高等數(shù)學(xué)第七版課件12 數(shù)列極限ppt課件

第二講 數(shù)列的極限,數(shù)列的極限,一、數(shù)列極限的概念 二、收斂數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的極限,一、數(shù)列極限的概念 二、收斂數(shù)列的性質(zhì),一、數(shù)列極限的概念,(一) 引例 (二) 數(shù)列極限的定義,一、數(shù)列極限的概念,(一) 引例 (二) 數(shù)列極限的定義,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當(dāng)n無限增大時(shí),1/2n的變化趨勢(shì)為0,江澤民主席在哈佛大學(xué)的演講 江澤民文選第二卷第59頁,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當(dāng)n無限增大時(shí),1/2n的變化趨勢(shì)為0,極限：,變量的變化趨勢(shì),（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當(dāng)n無限增大時(shí),1/2n的變化趨勢(shì)為0,極限：,變量的變化趨勢(shì),（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當(dāng)n無限增大時(shí),1/2n的變化趨勢(shì)為0,極限：,變量的變化趨勢(shì),極限 方法：,在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法.,精確值,精確值,（一）引例,求半徑為r的 圓的面積S,1.,作圓的內(nèi)接正多邊形,正三角形：,S1,正六邊形：,S2,正十二邊形：,S3,Sn,當(dāng)n無限增大時(shí),Sn的變化趨勢(shì)為S,“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,當(dāng)n無限增大時(shí),1/2n的變化趨勢(shì)為0,極限：,變量的變化趨勢(shì),極限 方法：,在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法.,常量,常量,一、數(shù)列極限的概念,(一) 引例 (二) 數(shù)列極限的定義,一、數(shù)列極限的概念,(一) 引例 (二) 數(shù)列極限的定義,（二）數(shù)列極限的定義,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,定義：,表示：,(a) 數(shù)軸上的一系列點(diǎn),(b) 平面上的一系列點(diǎn),實(shí)質(zhì)：,自變量為正整數(shù)的函數(shù),（二）數(shù)列極限的定義,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,（二）數(shù)列極限的概念,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,（二）數(shù)列極限的概念,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,例：,增減性,依次遞減,依次增大,來回?cái)[動(dòng),來回?cái)[動(dòng),來回?cái)[動(dòng),變化趨勢(shì),1,1,1,無限大,無,變化趨勢(shì)為常數(shù),數(shù)列極限的描述性定義,（二）數(shù)列極限的概念,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,（二）數(shù)列極限的概念,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,對(duì)于任意給定的正數(shù)，,都可以找到一項(xiàng)，,使得該項(xiàng)以后的所有項(xiàng)，,小于上述給定的正數(shù),當(dāng)n無限增大時(shí)，,無限接近于1,取,例,欲使,給定0，,欲使,取,數(shù)列極限的精確定義：,即：,正整數(shù),1.關(guān)于,任意變小，,描述了 與 的無限接近程度.,相對(duì)固定，根據(jù)給定的找N,2.關(guān)于N,依賴于，有時(shí)可記作N（）.,不唯一.,注,例1,證明,例2,證明,例3,證明,注,1.記住重要結(jié)論,2.證明的關(guān)鍵：,依據(jù)找N（N可以不同）,3.找N的方法：,常用“適當(dāng)放大”的方法,4.放大的技巧：,利用各種不等式,歌謠：,證明規(guī)律遵,執(zhí)果索其因,依據(jù)找N,N能找到,結(jié)論斷言真,如何找N,適當(dāng)放大身,若把技巧問,不等式來尋,關(guān)鍵要把準(zhǔn),（二）數(shù)列極限的概念,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,（二）數(shù)列極限的概念,1數(shù)列的概念 2數(shù)列極限的描述性定義 3數(shù)列極限的精確定義 4數(shù)列極限的意義,1幾何意義,2粗略說法,數(shù)列的極限,一、數(shù)列極限的概念 二、收斂數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的極限,一、數(shù)列極限的概念 二、收斂數(shù)列的性質(zhì),二、收斂數(shù)列的性質(zhì),（一）極限的唯一性,如果數(shù)列 收斂,那么它的極限唯一.,定理1,（二）收斂數(shù)列的有界性,數(shù)列有界的定義,定理2,注,(1),(2),二、收斂數(shù)列的性質(zhì),（三）收斂數(shù)列的保號(hào)性,定理3,推論,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系,在數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列xn中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列（或子列）.,例如,注,子數(shù)列概念,第nk項(xiàng),第k 項(xiàng),二、收斂數(shù)列的性質(zhì),（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系,注,定理4,如果數(shù)列xn收斂于a，那么它任一子數(shù)列也收斂,且極限也是a.,如果數(shù)列xn有兩個(gè)子數(shù)列收