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有限帶寬信號(hào)采樣和混疊的數(shù)學(xué)分析摘要:本文針對(duì)如何不失真地采樣和重建信號(hào)提供了一種理論分析方法,同時(shí)介紹了信號(hào)混疊效應(yīng)。以MAX19541模數(shù)轉(zhuǎn)換器為例,對(duì)過(guò)采樣和欠采樣輸入頻率時(shí)的情況進(jìn)行了比較。引言 現(xiàn)代應(yīng)用中經(jīng)常要求對(duì)模擬信號(hào)采樣,將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào),然后對(duì)其進(jìn)行計(jì)算處理,最后再重建為模擬信號(hào)。本文所探討研究的主要問(wèn)題是如何采樣和重建模擬信號(hào),同時(shí)又保持原始信號(hào)的全部信息。有限帶寬信號(hào) 首先從有限帶寬信號(hào)開(kāi)始討論。這樣做取決于數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)方面的因素,下文將進(jìn)行闡述。如果某個(gè)信號(hào)在某個(gè)頻點(diǎn)(截止頻率)以外的頻譜幅度均為零,那么這一信號(hào)稱為有限帶寬信號(hào)。圖1中的g(f)即是這樣的信號(hào),大于頻點(diǎn)a的頻率頻譜幅度為零。在這種情況下,a也是這個(gè)基帶信號(hào)的帶寬(BW)。(由于頻率為負(fù)沒(méi)有物理意義,因此基帶信號(hào)的帶寬僅被定義為正頻率。)圖1. 信號(hào)g(f)的頻譜 接下來(lái)對(duì)g(f)進(jìn)行采樣。我們可以利用數(shù)學(xué)形式表示該操作,即g(f)乘以一個(gè)時(shí)間間隔為T(mén)的沖激函數(shù)序列。通過(guò)將g(f)與沖激函數(shù)相乘,我們得到對(duì)應(yīng)于沖激函數(shù)發(fā)生時(shí)刻的g(f)值,其它任何時(shí)間的乘積都為零。這類似于以fSAMPLING= 1/T的頻率對(duì)g(f)采樣。該操作可用公式1表示,采樣后的新信號(hào)稱為s(t):下一步是找出已采樣信號(hào)s(t)的頻譜。通過(guò)對(duì)公式1進(jìn)行傅立葉變換可得到: 計(jì)算上面的積分比較復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,注意到s(t)是g(f)與沖激脈沖序列的乘積。同時(shí)我們還知道時(shí)域的乘法對(duì)應(yīng)頻域的卷積。(關(guān)于這一結(jié)論的證明可參考任何有關(guān)傅立葉變換的資料。) 因此,S(f)可以表示為: 注意公式3中的星號(hào)表示卷積,而不是相乘。我們已經(jīng)知道原始信號(hào)的頻譜g(f),因此只需要算出沖激函數(shù)序列的傅立葉變換。我們知道沖激函數(shù)序列是一個(gè)周期函數(shù),因而可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示。如下式:其中傅立葉系數(shù)為: 公式5中積分的上下限只指定為一個(gè)周期。當(dāng)處理沖激函數(shù)時(shí),這沒(méi)有問(wèn)題。然而,為了使上面的表達(dá)式具有更好的通用性,可以進(jìn)行如下代換處理:用一個(gè)從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的傅立葉積分代替該積分,并用單個(gè)沖激函數(shù)t周期信號(hào)的基本信號(hào)替代周期性的沖激函數(shù)序列。因而,公式5可以改寫(xiě)為:這樣一來(lái)沖激函數(shù)序列可采用以下易于進(jìn)行傅立葉變換的簡(jiǎn)化表達(dá)式:考慮到一個(gè)信號(hào)可以從其傅立葉變換積分得到,如下式:并且:最終表達(dá)式如下:根據(jù)以上結(jié)果,再重新考慮已采樣的基帶信號(hào)。其傅立葉變換表達(dá)式如下:兩個(gè)信號(hào)A(f)和B(f)的卷積定義為:則S(f)可表示為: 計(jì)算的結(jié)果為公式13,通常稱為采樣定理。它表明在時(shí)域里按周期T (秒)采樣得到的信號(hào)會(huì)以1/T的頻率重復(fù)原始信號(hào)的頻譜,如圖2所示。這一結(jié)果反過(guò)來(lái)可以清楚且直觀地回答先前的問(wèn)題:如何采樣模擬信號(hào)才能夠保持原始信號(hào)的全部信息?圖2. 采樣信號(hào)s(t)的頻譜混疊效應(yīng) 為保留原始基帶信號(hào)的所有信息,必須確保每一個(gè)重復(fù)頻譜“輪廓”之間不發(fā)生交疊。如果相互交疊(這種現(xiàn)象稱為混疊),就不可能再?gòu)牟蓸有盘?hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)。這會(huì)使高頻成分混疊到低頻頻段,如圖3所示。圖3. 混疊對(duì)信號(hào)的影響 為了避免混疊,必須滿足以下條件:1/T2,或1/T2BW。該結(jié)論也可用采樣頻率表示為: 因此,不會(huì)產(chǎn)生混疊的最小采樣頻率為2BW。這就是眾所周知的奈奎斯特定律。 