統(tǒng)計學相關(guān)知識概述

小黃： 這是第三章到第五章的公式及其適用條件，放在公式庫中，能與文本中相應(yīng)的公式鏈接，學員點擊時彈出對話框，并且可以在公式庫中搜索。另外幾章過段時間給你。課件已發(fā)給你，主要是讓學員下載。第三章 集中量數(shù)算術(shù)平均數(shù)設(shè)變量代表各次觀測的結(jié)果，為觀測的次數(shù)，則 （3.1）式中，表示各次觀測的結(jié)果，為觀測的次數(shù)；表示從的連加到的的和；公式（3.1）可簡寫為： 算術(shù)平均數(shù)的適用條件：1適用于同質(zhì)數(shù)據(jù)。 2要求一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都比比較準確、可靠，若數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時，不能計算算術(shù)平均數(shù)。 3無極端值出現(xiàn)。這是由于算術(shù)平均數(shù)受極端數(shù)據(jù)影響較大的緣故。4需要得到一個相對精確可靠的集中量數(shù)或進個步參與其他運算時。分組資料求算術(shù)平均數(shù) （3.2）式中，表示對次數(shù)分布表計算的算術(shù)平均數(shù)；表示各組的組中值；表示各組對應(yīng)的次數(shù)；表示總次數(shù)。如果數(shù)據(jù)已經(jīng)整理成次數(shù)分布表的形式，可根據(jù)公式（3.2）來計算算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù) （3.3）式中，表示加權(quán)算術(shù)平均數(shù)；W為每一數(shù)值X所對應(yīng)的權(quán)重；表示數(shù)據(jù)與其對應(yīng)權(quán)數(shù)乘積的總和；表示權(quán)數(shù)之和。在考慮各統(tǒng)計事項在其總體中所占的重要性程度不同，使每一統(tǒng)計數(shù)據(jù)對算術(shù)平均數(shù)的影響與各自的重要性程度相吻合時使用此公式。中位數(shù) （3.4）式中，表示中位數(shù)；表示中位數(shù)所在組的精確下限；表示中位數(shù)所在組對應(yīng)的向上累積次數(shù)；表示中位數(shù)所在組對應(yīng)的次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)。中位數(shù)的適用條件：（1）當一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時；（2）當一組有序數(shù)據(jù)兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時時；（3）當需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。 （3.5）式中，表示中位數(shù)；表示中位數(shù)所在組的精確上限；表示中位數(shù)所在組上限以上的累積次數(shù)；表示中位數(shù)所在組對應(yīng)的次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)如果次數(shù)分布表是自上向下累積，則計算中位數(shù)要用公式（3.5）幾何平均數(shù) （3.6）式中，為n個數(shù)據(jù)值（實際上是后一個數(shù)是前一個數(shù)的倍數(shù)）。應(yīng)用時機：求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時；一組數(shù)據(jù)中，有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)，求平均數(shù)時；在教育上主要應(yīng)用幾何平均數(shù)求平均發(fā)展速度或?qū)δ稠椖繕诉M行預測估計。平均發(fā)展速度設(shè)為各階段某種統(tǒng)計量值，其中為初期量、為末期量，為各階段環(huán)比發(fā)展速度，即，則 (3.7)式中，為初期量、為末期量，為跨年度數(shù)如果已知初期量和末期量，就可以用公式（3.7）求平均發(fā)展速度。根據(jù)平均發(fā)展速度可計算平均增長率，并依此對某種教育現(xiàn)象進行預測。平均增長率若以表示平均增長率，則=MG1 （3.8） （3.9）MG為平均發(fā)展速度，為初期量、為末期量公式（3.8）是公式（3.9）在教育實踐中的應(yīng)用。在已知平均增長率和初期發(fā)展狀況的情況下，可預測若干時段以后的發(fā)展情況。