化工設備設計基礎4

,CHAP. 4 直梁的彎曲,彎曲概念與梁的分類 1）彎曲的概念及實例 圖1 實例：兩臺設備安裝在兩根橫梁上的簡圖，簡化為力學模型,受力特點： a. 作用在桿件上的載荷和支座反力均垂直于桿件的軸線。軸線在桿件變形前為直線，變形后成為曲線。（區(qū)別于拉伸，外力作用于軸線上） b. 外力彼此相距較遠，某些橫截面上雖有剪力或扭矩，但就整個梁來說，彎曲是主要的。 凡是具備上述受力特點，并產(chǎn)生彎曲變形的桿件梁（廣義），如臥式容器，塔設備等。,CHAP. 4 直梁的彎曲,平面彎曲實例1,CHAP. 4 直梁的彎曲,平面彎曲實例2,CHAP. 4 直梁的彎曲,2) 梁的幾何形狀和名稱 討論一具有等矩形截面的梁，梁l，h，b，lh，lb。,梁的軸線：通過所有橫截面型心的直線，坐標軸x軸即梁的軸線方向 梁的對稱平面:連接所有橫截面垂直對稱軸的平面mnmini（y軸即對稱軸方向） z軸方向是垂直xy平臺，且通過橫截面形心，這樣就確定了坐標軸的三個方向。上述的梁，就為具有對稱平面的等直梁。其截面可以是矩形，還可以是圓、圓環(huán)、工字形、丁字形等。,CHAP. 4 直梁的彎曲,平面彎曲當作用在梁上的所有橫向力均作用在梁的對稱平面內時，則 在梁發(fā)生彎曲變形以后，梁的軸線便在對稱平面內彎成一條曲線，這種 彎曲成為平面彎曲。平面彎曲是彎曲問題中最基本且最常見的情況，這 章主要討論梁的平面彎曲的強度和剛度問題。,3) 梁上的外力、梁的支座及分類,CHAP. 4 直梁的彎曲,工程上梁的支承情況很復雜，可以簡化歸納為以下三種典型形式：,a. 固定鉸鏈支座（阻止梁在支座處沿水平和垂直方向移動，但不能阻止梁繞鉸鏈中心轉動）。因此其受力情況 用位移表示,b. 活動鉸鏈支座（阻止梁沿支座面的法線方向移動）。因此其受力情況 用位移表示,c. 固定端（使梁即不能沿水平方向和豎直方向移動，也不能繞某一點轉動） 因此其受力情況 用位移表示,CHAP. 4 直梁的彎曲,實際上工程結構的受力情況，可以視具體情況簡化為上述三種形式之一，根據(jù)梁的支承情況，可將梁簡化為三種。力學模型如下（考慮關于梁本身的簡化，梁通常用某軸線表示）,簡支梁 梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座; 外伸梁 支座情況同上，梁的一端或兩端伸出在支座之外; 懸臂梁 梁的一端固定，另一端自由外伸,CHAP. 4 直梁的彎曲,例4-1 一塔器，高h，自重w，受到集度為q（N/m）的水平方向風載荷作用， 試求支座反力。,解：可將塔器視為一端固定的懸臂梁。固定端處約束反力有三個，H,V,m，取整體塔器為分離體，由靜力平衡方程,簡化算法，qh的力作用在軸長度中央,CHAP. 4 直梁的彎曲,2. 梁的內力分析 作用在梁上外載荷在傳遞載荷過程中，力所經(jīng)過的各個橫截面都將產(chǎn)生相應的內 力，如何進行梁的內力分析,可通過靜力平衡和變形兩方面分析。,1）靜力平衡 仍以前圖所示橫梁為例，由靜力平衡及RA=RB=P,CHAP. 4 直梁的彎曲,AC段：分析11截面，切開11截面，取其左邊一段，該段梁上另作用有一向上的外力RA，根據(jù)靜力平衡，得到在11截面的左側作用著Q1,M1， Q1梁在該截面上的剪力，M1梁在該截面上的彎矩， Q1，M1是1-1截面右側作用于左側的，截面左側同時作用給右側同樣大小的力。應當把作用在同一截面左右二側的剪力和彎矩看成一個。剪力、彎矩是成對出現(xiàn)的。,b. CD段 CD段任一截面22，Q=0，M2=PxP(xa)Pa（設AC=DB=a）,CHAP. 4 直梁的彎曲,由此可見，彎曲梁的各個截面上作用著不同的Q,M，AC段，即有Q，又有M橫力彎曲（剪切彎曲）,CD段純彎曲。