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幾類序同態(tài)及其性質(zhì)探討,答辯人：錢 健 導(dǎo) 師：徐羅山教授,答辯匯報(bào)提綱,研究的背景與概況,Fuzzy格間的序同態(tài)概念，一方面保持Fuzzy 點(diǎn)的高度不變，同時(shí)又保留了把分子映成分子的 性質(zhì).后來王國俊教授舍棄了Fuzzy格上逆序?qū)?對應(yīng)的條件，在完全分配格之間提出了廣義序同 態(tài)。,研究的背景與概況,近年來，偏序集與格的理論在離散數(shù)學(xué)，組合數(shù)學(xué)，F(xiàn)uzzy數(shù)學(xué)，理論計(jì)算機(jī)科學(xué)，模糊數(shù)學(xué)，甚至社會科學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用3，推動自身進(jìn)一步的發(fā)展同時(shí)，成為數(shù)學(xué)和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要研究對象4, 24,. 在上世紀(jì)30年代末，格論的方法就開始用于研究拓?fù)淇臻g7, 8, 13，到上世紀(jì)50年代這一領(lǐng)域成果已相當(dāng)?shù)呢S富。,研究的背景與概況,在Zadeh引入fuzzy集24概念后不久，C. L. Chang于1968年提出Fuzzy拓?fù)淇臻g2的概念，王 國俊教授在23中提出了Fuzzy格，并且在Fuzzy格 間定義序同態(tài)，劉應(yīng)明教授在15，17中也提出 Fuzzy序同態(tài)，并且均給出了Fuzzy函數(shù)成為Zadeh 型函數(shù)的充要條件，并用來研究Fuzzy拓?fù)淇臻g的 性質(zhì)。,研究的背景與概況,蒲保明教授和劉應(yīng)明教授為了Fuzzy拓?fù)淇臻g 中的Fuzzy點(diǎn)與集更具有一般性，打破傳統(tǒng)鄰域概 念，在文獻(xiàn)20，21中引入了重域，隨后王國俊 教授將其推廣為遠(yuǎn)域.后來王國俊教授又于22， 24 ，25中定義了完全分配格見的廣義序同態(tài) 并得到很多性質(zhì) 。,研究的背景與概況,這就為我想擺脫Fuzzy格，完全分配格這些前提條件來研究更廣泛的廣義序同態(tài)提供理論基礎(chǔ)。同時(shí)將廣義序同態(tài)逐步推廣到完備格，連續(xù)格，domain和擬domain上而探討各類廣義序同態(tài)就顯得很重要。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，來探討了不同的代數(shù)系統(tǒng)間的序同態(tài)問題，并得到了一些初步的結(jié)果。,撰文的想法與動機(jī),對不同代數(shù)系統(tǒng)的序同態(tài)的研究主要基于以下方面： 本文主要考慮更為一般的代數(shù)系統(tǒng)間的廣義序同態(tài)，目的是建立這些代數(shù)系統(tǒng)間更多的關(guān)系.我們將廣義序同態(tài)逐步推廣，即從最初的具有逆序?qū)蠈?yīng)的Fuzzy格，分子格開始；推廣到完備格上的偽廣義序同態(tài)，并且在完備格上又分化為兩個(gè)分支：一，一般的完備格偽廣義序同態(tài)；二，連續(xù)格上的偽廣義序同態(tài).接著將條件進(jìn)一步弱化，將其推廣到domain上，在domain上我們又進(jìn)一步分成三部分：,撰文的想法與動機(jī),一、domain間的Scott廣義序同態(tài) 二、代數(shù)domain間加強(qiáng)的Scott廣義序同態(tài)的性 質(zhì)； 三、擬連續(xù)domain上的類Scott廣義序同態(tài)。,撰文的想法與動機(jī),這些問題在本文中均得到一些好的研究結(jié)果.我們知道相同類型的代數(shù)系統(tǒng)之間存在非常好的性質(zhì)，而本文就Fuzzy格的廣義序同態(tài)入手，定義幾類弱于Fuzzy格的幾類特殊序之間的廣義序同態(tài)并探討以上所具有的性質(zhì).并且仿照極小集定義，合理的提出了d-極小集，擬極小集，極小集，為廣義序同態(tài)的推廣及其性質(zhì)的研究提供幫助。,文章的框架與結(jié)構(gòu),本文共四章： 第一章 預(yù)備，重點(diǎn)介紹偏序，格，分子格，完備格，domain，廣義序同態(tài)等相關(guān)概念及其性質(zhì)。,文章的框架與結(jié)構(gòu),第二章 進(jìn)一步研究完全分配格間的廣義序同態(tài)性質(zhì)，探討了f和f-1之間存在的聯(lián)系，并得到(f-1)-1= f的等價(jià)條件。,文章的框架與結(jié)構(gòu),第三章 在完備格上定義偽廣義序同態(tài)，并定義完備格上的素上集概念，得出完備格間映射是偽廣義序同態(tài)的充要條件；定義極小集，證明連續(xù)格成為完備鏈當(dāng)且僅當(dāng)定向集小映射保定向并，得到連續(xù)格稱為完全分配格的一個(gè)充分條件。,文章的框架與結(jié)構(gòu),第四章 在domain上定義Scott廣義序同態(tài)，給出Scott廣義序同態(tài)的刻畫和其性質(zhì)；并得到代數(shù)domain緊元之間的映射成為Scott廣義序同態(tài)的充分條件；在擬連續(xù)domain中定義擬定向極小集得到擬連續(xù)domain成為類Scott廣義序同態(tài)的若干等價(jià)條件。