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第 2 章 點(diǎn)、直線、平面的投影, 2.1 投影法及其分類, 2.2 點(diǎn)的投影, 2.3 直線的投影, 2.4 平面的投影, 2.5 直線與平面及兩平面的 相對(duì)位置, 本章小結(jié),結(jié)束放映,平行投影法,中心投影法,2.1 投影法及其分類,投影法,投射線,物體,投影面,投影,投射線通過(guò)物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法投影法。,投射中心,斜投影法,正投影法,中心投影法,投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。 度量性較差。,投 影 特 性,物體位置改變，投影大小也改變。,平 行 投 影 法,投 影 特 性,投影大小與物體和投影面之間的距離無(wú)關(guān)。 度量性較好。,工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,畫(huà)透視圖,畫(huà)斜軸測(cè)圖,畫(huà)工程圖樣及正軸測(cè)圖,結(jié)束？,繼續(xù)？,采用多面投影。,過(guò)空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。,點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。,一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影,a,2.2 點(diǎn)的投影,二、點(diǎn)的三面投影,投影面,正面投影面（簡(jiǎn)稱正 面或V面）,水平投影面（簡(jiǎn)稱水 平面或H面）,側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè) 面或W面）,投影軸,OX軸 V面與H面的交線,OZ軸 V面與W面的交線,OY軸 H面與W面的交線,三個(gè)投影面互相垂直,空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影,注意： 空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不動(dòng),投影面展開(kāi),X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,點(diǎn)的投影規(guī)律:, aaOX軸, aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ軸,=y,=Aa（A到V面的距離）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距離）,aay,=z,=Aa （A到H面的距離）,aaz,例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通過(guò)作45線使aaz=aax,解法二:,用圓規(guī)直接量取aaz=aax,三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置,兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,判斷方法：, x 坐標(biāo)大的在左, y 坐標(biāo)大的在前, z 坐標(biāo)大的在上,B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,( ),a c,c,重影點(diǎn)：,空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。,a,a,c,被擋住的投影加( ),A、C為H面的重影點(diǎn),結(jié)束？,繼續(xù)？,2.3 直線的投影,兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。, 直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性,一、直線的投影特性,直線垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn) 積 聚 性,直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長(zhǎng) ab=AB,直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 ab=AB.cos, 直線在三個(gè)投影面中的投影特性,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置, 投影面平行線,X,Z,水平線,實(shí)長(zhǎng), 在其平行的那個(gè)投影 面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)， 并反映直線與另兩投 影面傾角的實(shí)大。, 另兩個(gè)投影面上的投 影平行于相應(yīng)的投影 軸，其到相應(yīng)投影軸 距離反映直線與它所 平行的投影面之間的 距離。,投影特性：,判斷下列直線是什么位置的直線？,側(cè)平線,正平線,與H面的夾角: 與V面的角: 與W面的夾角:,實(shí)長(zhǎng),實(shí)長(zhǎng),直線與投影面夾角的表示法：,反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。, 投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線, 另外兩個(gè)投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有積聚性。,投影特性:, 一般位置直線,三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)投影的長(zhǎng)度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)。,投影特性,二、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置,若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。,點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb,定比定理,例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。,在,不在,a,b,不在,應(yīng)用定比定理,例2：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。,解法一： （應(yīng)用第三投影）,解法二： （應(yīng)用定比定理）,a,b,三、兩直線的相對(duì)位置,空間兩直線的相對(duì)位置分為： 平行、相交、交叉（異面）。, 兩直線平行,空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例：判斷圖中兩條直線是否平行。,對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB與CD平行。,AB與CD不平行。,對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。, 兩直線相交,若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。,交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn),a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,c,d,k,k,d,例1：過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,例2：判斷直線AB、CD的相對(duì)位置。,c,d,a,b,c,d,相交嗎？,不相交！,為什么？,交點(diǎn)不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影特性。,判斷方法？, 應(yīng)用定比定理, 利用側(cè)面投影, 兩直線交叉,為什么？,兩直線相交嗎？,不相交！,交點(diǎn)不符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律！,1(2),投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一個(gè) 點(diǎn)的投影規(guī)律。, “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其 可幫助判斷兩直線的空間位置。,結(jié)束？,繼續(xù)？,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),直線及線外一點(diǎn),兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,二、平面的投影特性,實(shí)形性,類似性,積聚性, 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性, 平面在三投影面體系中的投影特性,平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面,平行于某一投影面， 垂直于另兩個(gè)投影面,與三個(gè)投影面都傾斜,c,c, 投影面垂直面,為什么？,a,b,c,a,b,b,a,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。, 投影面平行面,積聚性,積聚性,實(shí)形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。,另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。