第四章 差異量數(shù)全距指一組觀測值中，最大數(shù)值與最小數(shù)值之差，是描述一組觀測值離散程度最簡單的一種差異量數(shù)，計算公式為： （4.1）式中，為最大觀測值；為最小觀測值全距只取決于觀測值中兩個極端數(shù)據(jù)，不能反映其他數(shù)據(jù)的分散情況。因此，全距很不穩(wěn)定、可靠，是一種低效的差異量數(shù)。平均差平均差是指一組數(shù)據(jù)中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對離差的平均值，公式為： （4.2）式中，為原始觀測值，為組中值；為平均數(shù)平均差是根據(jù)數(shù)據(jù)分布中每一個觀測值求得的，較好地代表了數(shù)據(jù)分布的離散程度。但在計算過程中要求離差并求其絕對值，不方便于代數(shù)運算，不利于做進一步統(tǒng)計分析，在實踐中應(yīng)用不多。 （4.3）式中，為原始觀測值，為組中值；為平均數(shù)；為各組次數(shù)公式（4.3）適合于計算分組資料的平均差總體方差 （4.4）式中，為原始觀測值；為平均數(shù)；為觀測值個數(shù)樣本方差 （4.5）式中，為原始觀測值；為平均數(shù)；為觀測值個數(shù)適用條件：（1）與算術(shù)平均數(shù)配合使用，與算術(shù)平均數(shù)的使用條件相同。即一組數(shù)據(jù)的一般水平適合算術(shù)平均數(shù)描述時，其離散程度宜用標準差來描述。（2）進一步參與其他運算時。如計算差異系數(shù)、標準分數(shù)、相關(guān)系數(shù)等其他統(tǒng)計量時，要用到標準差。（3）在推斷統(tǒng)計，尤其在方差分析時，常用方差表示數(shù)據(jù)的離散程度。總體標準差： （4.6）式中，表示總體標準差；表示原始觀測值；表示由觀測值計算的算術(shù)平均數(shù)；N表示觀測總次數(shù)樣本標準差 （4.7）式中，表示樣本標準差；表示原始觀測值；表示由觀測值計算的算術(shù)平均數(shù)；N表示觀測總次數(shù)適用條件：（1）與算術(shù)平均數(shù)配合使用，與算術(shù)平均數(shù)的使用條件相同。即一組數(shù)據(jù)的一般水平適合算術(shù)平均數(shù)描述時，其離散程度宜用標準差來描述。（2）進一步參與其他運算時。如計算差異系數(shù)、標準分數(shù)、相關(guān)系數(shù)等其他統(tǒng)計量時，要用到標準差。（3）在推斷統(tǒng)計，尤其在方差分析時，常用方差表示數(shù)據(jù)的離散程度。由原始觀測值計算標準差公式 （4.8）式中，為標準差，為原始觀測值，為觀測值個數(shù)，為原始數(shù)據(jù)的平方之和該公式適用于用原始數(shù)據(jù)計算標準差的情況。用原始數(shù)據(jù)計算標準差，充分利用了每一個原始觀測值來計算標準差，精確度很高，同時不需要先求出平均數(shù)，計算更簡單。次數(shù)分布表資料計算標準差的公式 （4.9） （4.10）式中，表示組中值；表示各組對應(yīng)的次數(shù)；為總次數(shù)。以上這兩個公式適用于對次數(shù)分布表計算標準差。分組資料求標準差，用組中值做為各組數(shù)據(jù)的代表值。適用條件同標準差。 由各樣本標準差合成總體標準差 （4.11） （4.12）式中，為總標準差，為總方差，為總體中數(shù)據(jù)的個數(shù)，各部分數(shù)據(jù)的標準差；為各部分平均數(shù)與總平均數(shù)之差，即，其中當已知總體中各部分的標準差，合成其總體標準差時可利用此公式。標準差的合成在科研協(xié)作和管理中常常用到。四分差公式 （4.13）式中，表示四分差；表示第1四分位數(shù)；表示第3四分位數(shù)。分差反映的是數(shù)據(jù)分布中中間50%數(shù)據(jù)的離散情況，不受極端值的影響，常用于衡量中位數(shù)的代表性。其適用條件是：第一，通常與中位數(shù)配合使用；第二，一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時，常用四分差描述其散布情況；第三，一組數(shù)據(jù)的兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時。