數(shù)學(xué)師范類畢業(yè)論文.doc

閩南師范大學(xué)畢業(yè)論文特殊化在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用The Application of Specialization in Mathematics Problem Solving姓 名： 筆芯君 學(xué) 號： 1104* 系 別： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范專業(yè)）年 級： 2011級 指導(dǎo)教師： 2014年6月22日10摘要特殊化作為中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，在講究效率的現(xiàn)代解題模式中變得尤為重要。本文主要通過對特殊化思想方法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具體表現(xiàn)的研究，初步匯總了特殊化在解各類數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用，并選取了各類型較有代表性的題目進(jìn)行分析，以提高特殊化思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用水平。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；數(shù)學(xué)思想方法；特殊化AbstractAs an important mathematical method in high school mathematical problem solving, the specialization is becoming especially important in modern problem solving model which focuses on efficiency.Base on the research of specializations concrete manifestations in mathematics,this paper has preliminarily collected the application of specialization in solving various mathematical problems preliminary and analyzed various kinds of the representative questions,so as to improve the application level of specialization in mathematical problem solving.Key words: mathematical problem solving; mathematics method; specialization目 錄中英文摘要I1.數(shù)學(xué)中的特殊化方法12.特殊化方法的研究1 2.1. 特殊化方法的分類1 2.2. 特殊化方法的使用技巧1 2.2.1. 能應(yīng)用特殊化進(jìn)行計(jì)算的題目類型1 2.2.2. 應(yīng)用特殊化方法進(jìn)行解題常用的思維方式2 2.2.3. 應(yīng)用特殊化方法解題應(yīng)該遵循的原則23.特殊化在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2 3.1. 利用特殊化方法直接解題2 3.1.1. 能利用特殊化方法直接解題的題目類型2 3.1.2. 特殊化在解選擇題中的應(yīng)用2 3.1.2.1. 特殊化在解代數(shù)類選擇題中的應(yīng)用2 3.1.2.2. 特殊化在解判斷、條件、動點(diǎn)類選擇題中的應(yīng)用4 3.1.3. 特殊化在解填空題中的應(yīng)用5 3.1.4. 特殊化在解判斷題中的應(yīng)用6 3.2. 利用特殊化方法為解題提供思路6 3.2.1. 特殊化方法在解證明題中的應(yīng)用6 3.2.2. 特殊化方法在解應(yīng)用題中的應(yīng)用64.在具體教學(xué)中特殊化思想方法的教與學(xué)7 4.1. 教師如何教授特殊化方法7 4.2. 學(xué)生如何學(xué)習(xí)使用特殊化方法8參考文獻(xiàn)9致謝10引言在數(shù)學(xué)解題過程中，常規(guī)解題方法常常顯得復(fù)雜繁瑣，在有限的作答時(shí)間里，方便快捷的解題技巧變得尤為重要。與此同時(shí)，了解特殊化方法在解題中的作用及使用技巧，學(xué)會合理使用特殊化方法進(jìn)行解題也變得極為重要。