,2） 變形分析（定性） 梁未受外載荷,在CD段任取二個相鄰橫截面a1b1c1d1a2b2c2d2,畫上三條縱向線m1m2，o1o2, n1n2（梁的1/2高度處），當梁上施加外載荷及支座反力RA,RB后，我們發(fā)現(xiàn)：,CHAP. 4 直梁的彎曲,a. 縱向纖維由直變彎。o1o2以上部分，m1m2縮短，o1o2以下部分，m1m2伸長，而o1o2不變。這說明梁的上半部分受到縱向壓縮，梁的下半部分受到縱向拉伸，而且離開o1o2線越遠的縱向線，它們被拉長或縮短的數(shù)量越大。 b. 各條橫向線a1b1，c1d1，a2b2仍為直線。由此假設，梁的橫截面的變形后仍是一個平面，且仍與已經(jīng)成為弧線的m1m2,n1n2相重合。并且仍垂直于變形后梁的軸線。（平面假設）試驗理論得到證明。 c. 橫向線a1b1與a2b2由相互平行變?yōu)椴辉倨叫?。這說明相鄰兩平面a1b1c1d1，a2b2c2d2,發(fā)生了相對移動，轉動軸位置通過平面O點 并垂直于梁的對稱平面。,CHAP. 4 直梁的彎曲,截面的中性軸（Z方向）。將梁所有橫截面上的中心軸連接起來形成梁的中性層（通過截面形心，且垂直于截面的垂直對稱軸線）。顯然，梁發(fā)生平面彎曲時，中性層內的縱向纖維長度不變。 幾個名詞：梁的軸線、梁的對稱平面，橫截面的中性軸，垂直對稱軸，梁的中性層。正是由于梁的一系列相鄰橫截面之間發(fā)生了繞各自中性軸的相對轉動，所以才導致了梁的由直變彎，以及梁的縱向纖維的伸長、縮短。,CHAP. 4 直梁的彎曲,現(xiàn)在來分析梁彎曲的任一橫截面上彎曲應力情況。 假想將梁沿平面截開：,由于縱向纖維受到不同程度的拉伸、壓縮，因此該截面上必定作用著正應力，與拉伸不同，非均布。在中性層以上縱向纖維縮短，產(chǎn)生壓縮應力，在中性層以下縱向纖維伸長，產(chǎn)生拉伸應力，中性層處應力0。 作用在橫截面上這些正應力，由于中性軸以上是壓應力，中性軸以下是拉應力。于是無數(shù)微面積dA上的力對中性軸構成了一個合力矩（即前面提到的彎矩M）,CHAP. 4 直梁的彎曲,內力矩的產(chǎn)生伴隨著梁的相鄰橫截面之間發(fā)生相對轉動，隨著外載荷增加而增加；內力矩作用，阻止該截面在外力矩作用下企圖發(fā)生的進一步轉動（起著平衡力矩作用）并且力圖恢復梁的變形。 彎矩、剪力總是成對出現(xiàn)的，大小相等，方向相反。,3. 剪力與彎矩的計算 由上一節(jié)分析可知，任一截面上的剪力，其作用是抵抗該截面一側所有外力對該截面的剪力作用, 其大小應該等于該截面一側所有橫向外力之和。 任一截面上的彎矩，其作用是抵抗該截面一側所有外力使截面繞其中性軸轉動，它的大小應等于該截面一側所有外力對改截面中性軸取矩之和。 剪力、彎矩均有二種方向，須規(guī)定其“正負”：由于Q,M均是內力，其正負要根據(jù)變形而定。,CHAP. 4 直梁的彎曲,1）剪力正負的規(guī)定 根據(jù)剪切變形的方向，規(guī)定剪力Q的正負。通常規(guī)定：如果產(chǎn)生圖（a）所示的變形，（此變形是使截面左邊的梁發(fā)生相對截面右側梁的向上滑動）那么伴隨這種變形產(chǎn)生的剪力是正值，反之，是負。 法則：梁的任一橫截面上剪力大小等于該截面一側所有橫向外力的代數(shù)和，截面左側向上的合外力和截面右側向下的合外力取正值。反之，取負。（可以理解為合外力和剪力組成順時針轉向，取“”，逆時針轉向，取“”，而不須考慮截面左右側）,CHAP. 4 直梁的彎曲,2）彎矩正負的規(guī)定 彎矩正負的規(guī)定也要依據(jù)變形。