第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)計算公式： （4.14） （4.15）式中，表示該四分位數(shù)所在組的下實限；、表示、所在組的次數(shù)；表示該四分位數(shù)所在組下一組對應(yīng)的向上累積次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)差異系數(shù)差異系數(shù)又稱變異系數(shù)、相對標準差，是標準差與平均數(shù)的比值，不具有實際測量單位 （4.16）式中 ，表示變異系數(shù)；表示標準差；表示平均數(shù)適用于：（1）兩個或兩個以上的樣本所使用的觀測工具不同，所測量的特質(zhì)不同，進行觀測值差異程度的比較；（2）兩個或兩個以上的樣本所使用的觀測工具和測量的特質(zhì)相同，但樣本間的水平相差較大時進行觀測值差異程度的比較。差異系數(shù)大，表明數(shù)據(jù)的離散程度大，反之數(shù)據(jù)的離散程度就小。標準分數(shù)標準分數(shù)是以算術(shù)平均數(shù)為參照點，以標準差為單位，表示每一個原始數(shù)據(jù)在其團體中的相對位置，是一個相對位置量數(shù)。 （4.17）式中，表示原始數(shù)據(jù)；表示原始數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)；表示原始數(shù)據(jù)的標準差標準分數(shù)主要用于：確定原始分數(shù)在其團體中的相對位置；比較不同單位的觀測值相對位置的高低；用于考試分數(shù)的合成；用于表示標準測驗分數(shù)標準分數(shù)轉(zhuǎn)換公式： （4.18）式中，為標準分數(shù)， 、為常數(shù)百分等級百分等級是指一組有序數(shù)據(jù)中某一數(shù)據(jù)以下所含次數(shù)占總次數(shù)的百分比。百分等級越低，個體在團體中所處的地位越差 （4.19）式中：PR為百分等級；R為給定分數(shù)在團體中的等級；N為總次數(shù)適用范圍：未分組資料計算百分等級 （4.20）式中：X為給定的計算百分等級的分數(shù)；為X所在組以下各組次數(shù)之和；為X所在組的精確下限；為所在組的次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)。適用范圍：編制成次數(shù)分布表的數(shù)據(jù)資料計算百分等級積差相關(guān)積差相關(guān)是研究兩變量間直線相關(guān)方向和程度最基本、最常用的方法，基本公式為： （5.1）式中，、分別為X變量和Y變量的離差；、分別為X變量和Y變量的標準差；N為成對觀測值的個數(shù)。積差相關(guān)系數(shù)的適用條件：第一，必須是成對觀測值，且一般不能少于30對數(shù)據(jù)。第二，兩列變量各自總體的分布服從正態(tài)分布，或接近正態(tài)的單峰對稱分布。第三，兩列變量都是連續(xù)變量且兩列變量之間是線性相關(guān)。 （5.2）式中，為X變量的標準分，為Y變量的標準分適用條件同公式（5.1），適用于用標準分數(shù)計算相關(guān)系數(shù)。 (5.3)或 (5.4)式中，為積差相關(guān)系數(shù)；X、Y分別為兩變量的原始觀測值；N為觀測值的對數(shù)適用于用原始觀測值直接求，比較簡便。步驟為：第一步，求兩列變量各自原始觀測值之和，即和；第二步，求兩列變量成對觀測值之積和積的和；第三步，分別求出和，并計算和；第四步，代入公式（5.3）或（5.4）求出。 （5.5） 式中，是變量各數(shù)值與其估計平均數(shù)之差；是變量各數(shù)值與其估計平均數(shù)之差 適用于利用假定平均數(shù)的方法計算積差相關(guān)系數(shù)。斯皮爾曼等級相關(guān)是指兩列以次序排列的等級變量間的相關(guān)，公式為= （5.6）式中，為斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)；D為兩列變量每對數(shù)據(jù)等級之差；N為等級數(shù)據(jù)的對子數(shù)適用范圍：（1）兩列變量的資料為等級變量，且具有線形關(guān)系；（2）兩列連續(xù)變量按大小順序排列成等級；（3）不要求總體服從正態(tài)或單峰對稱分布。計算步驟：第一步，確定等級，將兩列變量按一定順序分別定出等級；第二步，計算每一對等級之差及，并求出；第三步，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計算公式（5.4），求出肯德爾和諧系數(shù) 又叫肯德爾W系數(shù)， （5.7）式中，為的離差平方和；為每個被評對象評定的等級之和；為被評定對象的個數(shù)；為評定者個數(shù)應(yīng)用范圍：兩列以上等級變量間的相關(guān)分析。一是K個被試或評價者對N件事物或N個作品進行等級評定的一致性程度；二是同一個評定者對N件事物或N個作品先后評定K次，其等級之間的一致性程度。評價者評定等級差異較大，各被評對象分別獲得的等級總和差異就很小。 （5.8）式中，為的離差平方和；為每個被評對象評定的等級之和；為被評定對象的個數(shù)；為評定者個數(shù)；為相同等級數(shù)。應(yīng)用范圍同公式（5.7），主要用于評定等級相同等級出現(xiàn)較多時，是對W系數(shù)的校正公式。點二列相關(guān)系數(shù) （5.9）式中，與分別為二分變量中各自占總體的比例，+=1；為連續(xù)變量中與對應(yīng)部分的平均數(shù)；為連續(xù)變量中與對應(yīng)部分的平均數(shù)；為連續(xù)變量全部觀測值的標準差。適用條件：一個變量是正態(tài)連續(xù)變量，另一個變量是真正的二分稱名變量；一個變量是正態(tài)連續(xù)變量，另一個變量并非是真正的二分稱名變量，而是雙峰分布的變量。計算步驟為：第一步，分別計算二分變量中每項所占比例；第二步，分別計算二分變量中比率為項與項所對應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)；第三步，計算連續(xù)變量標準差；第四步，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（5.9），求。相關(guān)= (5.10)適用條件：兩列變量均為二分名義變量，即同一組資料按兩個標志分類，且每個標志下只有兩個點值，表明變量的某種屬性，并把資料整理成22列聯(lián)表的形式。a第四章 集中量數(shù)算術(shù)平均數(shù)設(shè)變量代表各次觀測的結(jié)果，為觀測的次數(shù)，則 （3.1）式中，表示各次觀測的結(jié)果，為觀測的次數(shù)；表示從的連加到的的和；公式（3.1）可簡寫為： 算術(shù)平均數(shù)的適用條件：1適用于同質(zhì)數(shù)據(jù)。 2要求一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都比比較準確、可靠，若數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時，不能計算算術(shù)平均數(shù)。 3無極端值出現(xiàn)。這是由于算術(shù)平均數(shù)受極端數(shù)據(jù)影響較大的緣故。4需要得到一個相對精確可靠的集中量數(shù)或進個步參與其他運算時。分組資料求算術(shù)平均數(shù) （3.2）式中，表示對次數(shù)分布表計算的算術(shù)平均數(shù)；表示各組的組中值；表示各組對應(yīng)的次數(shù)；表示總次數(shù)。如果數(shù)據(jù)已經(jīng)整理成次數(shù)分布表的形式，可根據(jù)公式（3.2）來計算算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù) （3.）式中，表示加權(quán)算術(shù)平均數(shù)；W為每一數(shù)值X所對應(yīng)的權(quán)重；表示數(shù)據(jù)與其對應(yīng)權(quán)數(shù)乘積的總和；表示權(quán)數(shù)之和。在考慮各統(tǒng)計事項在其總體中所占的重要性程度不同，使每一統(tǒng)計數(shù)據(jù)對算術(shù)平均數(shù)的影響與各自的重要性程度相吻合時使用此公式。中位數(shù) （3.4）式中，表示中位數(shù)；表示中位數(shù)所在組的精確下限；表示中位數(shù)所在組對應(yīng)的向上累積次數(shù)；表示中位數(shù)所在組對應(yīng)的次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)。中位數(shù)的適用條件：（1）當一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時；（2）當一組有序數(shù)據(jù)兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時時；（3）當需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。 （3.5）式中，表示中位數(shù)；表示中位數(shù)所在組的精確上限；表示中位數(shù)所在組上限以上的累積次數(shù)；表示中位數(shù)所在組對應(yīng)的次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)如果次數(shù)分布表是自上向下累積，則計算中位數(shù)要用公式（3.5）幾何平均數(shù) （3.6）式中，為n個數(shù)據(jù)值（實際上是后一個數(shù)是前一個數(shù)的倍數(shù)）。