應(yīng)用特殊化方法，根據(jù)題目要求選取最合適的特殊值進(jìn)行解題，達(dá)到省時(shí)省力、高效率解題和拓寬視野的目的。能有效的利用特殊化方法處理、解決不同類型的題目，提高解題效率，拓展解題思維，是現(xiàn)代教師應(yīng)著重指導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)的能力。1.數(shù)學(xué)中的特殊化方法特殊化作為數(shù)學(xué)思想方法中的重要思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有舉足輕重的地位。唯物主義的辯證法告訴我們“矛盾的普遍性即寓于矛盾的特殊性之中”。在解數(shù)學(xué)題的過程中，許多學(xué)生只注重于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、論證,當(dāng)出現(xiàn)陌生、新穎或不易解決的題目時(shí)卻不知道怎樣去尋找、探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑與方法。此時(shí)，若運(yùn)用特殊化方法，從問題的特殊情形進(jìn)行考慮，很容易便能起到啟發(fā)思維、簡化解題、優(yōu)化步驟、培養(yǎng)能力的效果。數(shù)學(xué)解題中的特殊化方法是一種“以退為進(jìn)，以點(diǎn)破面”的策略，當(dāng)常規(guī)的思路、方法在問題的解決上遇到了困難、阻礙時(shí)，合理的將問題進(jìn)行弱化、簡單化或具體化，將問題化為當(dāng)前所能認(rèn)識理解的層次進(jìn)行分析，再由這一層次獲得解決問題的方法，之后將問題解決或回到原來的層次將問題解決。即由“一般”得到“特殊”最后得到“結(jié)論”， 或由“一般”得到“特殊”再得到“一般”最后得到“結(jié)論”的思維模式。簡言之，特殊化方法即由個(gè)別的、特殊的情形或現(xiàn)象著手，以此來獲得方法或規(guī)律的提示，從而找出解決問題的方法。2.特殊化方法的研究2.1.特殊化方法的分類根據(jù)特殊化方法的作用結(jié)果，可將其分為兩類：能直接解題的特殊化方法和為解題提供幫助從而間接解題的特殊化方法；由特殊化方法的作用方式，可將其分為：簡化所求問題和根據(jù)特殊對象觀察所求問題兩大類；由特殊化對象的不同，可分為：取特殊數(shù)值法、取特殊點(diǎn)（線、面）法、取特殊函數(shù)法、取特殊圖形法、取特殊位置法、取特殊關(guān)系法等。在解題過程中不同類型的特殊化方法和諧統(tǒng)一，雖然方法不同，但是目的一致，都是為解題提供服務(wù)。選擇適當(dāng)?shù)奶厥饣椒ú拍芨玫臑榻忸}服務(wù)，達(dá)到啟發(fā)思維、精簡過程、優(yōu)化解題、節(jié)約時(shí)間、提高綜合能力的效果。2.2.特殊化方法的使用技巧2.2.1.能應(yīng)用特殊化進(jìn)行計(jì)算的題目類型當(dāng)遇見下列類型的題目時(shí)，可以考慮使用特殊化方法：代數(shù)類問題、求最值問題、比較大小問題、數(shù)列問題、任意點(diǎn)問題、求定值問題等。2.2.2.應(yīng)用特殊化方法進(jìn)行解題常用的思維方式在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，當(dāng)問題的一般性不是十分明顯時(shí)，即可考慮從特殊的數(shù)、形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系著手出發(fā)，嘗試尋找解題的方法或構(gòu)成解題的切入點(diǎn)。初步著手使用特殊化處理問題時(shí)，先嘗試隨機(jī)的特殊化處理問題，以此從不同方位了解問題；之后嘗試系統(tǒng)的特殊化處理問題，為之后的一般化提供認(rèn)識程度的基礎(chǔ)；最后，由巧妙的特殊化處理問題，對所得的一般結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步檢驗(yàn)。換句話說，即當(dāng)問題較難入手解決時(shí)，將問題化到具體、簡單的背景下進(jìn)行觀察，從特殊、簡單或極端的情況進(jìn)行探索、分析和認(rèn)識原本復(fù)雜的問題，從不同的角度去發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，獲得啟發(fā)，最后得出解決問題的思路與途徑。2.2.3.應(yīng)用特殊化方法解題應(yīng)該遵循的原則應(yīng)用特殊化方法分析解決問題時(shí)，要有目的的進(jìn)行特殊化。首先應(yīng)該遵循利用特殊化往便于自身理解且自身掌握良好的方向進(jìn)行處理的原則；之后，應(yīng)遵循往令問題更清晰、更簡單、更易于解答的方向處理的原則；最后，應(yīng)遵循往不背離問題的原意、符合問題要求的方向進(jìn)行處理的原則。