彎曲變形的實質是兩個相鄰橫截面之間發(fā)生繞各自中性軸的相對轉動。伴隨這種轉動，橫截面上才有彎矩產(chǎn)生。一種相對轉動是使二相鄰橫截面之間的縱向間距發(fā)生上邊縮短，下邊伸長的變形圖（a），伴隨這種相對轉動而在該截面上所發(fā)生的彎矩，通常規(guī)定為正，反之為負。,也即橫截面上存在的“上半部受壓，下半部受拉”的正應力對中性軸取矩構成正的彎矩。反之，構成負的彎矩。向上的外力均產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力均產(chǎn)生負的彎矩。 彎矩法則： 梁在外力作用下，其任意指定截面上的彎矩等于該截面一側所有外力對該截面中性軸取矩的代數(shù)和。凡是向上的外力，其矩取正值，向下的外力，取負值。若是集中力偶，則截面左側順時針轉向，截面右側逆時針轉向的力偶取正值，反之取負值。,CHAP. 4 直梁的彎曲,3）剪力圖和彎矩圖 橫截面上的剪力、彎矩隨截面的位置發(fā)生變化。假設以梁的左端為原點，沿梁的軸線建立x軸，于是，梁各個橫截面上的剪力Q、彎矩M均可表示為截面所在位置坐標x的函數(shù)， 剪力方程和彎矩方程。 同繪制軸力圖或扭矩圖一樣，按選定的比例尺，以橫截面上的剪力或彎矩為縱坐標，以橫截面位置為橫坐標，把 的圖線表示出來。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。 目的分析找出梁內 的大小及其橫截面所在位置（危險截面），從而進行梁的強度計算。,下面分別討論集中力、集中力偶、均布載荷作用下的Q、M圖。,CHAP. 4 直梁的彎曲,例1：集中力作用 AC=a=0.25m,BE=b=0.2m,AB=l=1m,P1=500N,P2=1000N,P3=300N,步驟：a. 根據(jù)靜力學平衡條件，求出未知約束反力及力偶 RA=935N,RB=865N； b. 分段、逐段計算剪力，定特殊點，畫出剪力圖； c. 分段、逐段計算彎矩，定出特殊點，畫彎矩圖 d. 對于復雜梁，可采用分解，合成法，先分解為若干受力情況簡單的梁，然后疊加而成。,CHAP. 4 直梁的彎曲,Qx圖： AC段：Q=RA=935N CD段：Q=RAP1=435N DE段：Q=RAP1P2=565N EB段：Q=RB=865N Mx圖: AC段：M=RAX=935x CD段：M=RAxP1(x0.25) =435x125 DE段：M=RAxP1(x0.25)P2(x0.5) =565x625 EB段：M=RB（lx）=865x865,集中力作用的截面上，剪力有個突變，此時彎矩圖上是個轉折點（圖形仍連續(xù)）,CHAP. 4 直梁的彎曲,集中力偶作用處，Mx圖有突變，突變值大小等于集中力偶值，Qx圖不變。,例2：集中力偶作用,Qx圖：AC段,CB段,Mx圖：AC段,CB段 （截面左側的m逆時針取負值）,若按右側考慮，,CHAP. 4 直梁的彎曲,例3：均布載荷作用,AC=BD=a， CD=l，載荷集度q,Qx圖：CA段,AB段,BD段：,Mx圖 :,CA段,AB段,BD段,CHAP. 4 直梁的彎曲,當 載荷分布較合理,此值為臥式容器支座的合理位置。,均布載荷作用下，剪力圖是一條斜線， 彎矩圖是一拋物線； MMAX發(fā)生處位于Q=0，集中力或集中力偶 作用處 。,CHAP. 4 直梁的彎曲,4. 純彎曲時梁的正應力及正應力強度條件 我們已經(jīng)學會分析梁受復雜載荷平面彎曲時，任一橫截面Q,M的變化規(guī) 律從而畫出Q=Q(x)，M=M(x)，求出剪力、彎矩最大值及其危險截面位置。 