應(yīng)用時機：求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時；一組數(shù)據(jù)中，有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)，求平均數(shù)時；在教育上主要應(yīng)用幾何平均數(shù)求平均發(fā)展速度或?qū)δ稠椖繕诉M行預測估計。平均發(fā)展速度設(shè)為各階段某種統(tǒng)計量值，其中為初期量、為末期量，為各階段環(huán)比發(fā)展速度，即，則 (3.7)式中，為初期量、為末期量，為跨年度數(shù)如果已知初期量和末期量，就可以用公式（3.7）求平均發(fā)展速度。根據(jù)平均發(fā)展速度可計算平均增長率，并依此對某種教育現(xiàn)象進行預測。平均增長率若以表示平均增長率，則=MG1 （3.8） （3.9）MG為平均發(fā)展速度，為初期量、為末期量公式（3.8）是公式（3.9）在教育實踐中的應(yīng)用。在已知平均增長率和初期發(fā)展狀況的情況下，可預測若干時段以后的發(fā)展情況。第四章 差異量數(shù)全距指一組觀測值中，最大數(shù)值與最小數(shù)值之差，是描述一組觀測值離散程度最簡單的一種差異量數(shù)，計算公式為： （4.1）式中，為最大觀測值；為最小觀測值全距只取決于觀測值中兩個極端數(shù)據(jù)，不能反映其他數(shù)據(jù)的分散情況。因此，全距很不穩(wěn)定、可靠，是一種低效的差異量數(shù)。平均差平均差是指一組數(shù)據(jù)中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對離差的平均值，公式為： （4.2）式中，為原始觀測值，為組中值；為平均數(shù)平均差是根據(jù)數(shù)據(jù)分布中每一個觀測值求得的，較好地代表了數(shù)據(jù)分布的離散程度。但在計算過程中要求離差并求其絕對值，不方便于代數(shù)運算，不利于做進一步統(tǒng)計分析，在實踐中應(yīng)用不多。 （4.3）式中，為原始觀測值，為組中值；為平均數(shù)；為各組次數(shù)公式（4.3）適合于計算分組資料的平均差總體方差 （4.4）式中，為原始觀測值；為平均數(shù)；為觀測值個數(shù)樣本方差 （4.5）式中，為原始觀測值；為平均數(shù)；為觀測值個數(shù)適用條件：（1）與算術(shù)平均數(shù)配合使用，與算術(shù)平均數(shù)的使用條件相同。即一組數(shù)據(jù)的一般水平適合算術(shù)平均數(shù)描述時，其離散程度宜用標準差來描述。（2）進一步參與其他運算時。如計算差異系數(shù)、標準分數(shù)、相關(guān)系數(shù)等其他統(tǒng)計量時，要用到標準差。（3）在推斷統(tǒng)計，尤其在方差分析時，常用方差表示數(shù)據(jù)的離散程度?？傮w標準差： （4.6）式中，表示總體標準差；表示原始觀測值；表示由觀測值計算的算術(shù)平均數(shù)；N表示觀測總次數(shù)樣本標準差 （4.7）式中，表示樣本標準差；表示原始觀測值；表示由觀測值計算的算術(shù)平均數(shù)；N表示觀測總次數(shù)適用條件：（1）與算術(shù)平均數(shù)配合使用，與算術(shù)平均數(shù)的使用條件相同。即一組數(shù)據(jù)的一般水平適合算術(shù)平均數(shù)描述時，其離散程度宜用標準差來描述。（2）進一步參與其他運算時。如計算差異系數(shù)、標準分數(shù)、相關(guān)系數(shù)等其他統(tǒng)計量時，要用到標準差。（3）在推斷統(tǒng)計，尤其在方差分析時，常用方差表示數(shù)據(jù)的離散程度。由原始觀測值計算標準差公式 （4.8）式中，為標準差，為原始觀測值，為觀測值個數(shù)，為原始數(shù)據(jù)的平方之和該公式適用于用原始數(shù)據(jù)計算標準差的情況。用原始數(shù)據(jù)計算標準差，充分利用了每一個原始觀測值來計算標準差，精確度很高，同時不需要先求出平均數(shù)，計算更簡單。次數(shù)分布表資料計算標準差的公式 （4.9） （4.10）式中，表示組中值；表示各組對應(yīng)的次數(shù)；為總次數(shù)。以上這兩個公式適用于對次數(shù)分布表計算標準差。分組資料求標準差，用組中值做為各組數(shù)據(jù)的代表值。適用條件同標準差。 由各樣本標準差合成總體標準差 （4.11）式中，為總標準差，為總體中數(shù)據(jù)的個數(shù)，各部分數(shù)據(jù)的標準差；為各部分平均數(shù)與總平均數(shù)之差，即，其中當已知總體中各部分的標準差，合成其總體標準差時可利用此公式。標準差的合成在科研協(xié)作和管理中常常用到。