高等數學方明亮31微分中值定理.ppt

2019年6月29日星期六,1,高等數學多媒體課件,牛頓（Newton）,萊布尼茲（Leibniz）,2019年6月29日星期六,2,第三章 微分中值定理與導數的應用,第三節(jié) 洛必達法則,第二節(jié) 泰勒 ( Taylor )公式,第四節(jié) 函數的單調性與曲線的凹凸性,第五節(jié) 函數的極值與最大值、最小值,第一節(jié) 微分中值定理,第六節(jié) 函數圖形的描繪,第七節(jié) 曲率,2019年6月29日星期六,3,第一節(jié) 微分中值定理,第三章,二、微分中值定理,一、函數的極值,三、小結與思考題,（The Mean Value Theorem）,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2019年6月29日星期六,4,一、函數的極值（Extremums of Function）,2019年6月29日星期六,5,注意：函數的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別函數的極值是對一點的鄰域來說的，是局部性概念；而最值（最大值、最小值的簡稱）是整體性概念,2019年6月29日星期六,6,費馬引理（Fermat Lemma）,且,存在,證: 設,則,證畢,2019年6月29日星期六,7,二、微分中值定理,1. 羅爾（Rolle）定理,滿足:,(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù),(2) 在區(qū)間 (a , b) 內可導,(3) f ( a ) = f ( b ),使,證:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,2019年6月29日星期六,8,若 M = m , 則,因此,若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等,不妨設,則至少存在一點,使,則由費馬引理得,注意:,定理條件條件不全具備, 結論不一定成立.,例如,2019年6月29日星期六,9,提示：,2019年6月29日星期六,10,有且僅有一個小于1 的,正實根 .,證: 1) 存在性 .,則,在 0 , 1 連續(xù) ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假設另有,為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,至少存在一點,但,矛盾,故假設不真!,設,例2 證明方程,（補充題）,2019年6月29日星期六,11,2. 拉格朗日（Lagrange）中值定理,(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù),滿足:,(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內可導,至少存在一點,使,思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數,作輔助函數,顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a , b ) 內可導,且,證:,問題轉化為證,由羅爾定理知至少存在一點,即定理結論成立 .,證畢,2019年6月29日星期六,12,推論:,若函數,在區(qū)間 I 上滿足,則,在 I 上必為常數.,證: 在 I 上任取兩點,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上為常數 .,令,則,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,2019年6月29日星期六,13,證: 設,由推論可知,(常數),令 x = 0 , 得,又,故所證等式在定義域 上成立.,自證:,經驗:,欲證,時,只需證在 I 上,例3 證明等式,2019年6月29日星期六,14,證: 設,中值定理條件,即,因為,故,因此應有,例4 證明不等式,2019年6月29日星期六,15,3、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù),(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內可導,(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內,至少存在一點,使,滿足 :,要證,2019年6月29日星期六,16,且,使,即,由羅爾定理知, 至少存在一點,思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?,兩個 不 一定相同,錯!,上面兩式相比即得結論.,證: 作輔助函數,2019年6月29日星期六,17,解題思路：,2019年6月29日星期六,18,內容小結,1. 微分中值定理的條件、結論及關系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的應用,(1) 證明恒等式,(2) 證明不等式,(3) 證明有關中值問題的結論,關鍵: 利用逆向思維 設輔助函數,費馬引理,2019年6月29日星期六,19,課后練習,習題3-1 3；5；7；8；12；14,思考與練習,1. 填空題,1) 函數,在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理,條件, 則中值,2) 設,有,個根 , 它們分別在區(qū)間,上.,方程,2019年6月29日星期六,20,且在,內可導, 證明至少存,在一點,使,提示:,由結論可知, 只需證,即,驗證,在,上滿足羅爾定理條件.,設,2. 設,2019年6月29日星期六,21,可導, 試證在其兩個零點間一定有,的零點.,提示:,設,欲證:,使,只要證,亦即,作輔助函數,驗證,在,上滿足,羅爾定理條件.,3. 若,2019年6月29日星期六,22,使,證:,法1 用柯西中值定理 .,則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理條件,令,因此,即,分析:,4. 試證至少存在一點,2019年6月29日星期六,23,使,法2 令,則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理條件,使,因此存在,4. 試證至少存在一點,2019年6月29日星期六,24,使,法3 令,則 f (x) 在 1 , e 上滿足零點定理條件,由于,4. 試證至少存在一點,故由零點定理即證！,2019年6月29日星期六,25,考研真題,提示：,2019年6月29日星期六,26,法國數學家,他是一位律師,數學,只是他的業(yè)余愛好.,他興趣廣泛,博,覽群書并善于思考,在數學上有許多,重大貢獻.,他特別愛好數論,他提出,的費馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學的先驅 ,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來的.,費馬(1601 1665),2019年6月29日星期六,27,法國數學家.,他在方程論, 解析函數論,及數論方面都作出了重要的貢獻,近百,余年來, 數學中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,他是對分析數學,產生全面影響的數學家之一.,拉格朗日 (1736 1813),2019年6月29日星期六,28,法國數學家,他對數學的貢獻主要集中,在微積分學,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學,校