《大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典》PPT課件.ppt

第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,在實際問題中常常遇到多元函數(shù)的最值問題.在一元函 數(shù)的微分學(xué)中,我們曾經(jīng)用導(dǎo)數(shù)求解極值和最值問題;現(xiàn) 在討論如何利用偏導(dǎo)數(shù)來求多元函數(shù)的極值與最值,討論 時以二元函數(shù)為例,其結(jié)論可類似地推廣到三元及三元以 上的函數(shù).,一. 多元函數(shù)的極值及最大值,最小值,多元函數(shù)極值的定義 定義 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義,如果對 于該鄰域內(nèi)不同于(x0,y0)的任何點(x,y),都有f(x,y)f(x0,y0)，則稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處有極大值(極小值) 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,(0,0)處函數(shù)值為R;而在(0,0)鄰域內(nèi) ，(0,0)的點的函數(shù) 值都小于,在點(0,0)處有極小值.因為在任何不,在點(0,0)處有極大值,因為在,與z軸的交點.,例1,同于(0,0)的點處的函數(shù)值都大于函數(shù)在(0,0)處的值.從幾何圖形上看這是顯然的.因為點(0,0)是圓錐,在（0，0）處的頂點。,.例2 函數(shù),R.事實上(0,0,R)是上半球面,例3 函數(shù)z=-2xy 在點(0,0)處不取得極值.因為在(0,0)點的任 一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點,也有使函數(shù)值為負的點. 2.極值存在的必要條件和充分條件 與一元函數(shù)類似,我們用偏導(dǎo)數(shù)來判定二元函數(shù)的極值. 定理1(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0 ,y0)處 可微分且在點(x0 ,y0)處有極值,則在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零. 證明: 只就極大值的情形加以證明.,因為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0 ,y0)處有極大值,所以對于(x0 ,y0)的 某個鄰域內(nèi)不同于(x0 ,y0 )的任一點(x,y),有 f(x,y)f (x0 ,y0) 特別在該鄰域內(nèi)取點(x ,y0 )(xx0),則上面不等式變?yōu)?f(x,y0)f (x0 ,y0 ) .這表明一元函數(shù)f (x,y0)在x=x0處取極大值. 因此有fx(x0 ,y0)0，從幾何上看,這時如果曲面z=f(x,y)在點 =0 同理 fy (x0 ,y0)=0,成為平行坐標平面xoy的平面,.使,處有切,函數(shù)z=f(x,y)在點,平面,則切平面的方程,上面定理提供了尋找極值點的途徑,對于可微函數(shù),如果有 極值點則極值點一定是駐點;但是上面的條件并不是充分的. 即函數(shù)的駐點不一定是極值點.如例3中的函數(shù)z=-2xy,(0,0)是 其駐點,可是函數(shù)在這點并不取得極值.另外,定理只是說明可 微函數(shù)的極值點必定是駐點,即對于可微函數(shù),找極值點只須 在其所有駐點中去找.例1說明函數(shù)不可微點也可能是函數(shù)的 極值點,因此尋找可能的極值點,只須在駐點和不可微點中去 尋找.,同時成立的點稱為函數(shù)的駐點.,下面定理回答了駐點在什么條件下成為極值點. 定理2(極值存在的充分條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0 ,y0)的某 一個鄰域內(nèi)連續(xù),且有連續(xù)的一階,二階偏導(dǎo)數(shù),fx(x0 ,y0)=0, fy(x0 ,y0)=0,記A=fxx (x0 ,y0)=0,B= fxy(x0 ,y0)=0,C= fyy(x0 ,y0)=0.則: (1)當(dāng)=B2-AC0時 有極小值; (2)當(dāng)=B2-AC0時,(x0,y0)不是極值點. (3)當(dāng)=B2-AC=0時,函數(shù)在(x0,y0)可能有極值,也可能沒有極值, 需要討論. 定理證明從略.,第一步 解方程組fx(x,y)=0, fy(x,y)=0.求出所有的實數(shù)解, 即得一切駐點; 第二步 對于每個駐點(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)A,B和C; 第三步 由=B2-AC的符號判斷駐點是否為極值點,若是 極大值還是極小值; 第四步 求極值點處的函數(shù)即得所求極值.,3.極值的求法 利用定理1和定理2,可得到具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)的極值的步驟:,z=0,例4 求函數(shù)的極值,二 最大值和最小值,由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知,函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則函數(shù)在D上 一定有最大值和最小值.和一元函數(shù)一樣,多元函數(shù)的最大值和 最小值可能在D內(nèi)取得,也可能在D的邊界上取得.因此,求可微 函數(shù)的最值的一般方法是:求出函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)所有的駐點處 的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值,把它們加以比較, 其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.有時根據(jù)問題的實 際意義或性質(zhì),知道函數(shù)的最大值(最小值)一定在區(qū)域D內(nèi)取得,那么沒有必要求函數(shù)在D的邊界上的最大值(最小值),只須 求出D內(nèi)的駐點處的函數(shù)值,并加以比較,最大的就是最大 值;若只有一個駐點,那么駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)在D上 的最大值(最小值).,例5 作一個三角形,使得它的三個角的正弦乘積最大. 解: 設(shè)三角形三個角度分別為 x, y, -(x+y),先不妨設(shè),由于在邊界上,函數(shù)值為0.在閉區(qū)域內(nèi)函數(shù)值0.所以最大值 一定,在區(qū)域內(nèi)得到.解方程組,得到x=y=/3.所以等邊三角形為最大.最大值為,例6 要用鋼板做一個體積為2立方米的有蓋長方體水箱,問 當(dāng)長,寬高各取怎樣的尺寸時,用料最節(jié)省. 解: 設(shè)水箱的長為x米,寬為y米,則其高應(yīng)該為2/xy米.此水箱 所用的材料面積為,三 條 件 極 值,(1) 其中x,y,z須滿足約束條件 xyz=2(米3) (2) 依題意,例6成為求(1)式滿足條件(2)的最小值.這類附有 條件限制的極值問題稱為條件極值在一些極值或最值問題中, 函數(shù)的各自變量之間還會受到另外一些條件的限制,例如例6, 若設(shè)長方體水箱的長,寬,高分別為x,y,z(米),則表面積為 A=2(xy+yz+xz)問題. 解條件極值問題的一個辦法是化為無條件極值,即普通極值 問題.,例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那樣去解普通極值問題. 但是對于一般的條件(x,y,z)=0,解出其中的某個變量,有時 是復(fù)雜的,困難的,甚至是不可能的.例如,不能顯化的隱函數(shù) 就是這樣.下面我們介紹Lagrange乘數(shù)法是求解條件極值的 常用方法.,例如要求函數(shù) u=f(x,y,z,t) (3) 在約束條件 (x,y,z,t)=0和(x,y,z,t)=0 (4) 下的極值. 我們由(3)和(4)先構(gòu)成Lagrange函數(shù),其中1,2稱為Lagrange常數(shù),求L對其各變元的偏導(dǎo)數(shù),并 令其為0,并和條件(4)聯(lián)列,組成方程組,即,是否極值點由實際問題的本身的性質(zhì)來判斷.由此可見,應(yīng)用 Lagrange乘數(shù)法,把求(3)在條件(4)的約束下的條件極值問 題,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)(5)的無條件極值的駐點問題,這樣就解決 了隱函數(shù)顯化的困難.,就是可能的極值點的坐標,方程組（6）的解,例6 要用鋼板做一個體積為2立方米的有蓋長方體水箱,問 當(dāng)長,寬高各取怎樣