《線性代數(shù)應(yīng)用舉例》PPT課件.pptVIP

線性代數(shù)應(yīng)用實(shí)例,取自線性代數(shù)機(jī)算與應(yīng)用指導(dǎo)（MATLAB）版 2010.12,例 1 平板穩(wěn)態(tài)溫度的計(jì)算,為了計(jì)算平板形導(dǎo)熱體的溫度分布，將平板劃分為許 多方格，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的穩(wěn)態(tài)溫度將等于其周圍四個(gè) 節(jié)點(diǎn)溫度的平均值。由此可得出階數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的 線性方程組，方程的解將取決于平板的邊界條件。 這個(gè)方法可以用來(lái)計(jì)算飛行器的蒙皮溫度等。,平板溫度計(jì)算的模型,整理為,A=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4; b=30; 50; 60; 80; U=rref(A,b),MATLAB 程序(ma1),運(yùn)行結(jié)果為： U = 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0 0 0 1.0000 33.7500,向高階系統(tǒng)擴(kuò)展,則要解 25 階的線性方程組。 運(yùn)行書上的程序得溫度分布 如下,將平板分割得愈細(xì)，求出的解就愈精確。如果把上 述區(qū)域分成 25 個(gè)點(diǎn)如右,MATLAB 程序ma2,例 2 交通流的建模,對(duì)于一個(gè)有雙向車流的十 字路口，根據(jù)流出流入車 數(shù)相等的規(guī)則，可以列出 下列方程組:,節(jié)點(diǎn)A：x1360x2260 節(jié)點(diǎn)B：x2220x3292 節(jié)點(diǎn)C：x3320x4357 節(jié)點(diǎn)D：x4260x1251 相應(yīng)的矩陣方程為：,A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1; b=-100;72;37;-9; U=rref(A,b),MATLAB 程序(ma3),運(yùn)行結(jié)果為： U = 1 0 0 -1 9 0 1 0 -1 109 0 0 1 -1 37 0 0 0 0 0,由于 U 的最后一行為全零，也就是說，四個(gè)方程中實(shí) 際上只有三個(gè)獨(dú)立。x4 可以任設(shè)，因?yàn)槿绻幸恍┸囇?此路口環(huán)行，對(duì)方程無(wú)影響，故方程組的解可如上表示.,把上述模型擴(kuò)展到多個(gè)十字路，乃至整個(gè)城市，就構(gòu)成高階的線性代數(shù)方程組。例如下面的 6 節(jié)點(diǎn)交通流圖，它就要由 6 個(gè)方程和 7 個(gè)變量來(lái)描述。用行最簡(jiǎn)型方法可以知道，它的解將包括兩個(gè)自由變量。其物理意義類推。,向高階系統(tǒng)擴(kuò)展,左圖描述了四個(gè)城市之間的航空 航線圖，其中1、2、3、4 表示四 個(gè)城市；帶箭頭線段表示兩個(gè)城 市之間的航線。設(shè)行號(hào)表示起點(diǎn) 城市，列號(hào)為到達(dá)城市，則 定義鄰接矩陣 A 為：,例 3 飛機(jī)航線問題,轉(zhuǎn)機(jī)航線的數(shù)學(xué)模型,不難證明：矩陣 A2=A*A 表示一個(gè)人連續(xù)坐兩次航班可以到達(dá)的城市，矩陣 A3=A*A*A 表示連續(xù)坐三次航班可以到達(dá)的城市：,其中，第 i 行描述從城市 i 出發(fā)，可以到達(dá)各個(gè)城市的 情況，若能到達(dá)第 j 個(gè)城市，記 A(i,j)=1，否則 A(i,j)=0， 規(guī)定 A(i,i)=0 (其中 i=1,2,3,4)。如第 2 行表示：從城市 2 出發(fā)可以到達(dá)城市 3 和城市 4 而不能到達(dá)城市 1 和 2。,多次轉(zhuǎn)機(jī)到達(dá)的城市,分析矩陣 A3 的第二行，可以得出： 某人從城市 2 出發(fā)，連續(xù)坐三次航班 可以到達(dá)城市 2、3 和城市4，不能到 達(dá)城市 1，而到達(dá)城市 3 和城市 4 的 方法各有兩種。,不難看出，轉(zhuǎn)機(jī)兩次以下的航線的航路矩陣為 At2= A+ A2 + A3 程序?yàn)椋╩a4） A=0,1,1,1; 0,0,1,1; 0,0,0,0; 1,1,0,0; At2=A+A2+A3,例 4 行列式的幾何應(yīng)用,二階行列式的幾何意義是兩個(gè)二維向量構(gòu)成的平行四邊形的面積，三階行列式的幾何意義是三個(gè) 3 維向量構(gòu)成的平行六面體的體積。如下圖所示，用 MATLAB 軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)面積和體積的運(yùn)算。,實(shí)例 （I）已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(1,2),(3,3),(4,1)，計(jì)算該三角形的面積； （II）已知凸九邊形九個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3), (-7,0),(-5,6),(-3,8),計(jì)算該九邊形的面積。 （III）在平面坐標(biāo)系中畫出以上三角形和九邊形。,平行四邊形面積計(jì)算,解：(I)如圖所示，三角形 ABC 的面積就等于向量AB和向量AC所構(gòu)成平行四邊形面積的一半。其中：,由向量 和 所構(gòu)成的平行四 邊形的面積為行列式 的絕對(duì)值。 計(jì)算的MATLAB語(yǔ)句為： S=abs(a1*b2-a2*b1) 實(shí)例給出的是三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)a1,b1， a2,b2， a3,b3，求該三角形面積，則有： MATLAB寫成S=abs(det(a2-a1,b2-b1; a3-a1,b3-b1),多邊形可以劃分為多個(gè)三角形來(lái)計(jì)算。 