, 一般位置平面,三個(gè)投影都類似。,投影特性：,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC與H面的夾角為45，已知其水平投影 及頂點(diǎn)B的正面投影，求ABC的正面投影及側(cè)面 投影。,思考：此題有幾個(gè)解？,三、平面上的直線和點(diǎn),位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：, 平面上取任意直線,若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。,若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。,d,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在 平面內(nèi)任作一條直線。,解法一:,解法二:,有無(wú)數(shù)解！,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距離為10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解！, 平面上取點(diǎn),先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。,例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,面上取點(diǎn)的方法：,利用平面的積聚性求解,通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解,首先面上取線,d,d,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例2：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。,解法一:,解法二:,d,e,例3：在ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，并使其到H面V面的 距離均為10mm。,結(jié)束？,繼續(xù)？,2.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置,相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。,一、平行問(wèn)題,直線與平面平行,平面與平面平行, 直線與平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。,有無(wú)數(shù)解,d,d,正平線,例2：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d, 兩平面平行,若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。,例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行, 已知ABCDEFMH,直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。,二、相交問(wèn)題, 直線與平面相交,要討論的問(wèn)題：, 求直線與平面的交點(diǎn)。, 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可 見(jiàn)性。,我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。,例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性。,空間及投影分析,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。,求交點(diǎn),判別可見(jiàn)性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見(jiàn)。,還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。,作圖,用線上取點(diǎn)法,1(2),1(2),k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直線為特殊位置,空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。, 求交點(diǎn), 判別可見(jiàn)性,點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于MN上，在后。故k2為不可見(jiàn)。,作圖,用面上取點(diǎn)法, 兩平面相交,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。,要討論的問(wèn)題：, 求兩平面的交線,方法：, 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。, 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。,只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。, 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見(jiàn)性。,可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。,a,b,c,d,e,f,c,f,d ,b,e,a,m(n),空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。, 求交線, 判別可見(jiàn)性,作圖,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。,能!,如何判別？,例：求兩平面的交線 MN并判別可見(jiàn)性。,O,X,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例：求兩平面的交線 MN并判別可見(jiàn)性。, 求交線, 判別可見(jiàn)性,作圖,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。,空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。,O,X,空間及投影分析,平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m 、n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。, 求交線, 判別可見(jiàn)性,點(diǎn)在MC上，點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在前，點(diǎn)在后，故mc 可見(jiàn)。,作圖,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空間及投影分析,平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m 、n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。, 求交線, 判別可見(jiàn)性,點(diǎn)在MC上, 點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在前，點(diǎn)在后，故mc 可見(jiàn)。,作圖,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N點(diǎn)的水平投影n位于def 的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。,互交,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,互交,投影分析,N點(diǎn)的水平投影n位于def 的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。,結(jié)束？,繼續(xù)？, 小 結(jié) , 點(diǎn)、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直 線與平面的投影特性。,重點(diǎn)掌握：, 點(diǎn)、直線、平面的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。,一、直線上的點(diǎn), 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。, 點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比定比定理。, 判斷方法,二、兩直線的相對(duì)位置, 平行,同名投影互相平行。,對(duì)于一般位置直線，只 要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。, 相交, 交叉（異面）,同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。,同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。,三、點(diǎn)與平面的相對(duì)位置,面上取點(diǎn)的方法,利用平面的積聚性求解,通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解,四、直線與平面的相對(duì)位置, 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。, 直線與平面相交, 投影面垂直線與一般位置平 面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共有 性和直線的積