3.特殊化在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用3.1.利用特殊化方法直接解題3.1.1.能利用特殊化方法直接解題的題目類型此類題型的特殊化解決是特殊化方法在解題中應(yīng)用的最普遍形式，利用特殊化通常能極大地簡化過程，減少此類題型的解題時(shí)間。能利用特殊化方法直接解題的題目的主要類型為：選擇題、填空題以及判斷題。此類題型運(yùn)用特殊化方法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：往往能高效快捷的得到問題的答案；缺點(diǎn)：容易導(dǎo)致學(xué)生不能很好的認(rèn)識問題的本質(zhì)。要做到利用特殊化方法高效快捷地解此類題型，并從中很好地理解題目本質(zhì)需要靠平時(shí)知識的積累和對題目條件的深刻理解和把握。3.1.2.特殊化在解選擇題中的應(yīng)用 由于選擇題的特殊性，在解選擇題時(shí)，首要的不是按部就班地進(jìn)行推理計(jì)算，而是合理根據(jù)題目的條件以及選項(xiàng)作出快速判斷與合情推理。3.1.2.1.特殊化在解代數(shù)類選擇題中的應(yīng)用例1：已知 =l，=(-),，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為( ). . . .分析：取特殊項(xiàng)來檢驗(yàn),先求，當(dāng)時(shí),即,根據(jù)選擇支使只有,故選。本例題恰好只有一個(gè)選項(xiàng)符合這個(gè)要求，一般做類似選擇題時(shí)，可能會有同時(shí)存在多個(gè)選項(xiàng)符合要求，此時(shí)只需學(xué)生繼續(xù)選取特殊項(xiàng)，算出,的值，利用排除法，很容易就能得到正確答案。本題運(yùn)用特殊化取值的方法，先算出數(shù)列前幾項(xiàng)的值來檢驗(yàn)選項(xiàng)的正確性，只需進(jìn)行簡單的運(yùn)算，就能找到符合題目要求的選項(xiàng)，省去了繁瑣的代數(shù)運(yùn)算與推理變形，為學(xué)生考試節(jié)省了時(shí)間，但是在平時(shí)的練習(xí)中，應(yīng)該重視常規(guī)解題的思路以及方法，提高學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握程度以及運(yùn)用的靈活性，將一般化與特殊化相結(jié)合，才能做到完整地掌握所學(xué)內(nèi)容。例2：不等式組的整數(shù)解是（ ） 分析：法一：（常規(guī)解法）解該不等式組可得最后解得 ，由題目所要求，整數(shù)解為 。故選。此題有一處陷阱，即用常規(guī)解法解題時(shí)，經(jīng)過一系列運(yùn)算最后終于計(jì)算出了結(jié)果 ，此時(shí)學(xué)生極可能忘記題目中的限制“整數(shù)解”，從而選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)但若運(yùn)用特殊化方法來處理這道題，則有效地避開了這一陷阱。法二：（特殊化解法）觀察題目選項(xiàng)，利用排除法。根據(jù)題目要求“整數(shù)解”，選項(xiàng)不止含有整數(shù)解，直接排除選項(xiàng)；繼續(xù)觀察剩下的選項(xiàng)，三項(xiàng)都含有整數(shù)解，項(xiàng)多了一個(gè)整數(shù)解，項(xiàng)多了一個(gè)整數(shù)解，所以將和作為特殊值分別帶入，即可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，不滿足，排除項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，滿足；但 ，不滿足，排除項(xiàng)；故本題選。小結(jié)：很明顯，本題運(yùn)用特殊化方法解題，大大減少了解題的運(yùn)算量，提高了解題速度以及正確率。將特殊化方法與排除法相結(jié)合，在解選擇題中常常能起到事半功倍的效果。3.1.2.2.特殊化在解判斷、條件、動點(diǎn)類選擇題中的應(yīng)用例3：若 則（ ）. . . .分析：此題為判斷三個(gè)代數(shù)的大小關(guān)系，若能找到一個(gè)合適的特殊值代入即可找出正確選項(xiàng)。由 在上取一特殊值，代入可得：故，選。小結(jié)：特殊化方法在解決比較大小、判斷位置關(guān)系的問題方面有著極大作用。學(xué)生利用特殊化能迅速將一系列復(fù)雜的代數(shù)式或算式轉(zhuǎn)換成具體數(shù)值，之后便能很容易的進(jìn)行比較和判斷?？