北師大版高中數(shù)學(xué)必修5《余弦定理》教學(xué)設(shè)計.doc

北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第2.1.2節(jié)余弦定理教學(xué)設(shè)計一、教材分析：正弦定理與余弦定理是北師大版高中數(shù)學(xué)必修5的第二章第一節(jié)的內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。本節(jié)課是“正弦定理與余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)內(nèi)容，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。布魯納指出，學(xué)生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。二、教學(xué)目標認知目標：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理，掌握余弦定理的證明，會運用余弦定解三角形中的兩類基本問題。能力目標：創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)筑問題串，在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并探究余弦定理過程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、聯(lián)想、遷移、歸納等能力；在證明定理過程中，體會向量的思想方法；在解決實際問題過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。情感目標：通過自主探究、合作交流，使學(xué)生體會到“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和熱愛科學(xué)、勇于創(chuàng)新的精神。三、教學(xué)重點難點教學(xué)重點：探究和證明余弦定理；初步掌握余弦定理的應(yīng)用。教學(xué)難點：探究余弦定理，利用向量法證明余弦定理。四、學(xué)情分析和教法設(shè)計：本節(jié)課的重點和難點是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明，教學(xué)中，我采取“情境問題”教學(xué)法，從情境中提出數(shù)學(xué)問題，以“問題”為主線組織教學(xué)，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，既歸納出余弦定理，又完成了用幾何法對余弦定理的證明，以分散難點；用向量證明余弦定理時，我首先引導(dǎo)學(xué)生利用向量證明勾股定理，讓學(xué)生體會向量解題基本思路，感受到向量方法的便捷，然后鼓勵學(xué)生證明余弦定理，最后通過兩組例題加深學(xué)生對余弦定理的理解，體會余弦定理的實際應(yīng)用。五、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一 【創(chuàng)設(shè)情境】1、復(fù)習(xí)引入讓學(xué)生回答正弦定理的內(nèi)容和能用這個定理解決哪些類型的問題。2、情景引入浙江杭州千島湖，A、B、C三島位置如圖所示，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，你能求出A、B兩島之間的距離嗎？3.4km6km120）島嶼C島嶼A島嶼B?千島湖 學(xué)生不難將這個實際問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)問題：在ABC中，已知AC=6km，BC=3.4km，C=120o，求 ABCABD（已知三角形的兩邊和它們的夾角，去求三角形的另外一邊。）這個問題難以使用正弦定理來求解。環(huán)節(jié)二 【探究新知】探究1：你能采取新的方法解決這個問題嗎？啟發(fā)學(xué)生積極思考，嘗試轉(zhuǎn)化為直角三角形,利用已學(xué)知識解決問題解決問題。在三角形ABC中，作ADBC，交BC延長線于D，由ACB=120o，則ACD=60o ，在RtADC中，CAD=30o，AC=6 則CD=3,AD=. 在RtADB中,由勾股定理得:AB2=AD2+BD2，AB2=67.96 AB8.24km答：島嶼A與島嶼B的距離為8.24 km探究2：若把上面這個問題變?yōu)椋涸贏BC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a ，b，C（C為鈍角）求 c.在探究1的解法基礎(chǔ)上，把具體數(shù)字用字母替換，結(jié)合三角函數(shù)知識，不難得出c2= a2+b22abcosC探究3：若把上面這個問題變?yōu)椋涸贏BC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a ，b，C（C為銳角）求 c.CBAD如右圖，當(dāng)C為銳角時，作ADBC于D，BD把ABC分成兩個直角三角形：在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtADC中，AD=ACsinC=bsinC，DC=ACcosC=bcosC容易求得：c2=a2+b22abcosC探究4：若把上面這個問題變?yōu)椋涸贏BC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a ，b，C（C為直角）求 c.結(jié)合前面的探究，你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？ 