《狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型》PPT課件.ppt

4.3 馬氏鏈模型,隨著人類的進(jìn)化，為了揭示生命的奧秘，人們?cè)絹?lái)越注重遺傳學(xué)的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，已引起人們廣泛的注意。無(wú)論是人，還是動(dòng)、植物都會(huì)將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因，形成自己的基因?qū)?，由基因又確定了后代所表現(xiàn)的特征。本節(jié)將利用數(shù)學(xué)的 馬氏鏈方法來(lái)建立相應(yīng)的遺傳模型等，并討論幾個(gè)簡(jiǎn)單而又有趣的實(shí)例。 馬氏鏈（馬爾柯夫鏈）研究的是一類重要的隨機(jī)過(guò)程，研究對(duì)象的狀 態(tài)s(t)是不確定的，它可能 取K種 狀態(tài)si(i=1,k)之一，有時(shí)甚至可取無(wú)窮多種狀態(tài)。在建模時(shí)，時(shí)間變量也被離散化，我們希望通過(guò)建立兩個(gè)相鄰時(shí)刻研究對(duì)象取各種狀態(tài)的概率之間的聯(lián)系來(lái)研究其變化規(guī)律，故馬氏鏈研究的也是一類狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題。,例4.6中的關(guān)系既可用一轉(zhuǎn)移矩陣表示,相應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣 為：,且Sj+1=SjM,首先，任一轉(zhuǎn)移矩陣的行向量均為概率向量，即有 （1） （I , j=1,n） （2） （i=1,n） 這樣的矩陣被稱為 隨機(jī)矩陣。,常染色體遺傳模型,下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如 表所示。,雙親隨機(jī)結(jié)合的較一般模型相對(duì)比較復(fù)雜，這些我們僅研究一個(gè)較簡(jiǎn)單的特例 。,（a）假設(shè)：令n=0,1,2,。 （i）設(shè)an,bn和cn分別表示第n代植物中，基因型 為AA,Aa和aa的植物占植物總數(shù)的百分比 。令x (n)為第n代植物的基因型分布：,當(dāng)n=0時(shí),表示植物基因型的初始分布（即培育開(kāi)始時(shí)的分布）,（b）建模 根據(jù)假設(shè)(ii)，先考慮第n代中的AA型。由于第n1代的AA型與AA型結(jié)合。后代全部是AA型；第n1代的Aa型與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為 1/2，而 第n1代的aa型與AA型結(jié)合，后代不可能 是AA型。因此當(dāng)n=1,2時(shí),即,類似可推出,cn=0,顯然有 （ii）第n代的分布與 第n1代的分布之間的關(guān)系是通過(guò)表5.2確定的。,(4.2),(4.3),(4.4),將（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得,根據(jù)假設(shè)(I)，可遞推得出：,對(duì)于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我們采用矩陣形式簡(jiǎn)記為,其中,（注：這里M為轉(zhuǎn)移矩陣的位置）,(4.5),由（4.5）式遞推，得,(4.6),（4.6）式給出第n代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。 為了計(jì)算出Mn，我們將M對(duì)角化，即求出可逆矩 陣P和對(duì)角庫(kù)D，使 M=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2, 其中,這里 ， ， 是矩 陣M的三個(gè)特征值。對(duì)于 (4.5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0,因此,所以,通過(guò)計(jì)算，P-1=P，因此有,即,所以有,即在極限的情況下，培育的植物都 是AA型。 若在上述問(wèn)題中，不選用基 因AA型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率如 表所示。