但是Q, M僅是截面上應力、力矩的總和，尚需知道橫截面上應力分布規(guī) 律，這是本節(jié)的重點。1是任意橫截面上指定點的正應力大??；2是梁的強 度計算；,為了簡化問題，我們討論純彎曲問題的梁 ，從變形分析、物理關系、靜力關系三大關系中討論。,1） 任意橫截面內指定點的正應力 （1 ）變形分析 上一節(jié)，已經(jīng)知道，梁在純彎曲后的變形特點： a. 縱向纖維由直變彎 b. 橫向線仍為直線，橫截面任為平面 c. 相鄰兩橫截面之間發(fā)生繞各自中性軸的相對移動，導致了梁的由直變彎，以及縱向纖維的伸長、縮短。,CHAP. 4 直梁的彎曲,現(xiàn)在來尋找橫截面上正應力變化規(guī)律，推導其計算公式。為此須對縱向 纖維的線應變作進一步的定量分析。 仍取相鄰二截面a1b1c1d1,a2b2c2d2，坐標系取法同前，x軸中軸線（為正），y軸截面垂直于對稱軸（ 為正），Z軸垂直于xy平面中性軸方向，原點通過截面形心。,變形前,變形后,CHAP. 4 直梁的彎曲,圖（a）是變形前情況，三條縱向線m1m2=o1o2=n1n2=dx 圖（b）是彎曲以后情況，相鄰二橫截面發(fā)生了繞各自中性軸的相對移動，于是有： 中性層上縱向纖維o1o2變成弧線，其長度不變，但其曲率半徑由 b. 其它位置上縱向纖維有不同程度的拉伸（n1n2）或縮短（m1m2）。 任取一距中性層為y的縱向纖維n1n2來研究，彎曲后弧線n1n2 變形前n1n2o1o2弧線o1o2 于是 其縱向線應變 又因 上式中 表示的是梁某截面a1b1c1d1與相鄰截面之間發(fā)生的相對移動程 度大小，而 表示梁的軸線在所討論截面形心處的曲率變化量。 從不同角度反映了梁在討論的橫截面處的彎曲變形梯度。,（4-1）,（4-2）,CHAP. 4 直梁的彎曲,結論：只要梁的軸線有曲率變化，就會有彎曲變形，而且軸線上哪一點的曲率變化量大，那一點所在截面處的彎矩也就大。 （y向下為，應變也為，受“拉”； y向上為，應變也為，受“壓”） （4-3）式反映了平面彎曲梁任一橫截面上各點縱向線應變沿截面高度的變化規(guī)律。,將（4-1）代入（4-2），得,（4-3）,CHAP. 4 直梁的彎曲,（2） 物理關系 假設縱向纖維之間不存在相互擠壓，因而每一縱向纖維皆可以應用單向拉（壓）的HOOK定律 代入 （4-3）式，得 （4-4）,梁在彎曲時，其橫截面上任一點的正應力與該點到中性軸的距離成正比。同一高度處各點正應力相等。向下各點y為正，拉應力，向上各點y為負，壓應力。,CHAP. 4 直梁的彎曲,例：直徑1mm的鋼絲纏繞在一圓柱體上，要保持受彎鋼絲的彈性，試問圓柱體的直徑不得小于多少？已知鋼絲的比例極限為400MPa, 彈性模量E=2*105MPa,所以圓柱體直徑不得小于500mm。,CHAP. 4 直梁的彎曲,（3）靜力關系 （4-4）式得到了彎曲正應力和曲率半徑的關系。更多時候，曲率半徑未知，必須確定曲率半徑與外載荷M之間的關系，從靜力學關系中尋找曲率半徑與外載荷M的關系。 由彈性理論證明，中性軸（截面上縱向纖維長度不變的軸）必須通過橫截面形心，這樣我們可以完全確定中性軸位置，中性軸上各縱向纖維，在中性層平面，其長度不變。 前面已經(jīng)討論過，在形成橫截面的無數(shù)個微小面積dA上作用著 力對中性軸所構成的合力矩即為該截面的彎矩M，,由,是截面常量，稱為橫截面對中性軸Z的軸慣性矩。用IZ表示 （m4，mm4），其值取決于橫截面的形狀和尺寸。,CHAP. 4 直梁的彎曲,由此得到 ，,（4-5）,上式表示直梁彎曲時，相對轉角 越大的橫截面，其截面上彎矩越大， 它反映了截面轉動與截面內力之間的關系。