圖3給出了產(chǎn)生混疊的采樣信號(hào)。注意高頻信號(hào)分量fH呈現(xiàn)為低頻分量。您可以用一個(gè)低通濾波器來(lái)恢復(fù)原始頻譜,并將其它頻譜分量濾掉(衰減)。當(dāng)使用截止頻率為的低通濾波器恢復(fù)信號(hào)時(shí),它無(wú)法將混疊的高頻信號(hào)濾掉,從而造成有用信號(hào)的劣化。 考慮到混疊會(huì)惡化有用信號(hào),再來(lái)考慮帶通信號(hào)這類特定的有限帶寬信號(hào)。帶通信號(hào)的低頻邊界不是零。如圖4所示,帶通信號(hào)的信號(hào)能量分布在L與U之間,其帶寬定義為U-L。因此,帶通信號(hào)和基帶信號(hào)的主要區(qū)別在于它們的帶寬定義:基帶信號(hào)的帶寬等于它的最高頻率,而帶通信號(hào)的帶寬為最高頻率和最低頻率之差。圖4. 帶通信號(hào) 從前面的討論可知,采樣信號(hào)以1/T的周期重復(fù)原始信號(hào)的頻譜。因?yàn)檫@個(gè)頻譜實(shí)際上包括從0Hz到原始帶通信號(hào)低頻截止頻率之間的零幅值頻帶,所以實(shí)際的信號(hào)帶寬要比U低。因此可以在頻域內(nèi)做一定的頻率偏移,從而允許采樣頻率低于當(dāng)信號(hào)頻譜占據(jù)整個(gè)零至U范圍時(shí)要求的采樣頻率。例如,假定信號(hào)帶寬為U/2,采樣頻率取為U即可滿足奈奎斯特定律,采樣信號(hào)的頻譜如圖5所示。圖5. 帶通采樣信號(hào)的頻譜 該采樣過(guò)程沒(méi)有產(chǎn)生混疊,因此如果有理想的帶通濾波器,可完全從采樣信號(hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)。在本例中,注意到基帶和帶通信號(hào)的差別是非常重要的。對(duì)于基帶信號(hào),帶寬和相應(yīng)的采樣頻率只由最高頻率決定。而帶通信號(hào)的帶寬通常都要比最高頻率小。 以上特性決定了從采樣信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)的方法。對(duì)于最高頻率相同的基帶信號(hào)和帶通信號(hào),只要采用合適的帶通濾波器來(lái)隔離原始信號(hào)頻譜 (圖5中的白色矩形部分),帶通信號(hào)就可以采用較低的采樣頻率。由于信號(hào)頻譜中包括陰影部分,用于基帶信號(hào)恢復(fù)的低通濾波器在這種情況下無(wú)法恢復(fù)出原始帶通信號(hào),如圖5所示。所以如果要用低通濾波器恢復(fù)圖5中的帶通信號(hào),采樣頻率必須在2U以上以避免混疊。 有限帶寬信號(hào)必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復(fù)。對(duì)于帶通信號(hào),只有用帶通濾波器時(shí)奈奎斯特采樣頻率才可以避免混疊。否則就必須使用更高的采樣頻率。在實(shí)際應(yīng)用中選擇轉(zhuǎn)換器采樣頻率時(shí),這一點(diǎn)很重要。 還要注意的是對(duì)有限帶寬信號(hào)的假設(shè)。從數(shù)學(xué)上分析,一個(gè)信號(hào)不可能是真正有限帶寬的。傅立葉變換定律告訴我們,如果一個(gè)信號(hào)的持續(xù)時(shí)間是有限的,則它的頻譜就會(huì)延展到無(wú)限頻率范圍,如果它的帶寬是有限的,則它的持續(xù)時(shí)間是無(wú)限的。很顯然,我們找不到一個(gè)持續(xù)無(wú)限時(shí)間的時(shí)域信號(hào),所以也不可能有真正的有限帶寬信號(hào)。不過(guò)絕大部分實(shí)際信號(hào)的頻譜能量都集中在有限帶寬內(nèi),因此前面的分析對(duì)這些信號(hào)仍然有效。采樣正弦信號(hào) 采樣正弦信號(hào)可以非常簡(jiǎn)單和方便地展示發(fā)生混疊時(shí)高頻成分呈現(xiàn)為低頻成分這一固有現(xiàn)象。純粹正弦信號(hào)的頻譜僅包括相應(yīng)頻點(diǎn)上的尖峰信號(hào) (沖激函數(shù)),出現(xiàn)混疊時(shí),尖峰會(huì)從一個(gè)頻點(diǎn)移到另一個(gè)頻點(diǎn)。 以下結(jié)果是用125Msps、12位ADC MAX19541測(cè)試得出的。圖6所示為輸入信號(hào)頻率fIN= 11.5284MHz時(shí)變換器輸出信號(hào)的頻譜。數(shù)據(jù)顯示主尖峰正好出現(xiàn)在該頻點(diǎn)上。頻譜中還有一些其它的尖峰,它們是由轉(zhuǎn)換器的非線性引起的諧波,和本文的討論主題無(wú)關(guān)。由于采樣頻率fSAMPLING= 125MHz,遠(yuǎn)大于奈奎斯特定律要求的兩倍輸入頻率,所以不會(huì)出現(xiàn)混疊。圖6. MAX19541 ADC采樣后的信號(hào)頻譜。fSAMPLING= 125MHz, fIN= 11.5284MHz. 接下來(lái)考慮如果把輸入頻率提高到fIN= 183.4856MHz,主尖峰的位置會(huì)發(fā)生什么變化。該輸入頻率大于fSAMPLING/2,可以想象會(huì)有混疊出現(xiàn)。圖7給出了得到的頻譜,主尖峰落在58.48MHz頻點(diǎn),這就是混疊信

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