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第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第 一 節(jié) 中值定理,一、羅爾(Rolle)定理,幾何解釋:,證,討論：,不妨設(shè),因而,下證：,且,則有,得,則有,得,（1）,（2）,證畢。,注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿(mǎn)足,其結(jié)論可能不成立.,下面舉例說(shuō)明。,不滿(mǎn)足條件(1).,不滿(mǎn)足條件（2）,不滿(mǎn)足條件（3）,例1,證,由零點(diǎn)定理得：,矛盾!,注：,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋:,分析:,弦AB方程為,作輔助函數(shù),證,由已知得：,且,即,根據(jù)羅爾定理，得：,使得,即,即,證畢。,拉格朗日中值公式,注：,從而,記,則,這樣，拉格郎日公式可表示為,此式稱(chēng)為有限增量公式.,注: 拉格朗日公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,推 論,證（1）,解,定理,證,證畢,例3,證,即,例4,證,三、柯西(Cauchy)中值定理,證,作輔助函數(shù),即,即,證畢。,注,注,從幾何上看，,柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的參數(shù)形式。,即:,拉格朗日中值公式,例5,分析:,證,即,即,即,證畢,例6,證,分析:,結(jié)論可變形為,四、小結(jié),Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系:,注意定理成立的條件；,注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.,P134習(xí)題3-1

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