上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2018_2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)3月月考試題.docx

上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)3月月考試題（含解析）一、填空題：1.設(shè) ，則_；【答案】1【解析】【分析】通過(guò)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為形式,即可得解.【詳解】解：,所以Imz=1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的虛部的定義，其中正確進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.2.設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則【答案】-2【解析】【考點(diǎn)定位】考查復(fù)數(shù)的定義及運(yùn)算，屬容易題。3.若復(fù)數(shù)滿足，則_；【答案】【解析】【分析】設(shè)出，代入，求出，根據(jù)得到結(jié)論【詳解】解設(shè)代入得：根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義得：，解得解得：，故【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義、復(fù)數(shù)模的定義，待定系數(shù)法的使用是本題解題的主要方法。4.若是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根，且，則_；【答案】4【解析】【分析】是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根，解出方程的根為，根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義，解得的值【詳解】解：實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根所以，解得：【點(diǎn)睛】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解實(shí)系數(shù)方程的根，在時(shí)，兩根互相共軛，共軛復(fù)數(shù)的模相等，根據(jù)模的值求出參數(shù)的值.5.已知空間四邊形中，點(diǎn)分別是邊和的中點(diǎn)，且，則異面直線和所成角的大小是_；【答案】【解析】【分析】要求異面直線和所成角，先找出與異面直線和平行的兩條相交的直線，探尋出異面直線和所成角，進(jìn)而在三角形中解決角的大小問(wèn)題【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)所以，同理：所以，異面直線和所成角即為所成角異面直線和所成角即為或其補(bǔ)角在中，由余弦定理得異面直線和所成角為60【點(diǎn)睛】異面直線所成角問(wèn)題，要借助平行關(guān)系，找出具體角，然后在三角形中，求出角的大小。6.已知在長(zhǎng)方體中，則直線與平面所成的角的大小為_(kāi)；【答案】【解析】【分析】線面角是線在平面內(nèi)的射影與線的夾角，先要求出直線在平面內(nèi)的射影，由于平面與平面是垂直的，故過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面，所以，即為直線在平面內(nèi)的射影，所以即為直線與平面所成角，在求解角的大小?！驹斀狻拷猓哼^(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)因?yàn)槠矫娲怪逼矫嫠?，直線在平面內(nèi)的射影為所以，即為直線與平面所成角在中，所以，直線與平面所成角的大小為【點(diǎn)睛】線面所成角常見(jiàn)解法是通過(guò)找出斜線在平面上的射影，射影與其直線所成角即為線面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。7.已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形所在平面外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離是_；【答案】【解析】【分析】由于，所以點(diǎn)在平面的射影為底面等邊三角形的重心，設(shè)重心為點(diǎn)，所以，在三角形求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)等邊三角形的重心為點(diǎn)，連接因?yàn)榍遥?，平面所以，在等邊中，在中，?！军c(diǎn)睛】點(diǎn)到面的距離常見(jiàn)解決方法是：1.找出點(diǎn)到面的距離對(duì)應(yīng)線段；2.等體積法求解。8.已知直線與平面，下列命題：若平行內(nèi)的一條直線，則；若垂直內(nèi)的兩條直線，則；若，且，則；若且，則；若且，則；若，則；其中正確的命題為_(kāi)（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)）；【答案】【解析】【分析】如果命題找到反例就說(shuō)明錯(cuò)誤性，找不到反例可試著證明命題的正確性【詳解】解：若平行內(nèi)的一條直線，則，還有可能在平面內(nèi)，所以錯(cuò)誤；若垂直內(nèi)的兩條直線，則，這兩條直線必須是垂直的，所以錯(cuò)誤；若，且，則，缺少與相交的條件，所以錯(cuò)誤；若且，則，要垂直于平面才能得到，所以錯(cuò)誤；若且，則，由線面平行的性質(zhì)定理可證得；若，則，由面面平行的性質(zhì)定理可證得；故選【點(diǎn)睛】說(shuō)明命題的錯(cuò)誤，可試著去尋找出反例；若命題是正確的，則應(yīng)用相應(yīng)定理進(jìn)行證明。9.設(shè)集合，其中是復(fù)數(shù)，若集合中任意兩數(shù)之積及任意一個(gè)數(shù)的平方仍是中的元素，則集合_；【答案】或【解析】【分析】根據(jù)若集合中任意兩數(shù)之積及任意一個(gè)數(shù)的平方仍是中的元素，分兩種情況討論，一種兩者相乘等于自身的情況，第二種是均不等于自身情況，依次分析?！驹斀狻拷猓杭现腥我鈨蓴?shù)之積仍是中的元素所以會(huì)出現(xiàn)兩者相乘等于自身的情況，也有可能均不等于自身情況即其中有一項(xiàng)為或者 （1）當(dāng)時(shí)，或若，則或所以，或又因?yàn)榧现腥我庖粋€(gè)數(shù)的平方仍是中的元素所以，剩下的一個(gè)數(shù)必為-1，所以集合 當(dāng)時(shí)，則必須又因?yàn)榧现腥我庖粋€(gè)數(shù)的平方仍是中的元素則，解得，或，所以，集合。（2）當(dāng)時(shí)，三個(gè)等式相乘則得到所以得到或若，則三者必有一個(gè)為0，同（1）可得集合 。若，則得到，當(dāng)時(shí)，則可以得到且，則不成立；當(dāng)時(shí)，則，不成立。