梢哉f，特殊化方法極其適合解決該類問題。但應(yīng)用的關(guān)鍵仍然是特殊值的選取，能快速尋找、選擇出符合題意又對解題有顯著作用的特殊值，是每一名學(xué)生學(xué)習(xí)、應(yīng)用特殊化方法解題應(yīng)該重點(diǎn)培養(yǎng)的能力。例4：如右圖，在矩形中，是上一個(gè)動點(diǎn)，于，于。則的值是（ ）. . . .分析：本題為動點(diǎn)求定值問題。由題目所給的“是上一個(gè)動點(diǎn)”，即可取特殊點(diǎn)為中點(diǎn)，如左圖。此時(shí)，易得，所以只需算出即可。由題可得 故選。小結(jié)：取特殊點(diǎn)、特殊位置等是利用特殊化方法解函數(shù)題、幾何題的重要方法。在解決類似問題時(shí)，常取的點(diǎn)一般是中點(diǎn)，三分之一點(diǎn)等。在解題過程中，根據(jù)題目限制，選取適當(dāng)符合題目要求的點(diǎn)或位置，以便達(dá)到有助于計(jì)算或觀察相互關(guān)系的目的。在解圖形類選擇題時(shí)，學(xué)生應(yīng)往對解題有利的方向?qū)D形進(jìn)行特殊化處理，一切以令自己易觀察、易計(jì)算、易理解為原則，從而做到對問題的深入了解以及解決。3.1.3.特殊化在解填空題中的應(yīng)用 例5：無論為何值，函數(shù)的圖像都經(jīng)過的點(diǎn)是 分析：法一：（常規(guī)解法）由題可知，圖像必經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)與無關(guān)，所以可以考慮消去。將函數(shù)進(jìn)行變形 提取公因式，則函數(shù)可化為 即當(dāng)時(shí)，可以消去，函數(shù)與無關(guān)；且當(dāng)時(shí)，函數(shù)值所以，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5）法二：（特殊化法）由于的任意性，可以對取兩個(gè)特殊值列出方程組，計(jì)算方程組的解即所需答案。觀察函數(shù)，為了計(jì)算簡便，可令消去一次項(xiàng)得到；再令得到；解關(guān)于的方程組 得 即經(jīng)過的點(diǎn)為（1,5）小結(jié)：很明顯，本題利用特殊化法進(jìn)行計(jì)算并沒有達(dá)到簡便快捷的效果，常規(guī)解法反而更加容易解出答案。這便說明特殊化方法并不一直都是解題的簡便方法，但是可以作為常規(guī)解法之外的備用解題途徑，在幫助學(xué)生保證得分率方面起到重要作用；也說明了特殊化方法是需要學(xué)生去尋找最合適的特殊值或特殊情況進(jìn)行討論，才能夠很好地做到簡便快捷地解題。本例題也說明了一條應(yīng)用特殊化方法進(jìn)行解題的途徑：先嘗試使用常規(guī)解法解題，當(dāng)常規(guī)解法較為復(fù)雜繁瑣時(shí)，再考慮特殊化解法。3.1.4.特殊化在解判斷題中的應(yīng)用特殊化在判斷題中的應(yīng)用與選擇、填空題類似。在解判斷題時(shí)，要證明題目是錯(cuò)誤的，只需利用舉反例的方法直接進(jìn)行判斷，這即是特殊化方法在判斷題中的最為普遍也最為有效的應(yīng)用；但是，當(dāng)要判斷題目是正確的時(shí)，就需要進(jìn)行嚴(yán)密的證明，此時(shí)就有了特殊化方法的另一種應(yīng)用：提供解題思路。在做解答題、證明題等題目時(shí)，學(xué)生不能直接使用根據(jù)題目限制取特殊值、特殊點(diǎn)等常規(guī)特殊化解題方法進(jìn)行答題，只能使用特殊化方法的另外一種應(yīng)用,即為解題提供思路。3.2.利用特殊化方法為問題解決提供思路3.2.1.特殊化方法在解證明題中的應(yīng)用在求定值問題時(shí)，可利用特殊情形求出定值，然后進(jìn)行證明例6：已知：，且，為常數(shù)，求證：為定值。分析：取，符合 代入和中， 解得故：(由于為常數(shù)，所以也為定值)。由此可獲得思路，即湊出即將已知條件的以及分別兩邊同時(shí)平方后兩式相加即可得到證明：由題目所給等式，分別進(jìn)行兩邊同時(shí)平方后可得： （1） （2） （1）+（2）得：（3） 代入（3） 又為常數(shù)為定值即得證原命題本例題很好的闡述了特殊化方法在為解題提供思路上起到的突破性作用，通過特殊化處理，原本難以看出證明切入點(diǎn)的題目，在經(jīng)過了特殊值帶入后，便能很明顯的看出證明的思路以及方向，能迅速的找到解題突破口，也能令學(xué)生更容易的理解題目的本意。3.2.2.