浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.3函數(shù)的奇偶性與周期性講義含解析.docx

3.3函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱考情考向分析1.理解并會判斷函數(shù)的奇偶性2.了解函數(shù)的周期性、最小正周期的含義.以理解函數(shù)的奇偶性、會用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識，題型以選擇、填空題為主，中等偏上難度.1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函數(shù)f(x)，g(x)的奇偶性，那么函數(shù)f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么結(jié)論？提示在函數(shù)f(x)，g(x)公共定義域內(nèi)有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函數(shù)f(x)滿足下列條件，你能得到什么結(jié)論？(1)f(xa)f(x)(a0)_(2)f(xa)(a0)_(3)f(xa)f(xb)(ab)_提示(1)T2|a|(2)T2|a|(3)T|ab|題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)yx2，x(10，)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱()(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()(5)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件()(6)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期()題組二教材改編2P39A組T6已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)x(1x)，則f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.3P45B組T4設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x1,1)時，f(x)則f_.答案1解析ff4221.4.P39A組T6設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，若當(dāng)x0,5時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_答案(2,0)(2,5解析由題圖可知，當(dāng)0x2時，f(x)0；當(dāng)2x5時，f(x)0，又f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)2x0時，f(x)0，當(dāng)5x0.綜上，f(x)0的解集為(2,0)(2,5題型一判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函數(shù)f(x)的定義域為，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)由得定義域為(1,0)(0,1)，關(guān)于原點對稱x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)思維升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()Ayxsin2xByx2cosxCy2xDyx2sinx答案D解析對于A，f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，為奇函數(shù)；對于B，f(x)(x)2cos(x)x2cosxf(x)，為偶函數(shù)；對于C，f(x)2x2xf(x)，為偶函數(shù)；對于D，yx2sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故選D.(2)已知函數(shù)f(x)，g(x)，則下列結(jié)論正確的是()Ah(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)Bh(x)f(x)g(x)是奇函數(shù)Ch(x)f(x)g(x)是奇函數(shù)Dh(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)答案A解析易知h(x)f(x)g(x)的定義域為x|x0因為f(x)g(x)f(x)g(x)，所以h(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)故選A.題型二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用1奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x1)為偶函數(shù)，且f(1)2，則f(4)f(5)的值為()A2B1C1D2答案A解析f(x1)為偶函數(shù)，f(x1)f(x1)，則f(x)f(x2)，又yf(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0.從而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期為4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)2，且對任意的x都有f(x2)，則f(2020)_.答案2解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2020)f(4)因為f(22)，所以f(4)2.故f(2020)2.3若函數(shù)f(x)(xR)是周期為4的奇函數(shù)，且在0,2上的解析式為f(x)則ff_.答案解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以ffffffffsin.4定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2019)_.答案338解析f(x6)f(x)，周期T6.當(dāng)3x1時，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2015)f(2016)1336.又f(2017)f(1)1，f(2018)f(2)2，f(2019)f(3)1，f(1)f(2)f(3)f(2019)338.思維升華利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題點1求函數(shù)值或函數(shù)解析式例2 (1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x(，0)時，f(x)2x3x2，則f(2)_.答案12解析方法一令x0，則x0.f(x)2x3x2.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.方法二f(2)f(2)2(2)3(2)212.(2)(2018浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)測試)已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)12xx2，則函數(shù)f(x)的解析式是_答案f(x)解析設(shè)x0，則x0，f(x)12xx2f(x)，即x0時，f(x)12xx2，又易知f(0)0，f(x)命題點2求參數(shù)問題例3 (1)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.答案1解析f(x)f(x)，xln(x)xln(x)，ln()2x20.lna0，a1.(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1，1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_答案10解析因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以ff且f(1)f(1)，故ff，從而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，從而a3b10.命題點3利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式例4(1)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，若f(lnx)f(2)，則x的取值范圍是()A(0，e2) B(e2，)C(e2，) D(e2，e2)答案D解析根據(jù)題意知，f(x)為偶函數(shù)且在0，)上單調(diào)遞增，則f(lnx)f(2)|lnx|2，即2lnx2，解得e2xf(2x1)成立的x的取值范圍為_答案解析由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)當(dāng)x0時，f(x)ln(1x)，因為yln(1x)與y在(0，)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，兩邊平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x0B減函數(shù)且f(x)0D增函數(shù)且f(x)0，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)也單調(diào)遞增，且f(x)0.