平面的法向量與平面的向量表.ppt

3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示,一、復(fù)習(xí)引入,1.直線(xiàn)與平面垂直的定義、判定和性質(zhì),定義：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，那么稱(chēng)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。,判定：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直。,性質(zhì)： (1)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。 (2)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。,二、概念形成,概念1.平面的法向量,已知平面 ，如果向量 的基線(xiàn)與平面 垂直，則 叫做平面 的法向量或說(shuō)向量 與平面 正交。,由平面的法向量的定義可知，平面 的法向量有無(wú)窮多個(gè)，法向量一定垂直于與平面 共面的所有向量。,由于垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行，所以，一個(gè)平面的所有法向量都是平行的。,模為1的法向量，叫做單位法向量，記作 顯然,二、概念形成,概念2.直線(xiàn)與平面垂直的判定定理的向量證明,直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：,如果一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面。,已知： 是平面 內(nèi)的兩條相交的直線(xiàn)，且 求證：,正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求平面ADB1的一個(gè)法向量。,二、概念形成,概念1.平面的法向量,例子：,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,一個(gè)平面的法向量不只一個(gè)，但它們都是平行(或共線(xiàn))的，我們借助于待定系數(shù)法可求出平面的一個(gè)法向量。,待定系數(shù)法,例題,例1：已知點(diǎn) ， ， ，其中 求平面 的一個(gè)法向量。,二、概念形成,概念3.平面的向量表示,空間直線(xiàn)可以用向量來(lái)表示，對(duì)于空間的平面也可以用向量來(lái)刻畫(huà)。,設(shè)A是空間任意一點(diǎn)， 為空間任意一個(gè)非零向量，適合條件 的點(diǎn) M 的集合構(gòu)成什么樣的圖形？,我們可以通過(guò)空間一點(diǎn)和一個(gè)非零向量確定唯一的一個(gè)與該向量垂直的平面。,稱(chēng)此為平面的向量表達(dá)式。,二、概念形成,概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直,設(shè) 分別是平面 的法向量，則有,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)。求證：平面DEA平面A1FD1 。,二、概念形成,概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直,例子,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,利用法向量證明兩個(gè)平面垂直的基本思路是證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直。,射影：已知平面 和一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作 的垂線(xiàn) 與 交于點(diǎn) ，則 就是點(diǎn)A在平面 內(nèi)的正射影，也可簡(jiǎn)稱(chēng)射影。,二、概念形成,概念5.用法向量證明“三垂線(xiàn)定理”,預(yù)備知識(shí)：,斜線(xiàn)在平面上的正射影：設(shè)直線(xiàn) 與平面 交于點(diǎn)B，但不和 垂直，那么直線(xiàn) 叫做這個(gè)平面的斜線(xiàn)。斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)B叫做斜足。,斜線(xiàn)在平面上的正射影：在直線(xiàn) 上任取一點(diǎn)A，作A點(diǎn)在平面 內(nèi)的射影 ，則平面內(nèi)直線(xiàn) 叫做斜線(xiàn) 在該平面內(nèi)的射影。,已知 是平面 的斜線(xiàn)， 是 在平面 內(nèi)的射影,直線(xiàn) 且,二、概念形成,概念5.用法向量證明“三垂線(xiàn)定理”,三垂線(xiàn)定理：,如果在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線(xiàn)垂直。,求證：,證明：,如圖,已知:,求證：,在直線(xiàn)l上取向量 ,只要證,為,逆定理,(2)三垂線(xiàn)定理： 如果在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的 垂直，則它也和這條斜線(xiàn)垂直 (3)三垂線(xiàn)定理的逆定理： 如果平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，則它也和這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的 垂直,射影,射影,例題分析：,1、判定下列命題是否正確,(1)若a是平面的斜線(xiàn)、直線(xiàn)b垂直于a在平面 內(nèi)的射影，則ab。 ( ),(2)若a是平面的斜線(xiàn)，b是平面內(nèi)的直線(xiàn)， 且b垂直于a在內(nèi)的射影，則ab。 ( ),三垂線(xiàn)定理,關(guān)于三垂線(xiàn)定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)及垂線(xiàn)。至于射影則是由垂足、斜足來(lái)確定的。,第一、定平面(基準(zhǔn)面) 第二、找平面垂線(xiàn)（電線(xiàn)桿）,第三、看斜線(xiàn)，射影可見(jiàn),三垂線(xiàn)定理,第四、證明直線(xiàn)a垂直于射影線(xiàn)，從而得出a與b垂直。,強(qiáng)調(diào)：1四線(xiàn)是相對(duì)同一個(gè)平面而言。,2定理的關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”和“電線(xiàn)桿”。,例3 在正方體ABCDA1B1C1D1 中，求證：A1C是平面BDC1的法向量,思路點(diǎn)撥 根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線(xiàn)定理證明BDA1C，C1DA1C.,精解詳析 在正方體中，AA1 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 內(nèi)的射影，又ACBD，所以BDA1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1內(nèi)的射影 所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1.,1正三棱錐PABC中，求證：BCPA.,證明：在正三棱錐PABC中，P在底 面ABC內(nèi)的射影O為正三角形ABC的 中心，連接AO，則AO是PA在底面A BC內(nèi)的射影，且BCAO，所以BC PA.,小結(jié),1.直線(xiàn)與平面垂直的定義,2. 平面的法向量：,3. 平面的向量表示：,4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件,6.有關(guān)平面的斜線(xiàn)概念， 三垂線(xiàn)定理及其逆定理,再見(jiàn),例. 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面 經(jīng)過(guò) 點(diǎn) ，平面 的法向量為 ， 為平面 內(nèi)任意一點(diǎn)，求 滿(mǎn)足的關(guān)系式。,解：由題意可得,答：aPO,三垂線(xiàn)定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的 一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。,為什么呢？,三垂線(xiàn)定理,數(shù)式板書(shū),例1 已知點(diǎn)A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一個(gè)法向量,思路點(diǎn)撥,平行與垂直關(guān)系的向量表示,（1）平行關(guān)系,設(shè)直線(xiàn)l，m的方向向量分別為 ， ，平面 ， 的法向量分別為 ，,線(xiàn)線(xiàn)平行,線(xiàn)面平行,面面平行,新知探究,（2）垂直關(guān)系,設(shè)直線(xiàn)l，m的方向向量分別為 ， ，平面 ， 的法向量分別為 ，,線(xiàn)線(xiàn)垂直,線(xiàn)面垂直,面面垂直,（3）用向量處理平行問(wèn)題 用向量處理垂直問(wèn)題,三、應(yīng)用舉例,利用法向量證明兩個(gè)平面平行的基本思路是證明兩個(gè)平面的法向量平行(或共線(xiàn))。,三、應(yīng)用舉例,例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，