,文章的框架與結(jié)構(gòu),最后對本文接下的工作作出展望.,主要的方法與結(jié)果,完全分配格之間廣義序同態(tài)與其逆的逆相等的若干條件 完備格間的偽廣義序同態(tài)的刻畫 定義了極小集，證明了連續(xù)格成為完全分配格的充分條件 給出了domain間Scott廣義序同態(tài)的充要條件及相關(guān)性質(zhì) 提出了代數(shù)domain緊元間映射構(gòu)成的Scott廣義序同態(tài)成為單射和滿射的若干等價(jià)條件 通過定義擬定向極小集得到了類Scott廣義序同態(tài)的概念和刻畫,主要的方法與結(jié)果,我的做法：設(shè) 與 是fuzzy格,映射 叫序同態(tài)， 若滿足（1） （2） 是保并映射； （3） 是保并映射,這里 有 在此基礎(chǔ)上，本文探討其以及完全分配格上定義得廣義序同態(tài)的性質(zhì)，及其在其他代數(shù)系統(tǒng)上的推廣。主要研究四類問題.第一類不具有逆序?qū)蠈?yīng)的廣義序同態(tài)的研究；第二類完備格和連續(xù)格上偽廣義序同態(tài)的研究；第三類基于Scott連續(xù)，以及way-below關(guān)系下的domain間Scott廣義序同態(tài)的研究，并延伸到擬連續(xù)domain上,主要的方法與結(jié)果,定理1 設(shè)f ：L1 L2是GOH，下列條件等價(jià)： （1）f是雙射； （2）f-1是雙射； （3）(f-1)-1= f. 定理2 設(shè)映射f：L1 L2，如f是偽序同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f保任意并且f保. 定理3 設(shè)映射f：L1 L2，則f是Scott廣義序同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f關(guān)于Scott連續(xù)，并且f保.,主要的方法與結(jié)果,定理4 L1是連續(xù)格, f：L1 L2保有限并，f-1：L2 L1保有限并，則下列條件等價(jià)： (1) f保極小集; (2) 任意a L1, f(a)是f(a)的極小集； (3) f是偽廣義序同態(tài). 定理5 設(shè)映射f：L1 L2， f是Scott廣義序同態(tài)，則a L1，f把a(bǔ)在L1 中的d極小集映成f(a)在L2的d-極小集.,主要的方法與結(jié)果,定理6 設(shè)L1和L2是代數(shù)domain，設(shè)映射f : K(L1)K(L2) 是Scott廣義序同態(tài)，則下條件等價(jià)， （1）f-1f = Id1；（Id1是L1上的恒等變換） （2）f是單射； （3）f是保反射序. 定理7 設(shè)L1和L2是代數(shù)domain，設(shè)映射f : K(L1)K(L2)是Scott廣義序同態(tài)，則下條件等價(jià)，（1）f f-1 = Id2；（Id2是L2上的恒等變換） （2）f是滿射； （3）f-1是保反射序.,主要的方法與結(jié)果,定理8 設(shè)L,M是擬連續(xù)domain，x屬于L，N包含于L，F(xiàn)包含于M，f ：L M是單調(diào)的，且NNwb(x)，下列條件等價(jià)： （1）f保擬定向極小集； （2）任意的x L，f(NNwb(x)為f(x)的擬定向極小集； （3）f保定向并，且任意的x屬于L，f(NNwb(x)包含于雙下集f(x); （4）f保定向并和； （5）f類Scott序同態(tài).,主要的方法與結(jié)果,結(jié)論：,主要的方法與結(jié)果,意義：第二章中我們將進(jìn)一步來探討分子格上GOH的性質(zhì)，以及它之間的一些關(guān)系，并得到f和f-1之間存在的聯(lián)系。第三章中我們?nèi)サ舴肿痈竦囊笠氩⑻接懲陚涓裆系膫螐V義序同態(tài).該章分為三節(jié)，分別從完備格和連續(xù)格上來探討偽廣義序同態(tài)問題，通過定義極小集得到連續(xù)格成為完全分配格的一個(gè)充分條件。第四章中進(jìn)一步弱化廣義序同態(tài)條件，定義domain間的Scott廣義序同態(tài)，探討其性質(zhì)，并將Scott廣義序同態(tài)問題和拓?fù)?，Galois聯(lián)絡(luò)聯(lián)系起來。 最后，我們以圖表的形式給出了他們之間的關(guān)系。,主要的方法與結(jié)果,諸序同態(tài)之間關(guān)系的總結(jié) ：,序同態(tài),廣義序同態(tài),偽廣義序同態(tài),Scott廣義序同態(tài),類scott廣義序同態(tài),展望,展望： 本文主要探討相同類型的代數(shù)系統(tǒng)間的廣義序 同態(tài)問題，在以后的研究中將嘗試探討完全分配格和完 備格（連續(xù)格）之間，完全分配格和domain之間，完備 格（連續(xù)格）和domain之間的映射來尋求找出滿足上述 定義中的某類廣義序同態(tài)，并討論其性質(zhì)及它們之間的 聯(lián)系和區(qū)別.,參考文獻(xiàn),參考文獻(xiàn) 2 Chang C L.Fuzzy topological spaces.J.Math.Anal.Appl. 1968,24:182-190 3 陳德剛，張文修.粗糙集與拓?fù)淇臻gJ.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2001, 35(12)：1313-1315. 4 崔宏斌，鄭崇友.保層fuzzy序同態(tài)的結(jié)構(gòu)和fuzzy同肧的另一定義J.科學(xué)通報(bào),1987, 10(4)：7-11. 7 Gierz G , Lawson J D. 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