由ff(x)知，函數(shù)的周期為，所以在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增且f(x)0時，x0，f(x)f(x)ex1x，f(x)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題一、函數(shù)性質(zhì)的判斷例1(1)已知函數(shù)f(x)lnxln(2x)，則()Af(x)在(0,2)上單調(diào)遞增Bf(x)在(0,2)上單調(diào)遞減Cyf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱Dyf(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱答案C解析f(x)的定義域為(0,2)f(x)lnxln(2x)lnx(2x)ln(x22x)設(shè)ux22x，x(0,2)，則ux22x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減又ylnu在其定義域上單調(diào)遞增，f(x)ln(x22x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減選項A，B錯誤；f(x)lnxln(2x)f(2x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，選項C正確；f(2x)f(x)ln(2x)ln xln xln(2x)2ln xln(2x)，不恒為0，f(x)的圖象不關(guān)于點(1,0)對稱，選項D錯誤故選C.(2)(2018浙江舟山中學(xué)模擬)滿足下列條件的函數(shù)f(x)中，f(x)為偶函數(shù)的是()Af(ex)|x|Bf(ex)e2xCf(lnx)lnx2Df(lnx)x答案D解析ex0，f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，f(x)無奇偶性，A，B錯誤；令lnxt，則xet，而f(lnx)lnx2，即f(t)2t，f(x)2x顯然不是偶函數(shù)，C錯誤；而f(lnx)x，則f(t)et，即f(x)ex，此時f(x)exexf(x)，f(x)ex是偶函數(shù)，D正確，故選D.(3)(2019紹興模擬)設(shè)f(x)的定義域是R，則下列命題中不正確的是()A若f(x)是奇函數(shù)，則f(f(x)也是奇函數(shù)B若f(x)是周期函數(shù)，則f(f(x)也是周期函數(shù)C若f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，則f(f(x)也是單調(diào)遞減函數(shù)D若方程f(x)x有實根，則方程f(f(x)x也有實根答案C解析若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)，所以f(f(x)f(f(x)f(f(x)，所以f(f(x)也是奇函數(shù)，所以A正確；若T是f(x)的周期，則f(xT)f(x)，所以f(f(xT)f(f(x)，所以f(f(x)也是周期函數(shù)，所以B正確；若f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，則不妨取f(x)x，則f(f(x)f(x)x是單調(diào)遞增函數(shù)，所以C錯誤；設(shè)x0是方程f(x)x的實根，則f(x0)x0，則f(f(x0)f(x0)x0，即x0是方程f(f(x)x的實根，所以D正確故選C.二、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例2(1)(2018全國)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)等于()A50B0C2D50答案C解析f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)由f(x)為奇函數(shù)且定義域為R得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.故選C.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2，2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0恒成立y1，令y0得ax2(x1)，a1.又由當(dāng)x1時，y12020a0，得a2021.a的取值范圍是1,2021)1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cosx答案B解析函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，符合題意2已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2xm，則f(2)等于()A3BC.D3答案A解析由f(x)為R上的奇函數(shù)，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，則f(2)f(2)(221)3.3(2019金華調(diào)研)已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.ABCD答案D解析由奇函數(shù)的定義f(x)f(x)驗證，f(|x|)f(|x|)，為偶函數(shù)；f(x)f(x)f(x)，為奇函數(shù)；xf(x)xf(x)xf(x)，為偶函數(shù)；f(x)(x)f(x)x，為奇函數(shù)可知正確，故選D.4已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，且當(dāng)x時，f(x)log2(3x1)，則f(2021)等于()A4B2C2Dlog27答案C解析函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，f(2021)f(45051)f(1)f(1)1，且當(dāng)x時，f(x)log2(3x1)，f(1)log23(1)12，f(2021)f(1)2.5(2018浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟期初聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞減，若實數(shù)a滿足f(log3a)f(a)2f(1)，則a的取值范圍是()A(0,3 B.C.D1,3答案C解析函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞減，故f(x)在(，0上單調(diào)遞增因為f(log3a)f(a)2f(1)，所以f(log3a)f(log3a)2f(log3a)2f(1)，即f(log3a)f(1)f(1)，所以1log3a1，解得a3，故選C.6已知偶函數(shù)f(x)對于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞增的，則f(6.5)，f(1)，f(0)的大小關(guān)系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案A解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函數(shù)f(x)的周期是2.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)7如果函數(shù)f(x)x2sinxa的圖象過點(，1)且f(t)2，那么a_，f(t)_.答案10解析由已知得f()2sinaa1，所以a1，所以f(x)x2sinx1，而f(t)t2sint12，所以t2sint1，所以f(t)(t)2sin(t)1t2sint1110.8若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a_，f(g(2)_.答案025解析由題意，得af(0)0.設(shè)x0，則x0，f(x)x22x1f(x)，g(2x)x22x1，g(2)4，f(g(2)f(4)168125.9已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時，f(x)4x，則ff(1)_.答案2解析函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且周期為2，f(2)f(0)0，f(1)f(1)f(12)f(1)，f(1)0，fff2，ff(1)2.10(2018寧波十校聯(lián)考)定義：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值與最小值之差為函數(shù)f(x)的極差若定義在區(qū)間2b,3b1上的函數(shù)f(x)x3ax2(b2)x是奇函數(shù)，則ab_，函數(shù)f(x)的極差為_答案14解析由f(x)在2b,3b1上為奇函數(shù)，所以區(qū)間關(guān)于原點對稱，故2b3b10，b1，又由f(x)f(x)0可求得a0，所以ab1.又f(x)x33x，f(x)3x23，易知f(x)在(2，1)，(1,2)上單調(diào)遞增，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，所以在2,2上的最大值、最小值分別為f(1)f(2)2，f(1)f(2)2，所以極差為4.11設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時，求f(x)的解析式(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,412設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1x)f(1x)，當(dāng)1x0時，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的表達式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)又f(x)的定義域為R，f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)x0,1時，x1,0，則f(x)f(x)x；從而當(dāng)1x2時，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)13(2018浙江杭州四中期中)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，設(shè)h(x)|f(x1)|g(x1)，則下列結(jié)論中正確的是()Ah(x)關(guān)于(1,0)對稱Bh(x)關(guān)于(1,0)對稱Ch(x)關(guān)于x1對