眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系.ppt

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系,用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征 (制作老師: 歐陽(yáng)文豐),一 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念,中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.,平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即 x=,1、 平均數(shù) :由數(shù)據(jù)及頻率計(jì)算平均數(shù),即 x = x1f1+x2f2+xkfk (其中fk是xk的頻率。) 2、加權(quán)平均數(shù) :由數(shù)據(jù)及其權(quán)數(shù)和樣本容量計(jì)算平均數(shù),即 x = (x1n1+x2n2+xknk)/n (其中nk是xk的權(quán)數(shù), n為樣本容量, 且n1+n2 +nk=n. ) 3、 已知xn的平均數(shù)為x, 則kxn+b的平均數(shù)為kx+b。,平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即,二 、 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系 (在只有頻率分布直方圖的情況下，也可以估計(jì)總體特征,而且直方圖比較直觀便于形象地進(jìn)行分析。),1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 當(dāng)最高矩形的數(shù)據(jù)組為a, b） 時(shí), 那么(a+b)/2就是眾數(shù)。,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t) 例題分析:月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：(2+2.5)/2=2.25,2、從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù) (中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線。）,當(dāng)最高矩形的數(shù)據(jù)組為a, b） 時(shí), 設(shè)中位數(shù)為(a+X)，根據(jù)中位數(shù)的定義得知， 中位數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為0.5， 列方程得： 當(dāng)最高矩形的數(shù)據(jù)組之前所有小矩形的面積之和為fm；（頻率直方圖的面積計(jì)算，即組距乘以頻率/組距。） x*最高矩形的(頻率/組距)+ fm=0.5 求解X， 那么a+X即為中位數(shù)。,思考題：如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)？,中位數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為0.5,02的小矩形面積之和為：,0.5(0.08+0.16+0.30+0.44)=0.49,0.44,0.50.490.01,0.01/0.5=0.02,如圖在直線t2.02之前所有小矩形的面積為0.5,所以該樣本的中位數(shù)為2.02,練習(xí).（廣東11變式題1）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查 了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為,，,，,分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn),的中位數(shù) .,該產(chǎn)品數(shù)量在,由此得到頻率,3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”. 是直方圖的平衡點(diǎn). n 個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式:,X=,假設(shè)每組數(shù)據(jù)分別為a1, b1）、 a2, b2）、 ak, bk）時(shí), 且每組數(shù)據(jù)相應(yīng)的頻率分別為f1、 f2 、 fk;那么樣本的平均數(shù)(或總體的數(shù)學(xué)期望)由下列公式計(jì)算即可。,由頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均數(shù)(或總體數(shù)學(xué)期望)公式：,X =( a1+b1)/2* f1+ (a2+b2)/2* f2+ (ak+bk)/2* fk (其中每組數(shù)據(jù)的頻率還可以由頻率直方圖的面積計(jì)算而得，即組距乘以頻率/組距。）,練習(xí).（廣東11變式題2）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查 了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為,，,，,分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn),的平均數(shù) .,該產(chǎn)品數(shù)量在,由此得到頻率,總體分布的估計(jì),練習(xí)：對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：,（1）列出頻率分布表；,（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；,（3）估計(jì)電子元件壽命在100h400h以內(nèi)的概率；,（4）估計(jì)電子元件壽命在400h以上的概率；,（5）估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望.,總體分布的估計(jì),總體分布的估計(jì),思考：從樣本數(shù)據(jù)可知，所求得該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？,頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個(gè)估計(jì)值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān).,注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計(jì)總體特征.,三、用頻率分布直方圖估計(jì)總體數(shù)字的特征 的利弊： 總體的各種數(shù)值特征都可以由兩種途徑來(lái)估計(jì)， 直接利用樣本數(shù)據(jù)或由頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)。 兩種方法各有利弊；比如：,1、通過(guò)頻率分布直方圖的估計(jì)精度低；,2、通過(guò)頻率分布直方圖的估計(jì)結(jié)果與數(shù)據(jù)分組有關(guān)；,3、在不能得到樣本數(shù)據(jù)，只能得到頻率分布直方圖的情況下，也可以估計(jì)總體特征,而且直方圖比較直觀便于形象地進(jìn)行分析。,四、三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) ：,（1）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它顯然對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征。,（2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn).,（3）由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低。,1、在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù) 如下： 9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個(gè)最高分 和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 _；,2、已知數(shù)據(jù) 的平均數(shù)是3，方差為2，求數(shù)據(jù) 的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差？,9.5，0.016,解：平均數(shù)是6，方差是8，標(biāo)準(zhǔn)差是 .,去掉最高分和最低分合理嗎？,如果求 的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差？已知ai的平均數(shù)X、方差Y、標(biāo)準(zhǔn)差Z, 則b+kai的平均數(shù)是b+kx, 方差是k的平方與Y的乘積,標(biāo)準(zhǔn)差是k與Z的乘積。