特殊化方法在解應(yīng)用題中的應(yīng)用例7：在一個(gè)箱子中盛有2014個(gè)珠子，甲、乙兩人輪流從盆中取球，每人每次最多取7個(gè)，最少取1個(gè)，如此循環(huán)，取到最后一個(gè)珠子者勝，現(xiàn)在由甲先取，問甲怎樣才能一定獲勝？分析：本題通過常規(guī)化思路進(jìn)行時(shí)，對甲、乙進(jìn)行分情況討論。由于珠子總數(shù)有2014個(gè)，數(shù)量較多。甲每輪每次有取1，2，3，7個(gè)珠子，7種取法；乙每輪每次也有取1，2，3，7個(gè)珠子，7種取法；則甲乙兩人每輪每次就會有49種取法，如此考慮該問題將變得十分復(fù)雜。此時(shí)，即可考慮使用特殊化方法進(jìn)行輔助解題。根據(jù)已知題目，甲、乙每次最少拿1個(gè)，最多拿7個(gè)，如果剛好只有8個(gè)珠子，那么先拿的人必輸。因?yàn)槿粼O(shè) ， 則 即剩下的珠子數(shù)都是后一個(gè)人能一次性全部拿走的。所以，此時(shí)若想讓先拿的甲獲勝，甲就應(yīng)該在他倒數(shù)第二次拿珠子時(shí)，讓剩下的珠子只有8個(gè)。即甲每一次取完珠子，只需要保證剩下的珠子數(shù)量是8的倍數(shù)即可。由此，便可以得出讓甲一定獲勝的方法：根據(jù) 則，甲第一次只需取出6個(gè)珠子，剩下的珠子總數(shù)便是8的倍數(shù)。之后，若每一輪乙取了個(gè)珠子（），那么甲只需要取出個(gè)珠子，便能一直保持取完后剩下珠子數(shù)量是8的倍數(shù)。如此經(jīng)過251輪，甲便一定能獲勝。小結(jié)：特殊化方法在解應(yīng)用題中的應(yīng)用與證明題類似，都是以特殊化為解題突破口，從題目所給的一般現(xiàn)象中找到特殊情況，之后優(yōu)先從特殊情況入手，在特殊中深入了解題目所給的信息，找到解決問題的方向或途徑，最后從特殊回到一般，將題目解答出來。由本例題可以看出，能否取到一個(gè)合適的特殊值是應(yīng)用特殊化方法解應(yīng)用題的的重中之重。4.在具體教學(xué)中特殊化思想方法的教與學(xué)4.1.教師如何教授特殊化方法教師在平時(shí)的上課教學(xué)中，應(yīng)有意識地加深特殊化方法在學(xué)生腦中的印象；在習(xí)題講解中強(qiáng)調(diào)發(fā)散思維，介紹特殊化解法的具體應(yīng)用與注意事項(xiàng)；引導(dǎo)學(xué)生另辟新徑，敢于嘗試特殊化方法，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生內(nèi)在的思維能力。具體實(shí)施時(shí)應(yīng)注重因材施教：對于優(yōu)秀學(xué)生：在掌握基本知識的基礎(chǔ)上，要求其平時(shí)解題時(shí)在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上，再次嘗試特殊化方法進(jìn)行解題，以便于在考試時(shí)能迅速選取出最適合實(shí)際題目的解題方法，提高考場解題效率。對于后進(jìn)生：由于后進(jìn)生一般是對基礎(chǔ)知識的掌握不扎實(shí)，難以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，則可要求其嘗試?yán)锰厥饣チ私鈫栴}本質(zhì)，獲得解題途徑最后得出答案，提高其在考試時(shí)的得分率。教師還應(yīng)重視培養(yǎng)其從“特殊”回到“一般”的思維方式，利用特殊化方法了解問題的一般化解法，鞏固基礎(chǔ)知識，最后做到向優(yōu)秀生的轉(zhuǎn)變。4.2.學(xué)生如何學(xué)習(xí)使用特殊化方法首先，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)主動了解特殊化方法，學(xué)習(xí)特殊化的思想方法，轉(zhuǎn)變思維方式。養(yǎng)成從一般現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)特殊個(gè)例的習(xí)慣，學(xué)會從特殊對象著手去解決問題。其次，在做習(xí)題時(shí)考慮多種方法，分析常規(guī)方法以及特殊化方法在解不同題目時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)，以積累解題經(jīng)驗(yàn)，以便能在考試有限的時(shí)間內(nèi)，以最快的速度選取最合適的解題方法。最后，在遇見難題時(shí)養(yǎng)成嘗試特殊化方法解題的習(xí)慣，從多方面、多角度去觀察和分析問題，培養(yǎng)由“一般”到“特殊”再到“一般”的思維模式。不被題目所限制，利用特殊化方法“以點(diǎn)破面”地解決難題。參考文獻(xiàn)：1 管智勇.例談數(shù)學(xué)解題中特殊化的