水廠供水收益問題數(shù)學(xué)建模

2013屆數(shù)模內(nèi)部賽試題承諾書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)老師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜荷钲诼殬I(yè)技術(shù)學(xué)院參賽隊員（打印并簽名）：1楊杰 2位文豪3陳曉彥指導(dǎo)老師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人（打印并簽名）：數(shù)模組日期：2013年12月14日水廠供水規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型摘要 本文針對某水廠如何規(guī)劃其子公司向十個地區(qū)供水并獲得最大收益的問題進行了討論，并且，通過對已知數(shù)據(jù)的分析，得出了引水管理費的差異是引起規(guī)劃結(jié)果變化的關(guān)鍵因素。本文運用了線性規(guī)劃和最優(yōu)解等方法建立了模型，使問題得到較好的解決。針對問題（1），通過對題中數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，四個子公司每天的總供水量可以解決十個地區(qū)每天的基本用水問題，但未能完全解決它們的額外用水問題。因此在列出線性規(guī)劃方程組時，有必要明確約束條 件，再根據(jù)其函數(shù)關(guān)系進行定向分析，得出引水管理費的最優(yōu)解。針對問題（2），對數(shù)據(jù)的分析可得，此時四個子公司每天的總供水量足以滿足十個地區(qū)每天的基本用水總量和額外用水總量。因此，需要依情況明確約束條件以及其函數(shù)關(guān)系，即調(diào)整合理的供水方案，使得水廠的引水管理支出最少。最后，對模型的求解給出了誤差分析和模型評價，總的來說，模型對應(yīng)用于實際問題具有較好的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：引水管理費差異 線性規(guī)劃 最優(yōu)解 一、問題的提出某水廠下屬有A1、A2、A3、A4四個自來水子公司負責(zé)供應(yīng)B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10十個地區(qū)的用水量，且四個子公司每天的供水量分別為300千噸、315千噸、450千噸、500千噸，而十個地區(qū)每天的基本用水和額外用水如下表所示（單位：千噸）：地 區(qū)B1基本用水110809010010530759011060額外用水8050170140130408013015075由于地理位置不同各子公司向各地區(qū)所付的管理費也不同，其費用如下：管理費B1B2B3B4B5B6B7B8B9B1OA14006090500004670680457A235905685670650389000A3200345038053065450005800A403683804125670387400368432注：“0”表示該子公司與該地區(qū)無管道連接，因此不用付管理費。(1)該水廠如何規(guī)劃所屬子公司向十個地區(qū)供水，使得在保證這十個地區(qū)的基本應(yīng)用水情況下收益最大？（2）若這四個子公司的凈水能力均提高一倍，該水廠又該如何調(diào)整供水方案？二、問題的分析 通過對題目數(shù)據(jù)的分析，該水廠的收益集中在引水管理費最低的運輸途徑上：即引水管理費的高低決定了水廠收益的高低。對于問題（1），四個子公司每天的總供水量（1565千噸）可以滿足這十個地區(qū)每天的總的基本用水量(850千噸)，但是，未能滿足它們的額外用水量。因此，可以利用線性規(guī)劃的方法，找出其中的約束條件，通過建立模型進行求解。對于問題（2），四個子公司的凈水能力提高了一倍，可以滿足十個地區(qū)每天的基本用水量和額外用水量。此時，其中的約束條件已經(jīng)發(fā)生了變化，需要重新分析數(shù)據(jù)，建立模型求解。三、基本假設(shè)（1）表中的數(shù)據(jù)真實有效。（2）管道的連接情況良好，子公司的供水量可以全部運輸?shù)脚c它連接的地區(qū)，無其他損耗因素。(3)子公司付出的引水管理費只與它所連接的地區(qū)的供水量有關(guān)，與管道的長度無關(guān)。（4）各地區(qū)的需水量在長期內(nèi)不會發(fā)生變化。（5）輸送到各地區(qū)的自來水只要在基本用水與額外用水量以內(nèi)，各地區(qū)即全額付費。四、定義符號說明A1、A2、A3、A4分別表示四個自來水子公司；B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10分別表示十個不同地區(qū)；X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9、X10，Y1、Y2、Y3、Y4、Y5、Y6、Y7、Y8、Y9、Y10，Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6、Z7、Z8、Z9、Z10，T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10表示某一個地區(qū)供水量；U1、U2、U3、U4分別表示A1、A2、A3、A4的管理費，U表示四個子公司的總管理費。五、模型的分析、建立及求解1 模型的分析:該問題為典型的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，決策變量、目標(biāo)函數(shù)都較為明顯，求解過程較為簡單。