,M的特征值為,通過(guò)計(jì)算，可以解出與 、 相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量e1和e2，及與相對(duì)應(yīng)的特征內(nèi) 量e3：,因此,解得：,，所以,因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在極限情況 下，后代僅具有基 因AA和aa。,現(xiàn)在，我們考慮在控制結(jié)合的情況下，如何確定后代中隱性患者的概率。,（b）建模 由假設(shè)（iii），從第n1代到第n代基因型分布的變化取 決于方程,所以,，其中,如果初始分 布x(0)已知，那么 第n代基因型分布為,解 將M對(duì)角化，即求出特征值及其所對(duì)應(yīng)的特征向量，得,計(jì)算,=,(4.8),，,隱性患者逐漸消失。 從(4.8)式中可知,每代隱性患者的概率是前一代隱性患者概率的1/2。,(4.9),（c）模型討論 研究在隨機(jī)結(jié)合的情況下，隱性患者的變化是很有意思的，但隨機(jī)結(jié)合導(dǎo)致了非線性化問(wèn)題，超出了本章范圍，然而用其它技巧，在隨機(jī)結(jié)合的情況下可以 把（4.9）式改寫(xiě)為,(4.10),（群體的近交系數(shù)） 設(shè)某群體中存在近親婚配現(xiàn)象，稱各種近交系數(shù)的數(shù)學(xué)期望為該群體的近交系數(shù)。例如，某村鎮(zhèn)共有2000對(duì)婚配關(guān)系，其中有59對(duì)表親，22對(duì)半堂親 和28對(duì)從表親，則該村鎮(zhèn)的近親系數(shù)為,現(xiàn)在，我們來(lái)研究近親結(jié) 婚會(huì)產(chǎn)生什么結(jié)果。,設(shè)某基因?qū)τ?A、a兩種基因組成，出 現(xiàn)A的概率為p，出現(xiàn)a的概率為q=1-p。在隨機(jī)交配群體中，其子女 為AA、Aa及aa型的概率分別 為p2、2pq及q2。 對(duì)近交系數(shù) 為F的群體，根據(jù)條件概率公式，后代出 現(xiàn)aa型基因?qū)Φ母怕蕿?比較存在近親交配的群體與不允許近親交配 (F=0)的群體， 令,若a為某種隱性疾病的基因，易見(jiàn)，在近交群體中，后代產(chǎn) 生遺傳?。╝a型）的概率增大了， 且F越大，后代患遺傳病 的概率也越大。,同樣，后代出現(xiàn)AA型基因?qū)Φ母怕?為p2+Fpq。Aa型不可能 是共同祖先同一基因的重復(fù)，故其出現(xiàn)的概率為2pq(1-F)。,例如，苯丙酮尿癥是一種隱性基因純合子 aa型疾?。╝為隱性疾病基因），隱性基因出現(xiàn)的頻率 ，求表 兄妹結(jié)婚及非近親結(jié)婚的子女中患有苯丙酮尿癥的概率。 由前，表兄妹結(jié)婚的近交系數(shù)為 1/16,故其子女發(fā)生該疾病的概率為 而對(duì)禁止近親結(jié)婚的群體，子女發(fā)生該疾病的概率為q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）結(jié)婚使子女發(fā)生該疾病的概率增大了大 約7.19倍，由此可見(jiàn)，為了提高全民族的身體素質(zhì)，近親結(jié)婚是應(yīng)當(dāng) 禁止的。,(4.11),其中,從（4.11）式中易得,經(jīng)過(guò)計(jì)算，矩陣 M的特征值和特征向量為,M對(duì)角化，則有,(4.12),其中：,即,即同胞對(duì)是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率為1/3。,根據(jù)定義3，例4.7中狀態(tài)S4即 為一吸收鏈,具有r個(gè)吸收狀態(tài)，nr個(gè)非吸收狀態(tài)的吸收鏈，它的nn轉(zhuǎn)移矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式為,（注：非標(biāo)準(zhǔn)形式可經(jīng)對(duì)狀態(tài)重新編號(hào) ）,其中Ir為r 階單位陣，O為rs零陣，R為sr 矩陣，S為ss矩陣。令,上式中的子陣Sn表達(dá)了以任何非吸收狀態(tài)作為初始狀態(tài)，經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后，處于s個(gè)非吸收狀態(tài)的概率。 在吸收鏈中，令F=(IS) -1，稱F為基矩陣。,設(shè)甲勝一題的概率 為p，（0p1），p與兩隊(duì)的實(shí)力有關(guān)。 甲隊(duì)得分有5種可能，即0，1，2，3，4。我們分別記為狀態(tài)S0，S1，S2，S3，S4，其中S0和S4是吸收狀態(tài)，a1，a2和a3是非吸收狀態(tài)。過(guò)程 以S2作為初始狀態(tài)。根據(jù)甲隊(duì)贏 得1分的概率為 p，建立轉(zhuǎn)移矩陣：,S 0 S 1