先對(duì)三角形面積計(jì)算構(gòu)成一個(gè)函數(shù)程序； 這個(gè)子程序名為：cal_area3(A,B,C) A,B,C為三個(gè)頂點(diǎn)的二維坐標(biāo)向量 凸多邊形面積只需多次調(diào)用這個(gè)函數(shù)程序； 例如五邊形ABCDE，可由 S5= cal_area3(A,B,C)+ cal_area3(A,C,D)+ cal_area3(A,D,E) 求得。（MATLAB程序ma4） 也可由多邊形面積子程序cal_arean(A)計(jì)算。,擴(kuò)展至多邊形面積計(jì)算,解：(II)如圖所示，凸九邊形面積是由9-2=7個(gè)三角形面積組成。,在MATLAB命令窗口運(yùn)行程序ma5.m，即可以算出三角形和九邊形面積，同時(shí)可以得到圖形：,MATLAB 程序,function s=cal_area3(a,b,c) % a,b,c 應(yīng)為同形的 2 維行向量或列向量， % 格式檢驗(yàn)語(yǔ)句略去 ab=b-a; % 計(jì)算向量AB ac=c-a; % 計(jì)算向量AC if size(ab)=1,2 % 判讀向量AB是否為行向量 A=ab;ac; % 構(gòu)造矩陣A else A=ab,ac; end s=abs(det(A)/2; % 根據(jù)公式計(jì)算三角形面積,例 5 藥方配置問題,（1）某醫(yī)院要購(gòu)買這 7 種特效藥，但藥廠的第 3號(hào)和第 6 號(hào)特效藥已經(jīng)賣完，請(qǐng)問能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷的藥品。 分析：即 3, 6 向量與其他向量是否線性相關(guān) （2）現(xiàn)在該醫(yī)院想用這 7 種中草藥配制三種新的特效藥，下表為新藥所需的成分質(zhì)量 (單位: 克) 。請(qǐng)問如何配制。 分析：這是新藥向量與原來(lái)藥向量是否線性相關(guān)的問 題。,問題及分析思路,新藥的成分要求,u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6; u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U1=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 V1,r=rref(U1),問題 (1) 的 MATLAB 程序（ma6),運(yùn)行結(jié)果,V1 = 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r = 1 2 4 5 7,可見這七種特效藥是“相關(guān)的”, 3、6 兩種藥可用其它 5種藥線性配制出來(lái), 但第1 、2 、 4、5 、7 種藥“無(wú)關(guān)”。,因此，8，9 兩種藥可以配出，第 10 種藥則不能配出。,V2 = 1 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 1 2 0 0 3 0 3 4 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s = 1 2 4 5 7 10,為求第二個(gè)問題, 把 3 種新藥與 7 種原藥組成矩陣 U2， 求 rref，得：,s1=40 62 14 44 53 50 71 41 14 s2=162 141 27 102 60 155 118 68 52 s3=88 67 8 51 7 80 38 21 30 U2=U1,s1,s2,s3 V2 r=rref(U2),問題 (2) 的 MATLAB 程序,假設(shè)一個(gè)城市的總?cè)丝跀?shù)是固定不變，但人口的分布 情況變化如下：每年都有 5 的市區(qū)居民搬到郊區(qū)； 而有 15 的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。若開始有 700000 人 口居住在市區(qū)，300000 人口居住在郊區(qū)。請(qǐng)分析： （1）10 年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？ （2）30 年后、50 年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？ （3）分析（2）中數(shù)據(jù)相似的原因。,例 6 人口遷徙問題,解 這個(gè)問題可以用矩陣乘法來(lái)描述。令人口變量,其中 xn 為市區(qū)人口所占比例，yn 為郊區(qū)人口所占比例。 在 n+1年的人口分布狀態(tài)為：,用矩陣乘法可寫成：,A=0.95,0.15;0.05,0.85; X0=700000;300000; X10=A10*X0,開始市區(qū)和郊區(qū)的人口數(shù)為,可以得到 n 年后市區(qū)和郊區(qū)的人口分布：,因此 (1) 10 年后的人口可用程序計(jì)算如下：,運(yùn)行結(jié)果為：,故市區(qū)和郊區(qū)人口數(shù)約為：744630和255370。,無(wú)限增加時(shí)間 n，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向常數(shù) 0.75/0.25。為了弄清為什么它趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值，需要求 Ak, 為此可先將 A 對(duì)角化, 再求其 k 次冪。,對(duì)角矩陣的冪次可以化為元素的冪次,余下很容易計(jì)算。