浙江專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第8節(jié)函數(shù)與方程習(xí)題含解析.docx

第8節(jié)函數(shù)與方程考試要求1.了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；2.掌握連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法.知 識(shí) 梳 理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn).(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)滿足：在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210常用結(jié)論與易錯(cuò)提醒1.不滿足零點(diǎn)存在性定理也可能有零點(diǎn)(如不變號(hào)零點(diǎn)).2.由函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)f(b)0，如圖所示.所以f(a)f(b)0是圖象連續(xù)的函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)f(b)0函數(shù)f(x)在a，b上只有一個(gè)零點(diǎn).基 礎(chǔ) 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)函數(shù)f(x)lg x的零點(diǎn)是(1，0).()(2)圖象連續(xù)的函數(shù)yf(x)(xD)在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)0.()(3)若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn).()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零點(diǎn)是1，故(1)錯(cuò).(2)f(a)f(b)0是連續(xù)函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件，故(2)錯(cuò).答案(1)(2)(3)(4)2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析由函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B，C，又選項(xiàng)D中函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，排除D，ycos x為偶函數(shù)且有零點(diǎn).答案A3.(必修1P88例1改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析由f(x)ex30，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(1)30，因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).答案B4.(2019北京東城區(qū)一模)函數(shù)f(x)2x的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A. B. C. D.解析f(x)的圖象在(0，)上連續(xù)，又f(x)在(0，)上遞減，且f(1)20，f20.選C.答案C5.函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1，1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1，1)上是單調(diào)函數(shù)，所以若f(x)在區(qū)間(1，1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則滿足f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得a1.答案6.(2019金華模擬)已知f(x)則f(f(2)_；函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi).解析根據(jù)題意得：f(2)(2)24，則f(f(2)f(4)24216214；令f(x)0，得到2x20(x0)，解得：x1，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.答案141考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷【例1】 (1)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，)內(nèi) D.(，a)和(c，)內(nèi)(2)(一題多解)設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)；因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.(2)法一函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范圍.作圖如下：可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2).法二易知f(x)ln xx2在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)1210.所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間(1，2)內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn).答案(1)A(2)B規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.【訓(xùn)練1】 已知函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)為x0，則x0所在的區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析f(x)ln x在(0，)上是增函數(shù)，又f(1)ln 1ln 120，f(2)ln 2ln 210.故f(x)的零點(diǎn)x0(2，3).答案C考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)(或方程根)個(gè)數(shù)的判斷【例2】 (1)(2019鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)則方程f(f(x)20的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.6(2)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).解析(1)令tf(x)，則方程f(f(x)20等價(jià)于f(t)2t0.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)yf(x)與直線y2x的圖象，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，且f(t)2t0的兩根分別為t10和1t22.當(dāng)t1f(x)0時(shí)，解得x2；當(dāng)t2f(x)(1，2)時(shí)，方程f(x)t2有3個(gè)不等實(shí)根.綜上所述，方程f(f(x)20的實(shí)根個(gè)數(shù)為4，故選B.(2)令f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|.設(shè)g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象(如圖).由圖象知，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).答案(1)B(2)2規(guī)律方法函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0時(shí)，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù).又因?yàn)閒(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)ysin 2x與函數(shù)yx2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).答案(1)2(2)2考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【例3】 (1)(2019紹興調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)4xa1有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合是_.(2)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上f(x)x，若關(guān)于x的方程f(x)logax有三個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍為_(kāi).解析(1)設(shè)t，則x1，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)|ta|a3有兩個(gè)零點(diǎn)，即曲線y|ta|a與y3有兩個(gè)公共點(diǎn).注意到曲線y|ta|a的頂點(diǎn)(a，a)在直線yt上運(yùn)動(dòng)，直線yt與y3有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，則當(dāng)y|ta|a的頂點(diǎn)(a，a)在A(4，4)時(shí)，有a4；當(dāng)ta且yt2a與y3相切時(shí)，有t2(32a)t40有兩個(gè)相等實(shí)根，由(32a)2160得a或.綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為.