四分差公式 （4.12）式中，表示四分差；表示第1四分位數(shù)；表示第3四分位數(shù)。分差反映的是數(shù)據(jù)分布中中間50%數(shù)據(jù)的離散情況，不受極端值的影響，常用于衡量中位數(shù)的代表性。其適用條件是：第一，通常與中位數(shù)配合使用；第二，一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時，常用四分差描述其散布情況；第三，一組數(shù)據(jù)的兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時。第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)計算公式： （4.13） （4.14）式中，表示該四分位數(shù)所在組的下實限；、表示、所在組的次數(shù)；表示該四分位數(shù)所在組下一組對應(yīng)的向上累積次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)差異系數(shù)差異系數(shù)又稱變異系數(shù)、相對標準差，是標準差與平均數(shù)的比值，不具有實際測量單位 （4.15）式中 ，表示變異系數(shù)；表示標準差；表示平均數(shù)適用于：（1）兩個或兩個以上的樣本所使用的觀測工具不同，所測量的特質(zhì)不同，進行觀測值差異程度的比較；（2）兩個或兩個以上的樣本所使用的觀測工具和測量的特質(zhì)相同，但樣本間的水平相差較大時進行觀測值差異程度的比較。差異系數(shù)大，表明數(shù)據(jù)的離散程度大，反之數(shù)據(jù)的離散程度就小。標準分數(shù)標準分數(shù)是以算術(shù)平均數(shù)為參照點，以標準差為單位，表示每一個原始數(shù)據(jù)在其團體中的相對位置，是一個相對位置量數(shù)。 （4.16）式中，表示原始數(shù)據(jù)；表示原始數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)；表示原始數(shù)據(jù)的標準差標準分數(shù)主要用于：確定原始分數(shù)在其團體中的相對位置；比較不同單位的觀測值相對位置的高低；用于考試分數(shù)的合成；用于表示標準測驗分數(shù)百分等級百分等級是指一組有序數(shù)據(jù)中某一數(shù)據(jù)以下所含次數(shù)占總次數(shù)的百分比。百分等級越低，個體在團體中所處的地位越差 （4.17）式中：PR為百分等級；R為給定分數(shù)在團體中的等級；N為總次數(shù)適用范圍：未分組資料計算百分等級 （4.18）式中：X為給定的計算百分等級的分數(shù)；為X所在組以下各組次數(shù)之和；為X所在組的精確下限；為所在組的次數(shù)；表示組距；為總次數(shù)。適用范圍：編制成次數(shù)分布表的數(shù)據(jù)資料計算百分等級第五章 相關(guān)系數(shù)積差相關(guān)積差相關(guān)是研究兩變量間直線相關(guān)方向和程度最基本、最常用的方法，基本公式為： （5.1）式中，、分別為X變量和Y變量的離差；、分別為X變量和Y變量的標準差；N為成對觀測值的個數(shù)。積差相關(guān)系數(shù)的適用條件：第一，必須是成對觀測值，且一般不能少于30對數(shù)據(jù)。第二，兩列變量各自總體的分布服從正態(tài)分布，或接近正態(tài)的單峰對稱分布。第三，兩列變量都是連續(xù)變量且兩列變量之間是線性相關(guān)。 （5.2）式中，為X變量的標準分，為Y變量的標準分適用條件同公式（5.1），適用于用標準分數(shù)計算相關(guān)系數(shù)。 (5.3)或 (5.4)式中，為積差相關(guān)系數(shù)；X、Y分別為兩變量的原始觀測值；N為觀測值的對數(shù)適用于用原始觀測值直接求，比較簡便。步驟為：第一步，求兩列變量各自原始觀測值之和，即和；第二步，求兩列變量成對觀測值之積和積的和；第三步，分別求出和，并計算和；第四步，代入公式（5.3）或（5.4）求出。 （5.5） 式中，是變量各數(shù)值與其估計平均數(shù)之差；是變量各數(shù)值與其估計平均數(shù)之差 適用于利用假定平均數(shù)的方法計算積差相關(guān)系數(shù)。斯皮爾曼等級相關(guān)是指兩列以次序排列的等級變量間的相關(guān)，公式為= （5.6）式中，為斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)；D為兩列變量每對數(shù)據(jù)等級之差；N為等級數(shù)據(jù)的對子數(shù)適用范圍：（1）兩列變量的資料為等級變量，且具有線形關(guān)系；（2）兩