2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用22.2最大值、最小值問題教案（含解析）北師大版.docx

22最大值、最小值問題1問題：如何確定你班哪位同學(xué)最高？提示：方法很多，可首先確定每個(gè)學(xué)習(xí)小組中最高的同學(xué)，再比較每組的最高的同學(xué)，便可確定班中最高的同學(xué)2如圖為yf(x)，xa，b的圖像問題1：試說明yf(x)的極值提示：f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值問題2：你能說出yf(x)，xa，b的最值嗎？提示：函數(shù)的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函數(shù)的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的問題3：根據(jù)問題2回答函數(shù)yf(x)，xa，b的最值可能在哪些點(diǎn)取得提示：在極值點(diǎn)或端點(diǎn)中1最值點(diǎn)(1)最大值點(diǎn)：函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最大值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都不超過f(x0)(2)最小值點(diǎn)：函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最小值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都不小于f(x0)2最值函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值(1)一般地，連續(xù)函數(shù)f(x)在a，b上有最大值與最小值(2)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大、最小值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大、最小值(3)函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最大(小)值最多只能有一個(gè)求函數(shù)的最值例1(1)求函數(shù)f(x)x3x22x5在區(qū)間2,2上的最大值與最小值；(2)求函數(shù)f(x)xsin x在區(qū)間0,2上的最大值與最小值思路點(diǎn)撥先利用導(dǎo)數(shù)求極值，然后與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較得最值精解詳析(1)因?yàn)閒(x)x3x22x5，所以f(x)3x2x2.令f(x)0，解得x1，x21.因?yàn)閒，f(1)，f(2)1，f(2)7，所以函數(shù)f(x)在2,2上的最大值是7，最小值是1.(2)因?yàn)閒(x)xsin x，所以f(x)cos x，令f(x)0，解得x1，x2.因?yàn)閒(0)0，f，f，f(2)，所以函數(shù)f(x)在0,2上的最大值是，最小值是0.一點(diǎn)通求函數(shù)最值的4個(gè)步驟注意求函數(shù)最值時(shí)不要忽視將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較1函數(shù)f(x)x33x26x10在區(qū)間1,1上的最大值為_解析：因?yàn)閒(x)3x26x63(x1)230，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(1)6.答案：62求函數(shù)f(x)sin 2xx在上的最大值和最小值解：f(x)2cos 2x1.令f(x)0，x，解得x或x.而f，f，f，f，所以函數(shù)f(x)的最大值為，最小值為.3已知函數(shù)f(x)ln x，求f(x)在上的最大值和最小值解：易知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ln x1ln x，f(x).令f(x)0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)在上的變化情況如下表：x1(1,2)2f(x)0f(x)1ln 20ln 2在上，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極小值，也是最小值，且f(1)0.又f1ln 2，f(2)ln 2，ff(2)2ln 2(34ln 2)ln 0，ff(2)，f(x)在上的最大值為f1ln 2，最小值為f(1)0.已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值例2已知函數(shù)f(x)ax36ax2b，是否存在實(shí)數(shù)a，b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由思路點(diǎn)撥利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值精解詳析顯然a0，f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，解得x10，x24(舍去)當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況見下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab最大值16ab當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大值b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)，當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，即16a329，即a2.當(dāng)af(1)，當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值，即16a293，即a2.綜上所述，a2，b3或a2，b29.一點(diǎn)通由函數(shù)的最值來確定參數(shù)的問題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的逆向運(yùn)用，解題時(shí)一般采用待定系數(shù)法，列出含參數(shù)的方程或方程組，從而得出參數(shù)的值，這也是方程思想的應(yīng)用4如果函數(shù)f(x)x3x2a在1,1上的最大值是2，那么f(x)在1,1上的最小值是_解析：f(x)3x23x3x(x1)，令f(x)0，得x0或x1.當(dāng)1x0，則f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，a0)在x3時(shí)取得最小值，求a的值解：由題意知f(x)4.又x0，a0，令f(x)0，得x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值，則3，解得a36.6設(shè)函數(shù)f(x)ln xln(2x)ax(a0)(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1上的最大值為，求a的值解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)，f(x)a.(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)(2)當(dāng)x(0,1時(shí)，f(x)a0，即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a，因此a.生活中的優(yōu)化問題例3某種商品每件的成本為9元，當(dāng)售價(jià)為30元時(shí)，每星期可賣出432件如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期可多賣出24件(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？精解詳析(1)設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)星期里的獲利為f(x)，則有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知條件，24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根據(jù)(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)令f(x)0，即18(x2)(x12)0，得x12，x212.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072極小值極大值0因?yàn)閒(0)9 0720)要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)為()A. B.C.d D.d解析：選C設(shè)斷面高為h，則h2d2x2.設(shè)橫梁的強(qiáng)度函數(shù)為f(x)，則f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去負(fù)值)當(dāng)0x0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)dxd時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)在定義域(0，d)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)xd.所以xd時(shí)，f(x)有最大值，故選C.5設(shè)x0是函數(shù)f(x)(exex)的最小值點(diǎn)，則曲線上點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程是_解析：f(x)(exex)，令f(x)0，x0，可知x00為最小值點(diǎn)切點(diǎn)為(0,1)，f(0)0為切線斜率，切線方程為y1.答案：y16若函數(shù)f(x)x33xa在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為m，n，則mn_.解析：f(x)3x23，當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0.f(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,3上單調(diào)遞增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：207已知k為實(shí)數(shù)，f(x)(x24)(xk)(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(2)若x1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在區(qū)間2，2上的最大值和最小值解：(1)f(x)x3kx24x4k，f(x)3x22kx4.(2)由f(1)0，得k.f(x)x3x24x2，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x1或x.又f(2)0，f(1)，f，f(2)0，f(x)在區(qū)間2,2上的最大值為，最小值為.8請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx(cm)(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問：x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問：x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值解：設(shè)包裝盒的高為h