(2)由f(x4)f(x)知，函數(shù)的周期T4.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)f(4x)，因此函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x2對(duì)稱.又f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三個(gè)不同的實(shí)根.由函數(shù)的圖象(如圖)，必須有即解得a0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是_.解析(1)當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x1有一個(gè)零點(diǎn)x.因此當(dāng)x0時(shí)，f(x)exa0只有一個(gè)實(shí)根，aex(x0)，則1am時(shí)，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)D(2)(3，)基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.函數(shù)f(x)3xx2的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，1) D.(1，0)解析由于f(1)0，f(1)f(0)1時(shí)，由f(x)1log2x0，解得x，又因?yàn)閤1，所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.答案D3.函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xa在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a1時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)f(x)xm有零點(diǎn).答案D7.(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)解析函數(shù)g(x)f(x)xa存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)xa有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線yxa有2個(gè)交點(diǎn).作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，a1，解得a1，故選C.答案C8.已知函數(shù)f(x)x2mxn2x，x|f(x)0x|f(f(x)0，則mn的取值范圍是()A.0，4) B.4，8C.4，2 D.(2，8解析設(shè)x1x|f(x)0x|f(f(x)0，則f(x1)f(f(x1)0，f(0)n0，f(x)x2mxx(xm)，f(f(x)f(x)f(x)m(x2mx)(x2mxm)，顯然f(x)0時(shí)，有f(f(x)0，f(x)0，x0或xm，又x|f(x)0x|f(f(x)0，當(dāng)m0時(shí)，f(x)x2，x|f(x)0x|f(f(x)00；當(dāng)m0時(shí)，x|f(x)0x|f(f(x)00，m，但要使f(x)0與f(f(x)0具有相同解，則方程x2mxm0無(wú)解，m24m0，解得0m4.綜上所述，0m4，0mn0)在區(qū)間1，2上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi).解析設(shè)f(x)a(xx1)(xx2)，1x10且2aa2.在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y2x與yx2的圖象，由圖可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為2，4.函數(shù)g(x)f(x)b有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)yf(x)與yb的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)yf(x)與yb的圖象，由圖可知，當(dāng)a在y軸的左方時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使得兩函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以要使函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0).答案2，4(，0)12.已知f(x)m|x|，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)；若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.解析函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即為方程m|x|0即|x|(x2)(x2)的實(shí)數(shù)根，令g(x)|x|(x2)其圖象如圖所示，當(dāng)m1時(shí)，g(x)圖象與y有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)01時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn).答案1(1，)13.(2019北京豐臺(tái)區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)kx(kR).(1)當(dāng)k1時(shí)，函數(shù)g(x)有_個(gè)零點(diǎn)；(2)若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是_.解析(1)當(dāng)k1，0x時(shí)，g(x)f(x)xxsin xx0，得sin x1，即x；x時(shí)，g(x)f(x)xx0，無(wú)解.綜上：當(dāng)k1時(shí)，函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；(2)g(x)f(x)kx當(dāng)0x1時(shí)，|f(x)|f(x)f(0)a1，函數(shù)y|f(x)|的圖象與直線yt無(wú)公共點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y|f(x)|的圖象與直線yt最多只有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)0a1時(shí)，如圖1所示，函數(shù)y|f(x)|的圖象與直線yt可能有四個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)1a0時(shí)，如圖2所示，存在t0，使函數(shù)y|f(x)|的圖象與直線yt有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)a1時(shí)，如圖3所示，存在實(shí)數(shù)t0，1，使函數(shù)y|f(x)|的圖象與直線yt有且僅有四個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1).答案(，1)能力提升題組15.設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)F(x)xf(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.4 B.5 C.6 D.7解析作出函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象如圖，當(dāng)xg(3)，兩函數(shù)的圖象在(2，4)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)；f(5)f(3)，g(5)，滿足f(5)g(5)，兩函數(shù)的圖象在(4，6)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)；f(7)f(5)，g(7)，滿足f(7)g(7)，兩函數(shù)的圖象在(6，8)內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)；f(9)f(7)，g(9)，滿足f(9)7時(shí)，恒有f(x)g(x)，兩函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn).綜上所述，兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，即函數(shù)F(x)xf(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè).答案C16.已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是()A.當(dāng)k0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B.無(wú)論k為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)k0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D.無(wú)論k為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)解析(1)當(dāng)x1時(shí)，ln x0，yf(f(x)1ln(ln x)1，此時(shí)有零點(diǎn)xe1；(2)當(dāng)0x1時(shí)，ln x0，yf(f(x)1kln x1.當(dāng)k0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；(3)當(dāng)x0，kx10時(shí)，yf(f(x)1k2xk1.當(dāng)k0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)x；當(dāng)k0時(shí)，k2xk1k(kx1)10，無(wú)零點(diǎn)；(4