(yīng)用3.2.1構(gòu)造輔助函數(shù)討論方程的根根的存在性以及個數(shù)問題是方程根的討論中最基本的兩點,輔助函數(shù)的應(yīng)用在這類題目的解答中也是很常見的,與輔助函數(shù)在其他題型中的應(yīng)用方法相類似,是一種適用且簡便的方法.例5:方程證明方程存在正根,且其個數(shù)小于等于.分析:通過觀察題型我們構(gòu)造輔助函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),若能得出異號,則存在,使得那么就是方程的根且不超過,即運用介值定理.證明:設(shè)在上連續(xù),則顯然 現(xiàn)在我們討論,若即 則方程有一個正根為另一種情況,若即則符合介值定理條件,則存在一點,使得那么就是方程的根.綜上可得,原方程至少有一個正根且其個數(shù)小于等于,證畢.例6:證明方程有且僅有一個正根.解析:對于此題目的解答,我們先通過構(gòu)造輔助函數(shù)來證明方程的根存在,再來證只有一個正根.證:構(gòu)造輔助函數(shù)可知在上是連續(xù)的,由零點定理可以得知,存在點使,則為方程的根為,下面,我們用反證法來證明原方程正根的個數(shù)為1.設(shè)存在點且得,因為在實數(shù)集上可導(dǎo),對任意有就可以根據(jù)微分中值定理得到:存在使得 與 相矛盾,即得原方程存在正根,且個數(shù)為1.分析:通過上述題目可以總結(jié)出,關(guān)于方程根的討論相類似題目中,與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理相結(jié)合尋找解題方法,會使得題目更加容易解決.3. 3構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值問題證明中值問題通常需要我們適當(dāng)?shù)貙栴}加以變形,再針對變形之后的式子,靈活的構(gòu)造輔助函數(shù),使其符合中值定理,介值定理,零點定理之類的條件,便可輕松得到證明. 例7:設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),在上可導(dǎo),且求證存在點使得證明:構(gòu)造輔助函數(shù)顯然 又由于在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),所以由羅爾定理可以得出,存在點使得即即,則證畢.例8:設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證在內(nèi)至少存在一點,使得 證明:先構(gòu)造輔助函數(shù) 設(shè)有在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且 根據(jù)羅爾定理,在內(nèi)至少有一地點,使從而即有 .很明顯中值問題,就是關(guān)于微分中值定理（它包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的問題.做這類題的輔助函數(shù),必需滿足其中一個中值定理的條件,根據(jù)中值定理的性質(zhì)即可得出3.4構(gòu)造輔助函數(shù)求極限 在一些求極限的題目中,解決方法通常較多,相對于不同的題目也有一些其他較簡單的解題方法,但在此類題目中有一些特殊題目,只有引進輔助函數(shù)才能幫助我們更好的理解并快速做答.例9:求解:觀察題目特點我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)得 因此 所以 .例10:求函數(shù)的極限. 解 :將函數(shù)變形得 ， 可以構(gòu)造輔助函數(shù),這樣就變成了積分函數(shù),只要求得這個函數(shù)的積分,就是的極限. 即得原函數(shù)的極限為.通過上面這些題目的解答我們知道,在需把將題目中離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量的同時.還要做到對趨近的過程的考慮,其中也有對洛必達法則的運用,主要是輔助函數(shù)極限的求解,即可得到原函數(shù)的極限.總 結(jié)這篇論文的探討中,大量的例子已經(jīng)很好的說明了輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,本論文對如何構(gòu)造輔助函數(shù)方法也有所涉及.輔助函數(shù)的構(gòu)造方法在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中幾乎是處處可見的,學(xué)會各種輔助函數(shù)的構(gòu)造方法對于我們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常重要的.如本論文的的例子中所提及到的,常數(shù)k值法,微分方程法,作差法和原函數(shù)法的運用,在定理的證明中我們通過觀察式子的特點,應(yīng)用相適應(yīng)的方法構(gòu)造出了適合的輔助函數(shù),以幫助解答題目.仔細觀察題目類型及特點,無論是在定理證明中還是在其他題型的解答中都非常重要.所以我們更加要熟練掌握輔助函數(shù)的構(gòu)造方法,以便巧妙靈活的應(yīng)用于不同類型的題目中.輔助函數(shù)方法的引進與學(xué)習(xí)能夠幫助我們增強對題目的理解,將題目的解題思路快速地理通,讓題目的解答變得更加簡單化.它的作用就是做兩個看似無關(guān)實則相關(guān)聯(lián)的因素之間的橋梁,使得問題得以找到突破口,快速解答.對于輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,通過本論文的討論已經(jīng)深有體會,我們的講述到此為止.致 謝大學(xué)生活即將劃上一個句號,而我的人生新征程卻才剛剛開始.在論文即將付梓之際,我要真心表示自己對偉人、名人以及他們留給后人的知識精華的崇拜,是他們的研究成果讓我們在各領(lǐng)域中的