,將（45）代入（44）得到正應力計算公式,（4-6）,上式中，y為討論點離中性軸的距離，向下為正，中性軸Z過截面形心，且垂直截面對稱軸。 （46）式適用前提： a. 梁的材料服從虎克定律（縱向纖維間不存在相互擠壓，僅有單向拉（壓） b.,CHAP. 4 直梁的彎曲,對于T，槽形等截面，橫截面不對稱于中性軸，此時有二個WZ，以y1，y2表示 中性軸離上、下邊緣距離,由,令,得,（4-7）,（4-8）,WZ橫截面對中性軸Z的抗彎截面模量（m3，mm3）,以上應力公式 雖然是在基于純彎曲的假設推導得出的，但只要梁的l/h5，對于剪切彎曲的梁，上式仍有效。,其一為拉應力，另一為壓應力。,CHAP. 4 直梁的彎曲,（4）截面的IZ與WZ IZ，WZ與A一樣，反映的是截面的幾何性質，面積A的大小反映了桿件抗拉（壓）能力的強弱，而IZ，WZ則反映了截面抗彎能力的大小。相同材料，相同面積，若IZ（WZ）不同，則其抗拉能力相同，而抗彎能力可能差異很大。M一定，IZ（WZ）大則應力小，因此在選擇梁的截面形狀和尺寸，應盡量使橫截面具有較大的IZ（WZ）。 下面分析計算矩形截面的IZ，WZ,取dAbdy,表4，P72列出了常用截面的IZ，WZ（圓（環(huán)），矩形，記住。,CHAP. 4 直梁的彎曲,2） 正應力強度條件及應用 通常，等截面直梁在剪切彎曲時， 的截面是梁的危險截面，在危險截面上下邊緣處所產(chǎn)生的正應力是整個梁在工作時的最大應力。從強度角度，為了保證梁能安全工作，須滿足：,為許用彎曲應力 ，可查手冊,有2個注意點： （1）當橫截面不對稱于中性軸（如T字鋼，工字鋼，槽鋼等）當,取W1,W2中較小者。 （2）當材料的許用拉伸（壓縮）應力不等時，分別計算最大的正彎矩以及 最大的負彎矩，分別求這2個橫截面上最大拉應力，最大壓應力，需校核4點。,CHAP. 4 直梁的彎曲,解題步驟： a. 求支座反力; b. 作Mx圖，確定危險截面; c.建立強度條件,例4-4 一簡支梁受均布載荷作用，已知梁長l=3m, 其橫截面為矩形，h=15cm, b=10cm,均布載荷集度q=3000N/m, 梁的材料為松木，其許用彎曲應力 =10MPa, 試按正應力校核此梁的強度。,簡單的強度校驗，檢驗Mmax截面處,CHAP. 4 直梁的彎曲,例4-5 一反應釜重30KN，安放在跨長1.6m的兩根橫梁中央，若梁的橫截面采用如圖所示的3種形狀（矩形截面a/b=2），試確定梁的截面尺寸，并比較鋼材重量。梁材料Q235-A ， =120MPa。,解：,由正應力強度條件,可得所需的最小抗彎截面模量,截面比較一：,CHAP. 4 直梁的彎曲,平放：,立放：,工字鋼：查附表A-1，10#工字鋼的W=49cm3，較接近，可用。查得A=14.3cm2;,三種不同截面所需鋼材質量比（面積比）： 工字鋼：矩形立放：矩形平放=1：2.45：3.91,CHAP. 4 直梁的彎曲,截面比較二：,例4-6 現(xiàn)有三根跨長4m的簡支梁，三根梁的材料均為Q235-A，許用彎曲應力120MPa, 它們截面形狀不同，但截面面積相同（21.5cm2)。若在梁中央有一集中載荷，試問：三根梁所允許承受的最大載荷分別是多少？如果在距支座1m處置一集中載荷，該載荷最大允許值多少？如果該三根梁承受的是均布載荷，最大載荷又是多少？,解：梁所能承受的最大彎矩,工字鋼,矩形立放,矩形平放,CHAP. 4 直梁的彎曲,當梁在其中央承受集中載荷P時，其最大彎矩在梁的中央，且 故,b. 當在距支座l/4處作用著集中載荷P時，最大彎矩在集中載荷作用點處。且 故,c. 當沿梁全長承受均布載荷q（N/m）時，再大彎矩在梁中央，且 故,CHAP. 4 直梁