2 模型的建立:設(shè)A1、A2、A3、A4各個自來水子公司向B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10十個地區(qū)的供水量如下:供水量B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10A1X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10A2Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y10A3Z1Z2Z3Z4Z5Z6Z7Z8Z9Z10A4T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10自來水子公司A1需要向十個地區(qū)付出的管理費為:U1=400X1+609X2+500X4+467X7+680X9+457X10自來水子公司A2需要向十個地區(qū)付出的管理費為:U2=359Y1+568Y3+567Y4+650Y6+389Y7自來水子公司A3需要向十個地區(qū)付出的管理費為:U3=200Z1+345Z2+380Z4+530Z5+654Z6+500Z7+580Z9自來水子公司A4需要向十個地區(qū)付出的管理費為:U4=368T2+380T3+412T4+567T5+387T7+400T8+368T9+432T10自來水公司需要付出的總管理費為:U=U1+U2+U3+U4限定條件如下:各區(qū)每天的供水量為:B1地區(qū): 110X1+Y1+Z1110+80B2地區(qū): 80X2+Z2+T280+50B3地區(qū): 90Y3+T390+170B4地區(qū): 100X4+Y4+Z4+T4100+140 B5地區(qū): 105Z5+T5105+130B6地區(qū): 30Y6+Z630+40B7地區(qū): 75X7+Y7+Z7+T775+80B8地區(qū): 90T890+130B9地區(qū)： 110X9+Z9+T9110+150B10地區(qū)： 60X10+T1060+75自來水子公司每天的供水量限定：自來水子公司A1X1+X2+X4+X7+X9+X10=300自來水子公司A2Y1+Y3+Y4+Y6+Y7=315自來水子公司A3Z1+Z2+Z4+Z5+Z6+Z7+Z9=450 自來水子公司A4T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8+T9=5003 模型的求解:合并U1、U2、U3、U4 得到總的目標(biāo)函數(shù)U：MaxU=400X1+609X2+500X4+567X7+680X9+457X10+359Y1+56Y3+567Y4+650Y6+389Y7+200Z1+345Z2+380Z4+530Z5+654Z6+500Z7+580Z9+368T2+380T3+412T4+567T5+387T7+400T8+360T9+432T10限定條件為：110X1+Y1+Z1110+8080X2+Z2+T280+5090Y3+T390+170100X4+Y4+Z4+T4100+140105Z5+T5105+13030Y6+Z630+40 75X7+Y7+Z7+T775+8090T890+130110X9+Z9+T9110+15060X10+T1060+75X1+X2+X4+X7+X9+X10=300Y1+Y3+Y4+Y6+Y7=315Z1+Z2+Z4+Z5+Z6+Z7+Z9=450T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8+T9=500用Matlab寫出線性規(guī)劃程序求解（源程序詳見附錄）。因A矩陣，b矩陣的對應(yīng)不等式為大于關(guān)系，為化為標(biāo)準(zhǔn)形式，故在linprog函數(shù)中A,b前加入負號。且linprog函數(shù)默認(rèn)求解的是線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，即最小量。故在取值范圍允許的情況下，在f矩陣前加負號，以求得負最小值。最終結(jié)果fval取相反數(shù)后即為所得結(jié)果。4 結(jié)果分析：問題1的求解的結(jié)果如下：各自來水子公司給各地區(qū)的供水量為供水量B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10A12010040008007030A2550407008070000A34040080110501001200A408010010700401204050最小管理費為 687500 元。問題2的求解的結(jié)果如下：供水量B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10A15040040003507080A28001207001070000A36050080110501001200A4030140501250402207055最小管理費為 803000 元。六 結(jié)果分析及模型檢驗對于問題（1）、（2），考慮到對數(shù)學(xué)模型的分析仍有不足之處，結(jié)果的準(zhǔn)確性可能有些許的偏差。但是，通過對題中數(shù)據(jù)的全面分析、建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ鸵约皣?yán)謹(jǐn)?shù)挠嬎?，可以確定所得結(jié)果與最優(yōu)結(jié)果在誤差允許范圍內(nèi)是接近的。，七 模型的評價改進及推廣優(yōu)點該模型較為簡單明了，易于理解，原理清晰。缺點程序的可重用性差。推廣 在實際的供水問題中，各居民區(qū)的基本用水量在人口一定的情況下是滿足小范圍浮動規(guī)律的，但在滿足基本供水的基礎(chǔ)之上，各居民區(qū)的額外用水量亦應(yīng)獲得一定比例的滿足。額外用水量的調(diào)控可簡單地以各居民區(qū)申請額外用水量的比例來加以滿足，亦可引入新的額外需求量浮動數(shù)據(jù)。另外，該模型未考慮在受不同的日期影響下，基本用水量的起伏情況（如節(jié)假日用水量的激增，與離鄉(xiāng)務(wù)工潮等周期性的大規(guī)模人口遷移來臨后用水量的變化情況），以及各區(qū)域水價差異的調(diào)控政策等因素，故還有較大的改進空間。八 附錄Matlab 源程序: f=400,609,500,567,680,457,359,568,567,650,389,200,345,380,530,654,500,580,368,380,412,567,387,400,360,432 f = 400 609 500 567 680 457 359 568 567 650 389 200 345 380 530 654 500 580 368 380 412 567 387 400 360 432 A=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 b=110;80;90;100;105;30;75;90;110;60;-190;-130;-260;-240;-235;-70;-155;-220;-260;-135 b = 110 80 90 100 105 30 75 90 110 60 -190 -130 -260 -240 -235 -70 -155 -220 -260 -135 Aeq=1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0