故集合M為或【點(diǎn)睛】求解這類問(wèn)題時(shí)，要注意邏輯嚴(yán)謹(jǐn)分析，對(duì)每一個(gè)條件，每一種情況都要力求準(zhǔn)確到位，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)要注意實(shí)系數(shù)方程的解有擴(kuò)充。10.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，是平面上一點(diǎn)，則 的最小值是_；【答案】【解析】【分析】當(dāng)取得最小時(shí)，點(diǎn)必定是點(diǎn)在平面上的射影，即在上。與在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，此時(shí)可將在兩個(gè)不同平面上的量通過(guò)對(duì)平面翻折，轉(zhuǎn)化到同一平面上求解?！驹斀狻拷猓寒?dāng)取得最小時(shí)，點(diǎn)必定是點(diǎn)在平面上的射影，即在上。與在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，為此將繞旋轉(zhuǎn)90，使得平面與平面在同一平面內(nèi)，由，故當(dāng)共線且與垂直時(shí)，取得最小。在平面內(nèi)，因?yàn)樗?，又，所以與都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值為?！军c(diǎn)睛】空間中的最短（長(zhǎng)）距離常見(jiàn)方法是通過(guò)射影等方法轉(zhuǎn)化為平面上的最值問(wèn)題。二、選擇題：11.對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)其解是，下列結(jié)論中不正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則且C. 一定有D. 一定有【答案】D【解析】【分析】實(shí)系數(shù)方程可從與0的大小關(guān)系進(jìn)行分情況討論，對(duì)選項(xiàng)逐一研究篩選。【詳解】選項(xiàng)A、B顯然成立；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)韋達(dá)定理得到的選項(xiàng)C的結(jié)論，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)由計(jì)算可得，同樣也能成立；選項(xiàng)D：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，故選D【點(diǎn)睛】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)方程的判別式時(shí)，方程的根可以通過(guò)虛數(shù)進(jìn)行表示。12.教室內(nèi)有一把尺子，無(wú)論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 異面【答案】B【解析】【分析】直線與平面三種位置關(guān)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)舉反例排除或證明?！驹斀狻拷猓哼x項(xiàng)A，當(dāng)直尺所在直線與地面只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，若地面上能找出一條直線與此相平行，則直尺所在直線與地面是平行的，線面平行時(shí)，直尺所在直線與地面是沒(méi)有公共點(diǎn)的，與條件矛盾，選項(xiàng)A錯(cuò)誤選項(xiàng)B：直線與地面共有三種位置關(guān)系，1.直線在地面內(nèi)，可以找到一條直線與已知直線垂直；2.直線與地面有一共公共點(diǎn)，即相交時(shí)，可以找到一條直線與已知直線垂直；3. 直線與地面平行時(shí)，可以找到一條直線與已知直線異面垂直，所以選項(xiàng)B正確。選項(xiàng)C：當(dāng)直尺所在直線與地面平行時(shí)，直尺所在直線與地面是沒(méi)有公共點(diǎn)的，所以不可能找出一條直線與直尺所在直線相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤選項(xiàng)D：當(dāng)直尺所在直線在地面內(nèi)時(shí)，直尺所在直線與地面上所有直線都是共面的，所以不可能找出一條直線與直尺所在直線異面，選項(xiàng)D錯(cuò)誤【點(diǎn)睛】說(shuō)明命題的錯(cuò)誤，可試著去尋找出反例；若命題是正確的，則應(yīng)用相應(yīng)定理進(jìn)行證明。直線與平面的位置共有三種，對(duì)每一種情況進(jìn)行具體分析求解。13.若為非零實(shí)數(shù)，則以下四個(gè)命題都成立：；若，則；若，則.則對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)，上述命題中仍為真命題的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè).A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的性質(zhì)，可根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷。【詳解】解：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，存在使，命題錯(cuò)誤；在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)可得到，故成立；在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)表示的是復(fù)數(shù)與的模長(zhǎng)，模長(zhǎng)相等，復(fù)數(shù)可以不相等。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由于是非零復(fù)數(shù)，所以在得兩邊同時(shí)除以可得，故成立。故選B【點(diǎn)睛】實(shí)數(shù)運(yùn)算成立的等式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)未必成立，不同范圍成立條件不一樣，注意合理使用。14.（2013浙江）在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為B，記B=f（A）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q1=ff（P），Q2=ff（P），恒有PQ1=PQ2，則（）A. 平面與平面垂直B. 平面與平面所成的（銳）二面角為45C. 平面與平面平行D. 平面與平面所成的（銳）二面角為60【答案】A【解析】設(shè)P1=f（P），則根據(jù)題意，得點(diǎn)P1是過(guò)點(diǎn)P作平面垂線的垂足Q1=ff（P）=f（P1），點(diǎn)Q1是過(guò)點(diǎn)P1作平面垂線的垂足同理，若P2=f（P），得點(diǎn)P2是過(guò)點(diǎn)P作平面垂線的垂足因此Q2=ff（P）表示點(diǎn)Q2是過(guò)點(diǎn)P2作平面垂線的垂足對(duì)任意的點(diǎn)P，恒有PQ1=PQ2，點(diǎn)Q1與Q2重合于同一點(diǎn)由此可得，四邊形PP1Q1P2為矩形，且P1Q1P2是二面角l的平面角P1Q1P2是直角，平面與平面垂直故選：A三、解答題：15.