,% 分析 n 年后城市人口分布(ma7) clear A=0.95,0.15; 0.05,0.85; X0=700000; 300000; P,lambda=eig(A); syms n % 定義符號(hào)變量 n Xn=P*lamda.n*inv(P)*X0,MATLAB 程序,顯然, 隨 n 增大 (4/5)n 趨近于零, 而 Xn 趨于,運(yùn)行結(jié)果為：,例 7 多項(xiàng)式插值與擬合,求: (1) 過這五個(gè)點(diǎn)作一個(gè)四次多項(xiàng)式函數(shù),(2) 請(qǐng)根據(jù)這五個(gè)點(diǎn)，擬合一個(gè)二次多項(xiàng)式函數(shù),下表給出了平面坐標(biāo)系中五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。,并求 x=5 時(shí)的函數(shù)值 p4(5)。用 MATLAB 繪制多項(xiàng)式函 數(shù) p4(x) 的曲線、已知點(diǎn)及插值點(diǎn) (5, p4(5)。,并用 MATLAB 繪制 p2(x) 的曲線及已知的五個(gè)點(diǎn)。,其中矩陣：,解：(1) 根據(jù)已知條件，把五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入 四次多項(xiàng)式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：,系數(shù)矩陣 A 的行列式為范德蒙 (Vandermonde) 行列式， 且五個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同，則該行列式不等于零， 所以方程組有唯一解。,MATLAB 程序:(ma8) x=0;1;2;3;4; % 輸入已知點(diǎn)坐標(biāo) y=-27;0;21;0;-75; A=x.0, x.1, x.2, x.3, x.4; % 構(gòu)造 vandermonde 矩陣 a=Ay; % 得到適定方程組的唯一解 a,運(yùn)行程序，得到 a(1)=-27, a(2)=12, a(3)=26, a(4)=-12, a(5)= 1.,把五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入二次多項(xiàng)式函數(shù)，可以得 到如下線性方程組：,其中，,(2) 多項(xiàng)式擬合要解一個(gè)超定方程,該方程組有三個(gè)未知數(shù)，但有五個(gè)方程，進(jìn)一步分析 可以得到該方程組無(wú)解，即不存在一個(gè)二次多項(xiàng)式曲 線剛好能過已知的五個(gè)點(diǎn)。MATLAB 軟件提供了一個(gè) 利用最小二乘法解決超定方程組解的方法。求系數(shù)的 公式也是 a = Ay，以找到一條二次曲線來(lái)近似地描述 已知 5 個(gè)點(diǎn)的變化情況。,對(duì)比插值和擬合的曲線如下圖,用平面坐標(biāo)系中的一個(gè)閉合圖形來(lái)描述剛體，用一個(gè)矩 陣 X 來(lái)表示它。X 的一列表示剛體一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。為 了使圖形閉合，X 的最后一列和第一列相同；為了實(shí)現(xiàn) 剛體的平移運(yùn)算，給矩陣 X 添加元素值都為 1 的一行， 使 X 為 3n 矩陣。,若有矩陣：,則可以證明，矩陣 Y1 是剛體 X 沿 x 軸正方向平移 c1， 沿 y 軸正方向平移 c2 后的結(jié)果；矩陣 Y2 是剛體 X 以坐 標(biāo)原點(diǎn)為中心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) t 弧度的結(jié)果。,例 8 剛體的平面運(yùn)動(dòng),實(shí) 例,用下列數(shù)據(jù)表示字母 A:,對(duì) A 進(jìn)行以下平面運(yùn)動(dòng), 并繪制移動(dòng)前后的圖形。,(1) 向上移動(dòng) 15, 向左移動(dòng) 30; (2) 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) /3; (3) 先逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3 /4, 然后向上平移 30, 向右平移 20。,解 構(gòu)造剛體矩陣 X，平移矩陣及轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。,MATLAB 程序（ma9), X=0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0; 0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0; ones(1,12); % 構(gòu)造剛體矩陣 X M1=1,0,-30; 0,1,15; 0,0,1; % 構(gòu)造平移矩陣 M1 Y1=M1*X; % 計(jì)算平移結(jié)果, fill(Y1(1, :), Y1(2, :), red); % 繪制平移后剛體 Y1, plot(X(1, :), X(2, :); % 繪制原來(lái)剛體 X hold on axis equal, R1=cos(pi/3), -sin(pi/3), 0; sin(pi/3), cos(pi/3), 0; 0,0,1; % 構(gòu)造轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 R1 Y2=R1*X; % 計(jì)算旋轉(zhuǎn)結(jié)果 fill(Y2(1, :), Y2(2, :), blue); % 繪制轉(zhuǎn)動(dòng)后剛體 Y2, fill(Y3(1, :), Y3(2, :), black); % 繪制轉(zhuǎn)動(dòng)及平移后剛體 grid on hold off, M2=1,0,20; 0,1,30; 0,0,1; % 構(gòu)造轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 M2 R2=cos(3*pi/4), -sin(3*pi/4), 0; % 構(gòu)