此時，ABC為直角三角形，由勾股定理得c2=a2+b2;也可以寫成c2=a2+b22abcos900環(huán)節(jié)三【總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新知】探究1：總結(jié)規(guī)律。結(jié)合前面的探究，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，在ABC中，無論C是銳角、直角還是鈍角，都有c2=a2+b22abcosC同理可以得到 a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。探究2：余弦定理的證明：問題:用向量的方法能證明勾股定理嗎?ABC在ABC中已知A=900，BC=a，AB=c, CA=b, 求證：a2=b2+c2證明：如右圖，在ABC中，設(shè)由向量的減法運算法則可得， 等式兩邊平方得，由向量的運算性質(zhì)得 即 所以 a2=b2+c2問題:如何用向量的方法證明余弦定理？把問題的證明中cos900換為cosA即可。教師點評：利用向量來證明勾股定理,讓學(xué)生體會向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，激發(fā)學(xué)生興趣，在此基礎(chǔ)上，可以很簡單的證明余弦定理，讓學(xué)生切身體會到向量作為一種工具在證明一些數(shù)學(xué)問題中的作用。探究3：余弦定理的分析問題：在ABC中，當(dāng)C=90時，有c2=a2+b2若a，b邊的長度不變，變換C的大小時，c2與a2+b2有什么大小關(guān)系呢？請同學(xué)們思考。首先，可借助于多媒體動畫演示，讓學(xué)生直觀感受，a，b邊的長度不變時，C越小， AB的長度越短，C越大， AB的長度越長其后，引導(dǎo)學(xué)生，由余弦定理分析： c2=a2+b22abcosC。 當(dāng)C=90時，cosC=0，則有c2=a2+b2，這是勾股定理，它是余弦定理的特例。當(dāng)C為銳角時，cosC0，則有c2a2+b2當(dāng)C為鈍角時，cosC0，則有c2a2+b2問題：余弦定理作用？從以上的公式中解出,則可以得到余弦定理的另外一種形式：即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；知三求一 已知三角形的三條邊，求角。已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可求另一邊；（方程的思想）環(huán)節(jié)四【及時練習(xí)，鞏固提高】下面，請同學(xué)們根據(jù)余弦定理的這兩種應(yīng)用，來解決以下例題。例1：在ABC中，已知a=5,b=4,C=120O,求c.在ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個內(nèi)角的大小及其面積。BQAPCDO環(huán)節(jié)五【應(yīng)用拓展，提高能力】 例2：如圖所示，有兩條直線AB和CD相交成800角，交點是O，甲、乙兩人同是從點O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h、4.5km/h ，3小時后兩個相距多遠（結(jié)果精確到0.1km）?【分析】經(jīng)過3時，甲到達點P，OP=43=12（12km）乙到達點Q，OQ=4.53=13.5(km). 問題轉(zhuǎn)化為在OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,POQ=800,求PQ的長。BDC111A例3：下圖是公元前約400年古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯用來構(gòu)造無理數(shù) 的圖形，試計算圖中線段BD的長度及DAB的大小.環(huán)節(jié)六 【課堂反思總結(jié)】通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識和方法？你對此有何體會？（先由學(xué)生回答總結(jié)，教師適時的補充完善）1、余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角三角形入手，分別討論了銳角三角形和鈍角的三角形情況，體現(xiàn)了由特殊到一般的認識過程，運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想；2、用向量證明了余弦定理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內(nèi)角的兩類問題。環(huán)節(jié)七 【布置課后作業(yè)】1、若三角形ABC的三條邊長分別為，則 。2、在ABC中,若a7,b8,則最大內(nèi)角的余弦值為 _ 。3、已知ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。4、P52教材習(xí)題2-1第6,7題。六、教學(xué)反思1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強定理的應(yīng)用。2、當(dāng)已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個問題在本節(jié)課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時處理。 3、本節(jié)課的重點首先是定理的發(fā)現(xiàn)和證明，教學(xué)中，我采取“情境問題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境提出問題解決問題總結(jié)規(guī)律-應(yīng)用規(guī)律”這條主線，從情境中提出數(shù)學(xué)問題，以“問題”為主線組織教學(xué),形成以提出問題與解決問題攜手并