在正方體中，分別是的中點(diǎn).（1）求證：四邊形是棱形；（2）作出直線與平面的交點(diǎn)（寫(xiě)出作圖步驟）.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）略.【解析】【分析】（1）在空間中證明四邊形為菱形，則必須從相等、平行兩個(gè)角度進(jìn)行證明（2）要作直線與平面的交點(diǎn)，在平面上，作出直線與直線的交點(diǎn)。【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，可得，四邊形為平行四邊形，則，由為正方體，且分別為的中點(diǎn)，可得為平行四邊形，則，且，四邊形為平行四邊形，由，可得，四邊形是菱形.（2）作圖：步驟1：連接 步驟2：取與的交點(diǎn)，記作為，即為所求?！军c(diǎn)睛】證明空間四邊形為平行四邊形，不能僅僅用兩組對(duì)邊分別相等來(lái)證明，必須要出現(xiàn)一組對(duì)邊平行的條件；作直線與平面的交點(diǎn)常見(jiàn)辦法是在同一平面內(nèi)作直線與平面內(nèi)某條直線的交點(diǎn)。16.如圖：在長(zhǎng)方體中，分別是棱的中點(diǎn)，求：（1）與所成的角；（2）與平面所成的角.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求直線與所成的角，通過(guò)可轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，然后在中利用余弦定理解可得；（2）直線與平面所成的角，首先要求出在平面上射影，由長(zhǎng)方體可得在平面上射影即為，所以直線與平面所成角的平面角即為或其補(bǔ)角，在中解得線面角的大小?！驹斀狻拷猓阂?yàn)椋謩e是棱的中點(diǎn)所以，所以，直線與所成的角即為直線與所成的角所以，直線與所成的角為或其補(bǔ)角連接在中，由余弦定理解得所以，直線與所成的角（2）因?yàn)殚L(zhǎng)方體所以，平面連接所以直線與平面所成角的平面角即為或其補(bǔ)角，在中，所以所以直線與平面所成角的平面角即為。【點(diǎn)睛】異面直線所成角常見(jiàn)解法是通過(guò)平行找出異面直線所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大??；線面所成角常見(jiàn)解法是通過(guò)找出斜線在平面上的射影，射影與其直線所成角即為線面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。17.如圖，在空間四邊形中，平面，且，.（1）若，求證：平面；（2）在（1）的條件下，求二面角的大小.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證平面，即要證垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可，顯然垂直于；（2）要求二面角的大小，首先要找出二面角的平面角，由（1）可知即為所求二面角的平面角，然后在求解角的大小?！驹斀狻浚?）證明：因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以平面，所以，又因?yàn)?，則平面，得證；（2）因?yàn)槠矫?，所以即為所求二面角，根?jù)等面積法，再根據(jù)相似，則，所以二面角的大小為：；【點(diǎn)睛】證明線面垂直時(shí)，應(yīng)注意線面垂直判定定理的條件，缺一不可；二面角常見(jiàn)解法是通過(guò)線面垂直找出二面角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。18.復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)及為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng)，復(fù)數(shù)滿足，求：（1）復(fù)數(shù)模的取值范圍；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)條件可設(shè)，由此可表示出的模形式，進(jìn)而得出模的范圍；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程即求點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的等量關(guān)系，將用（1）中的形式進(jìn)行表示，轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，即可解決軌跡方程?！驹斀狻浚?）設(shè)，則；（2）；【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)形式不確定時(shí)，可利用待定系數(shù)法，將復(fù)數(shù)表示出來(lái)，然后進(jìn)行分析解題；求點(diǎn)的軌跡方程即求點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的等量關(guān)系，常見(jiàn)方法有常見(jiàn)曲線的定義、參數(shù)方程等方法。19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90.（I）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，并說(shuō)明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）見(jiàn)解析；（） .【解析】試題分析：本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問(wèn)，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標(biāo)系解出正弦值.試題解析：（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M（M平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形. 從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（說(shuō)明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.過(guò)點(diǎn)A作AHCE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過(guò)A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH=，所以sinAPH=.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.