（浙江專用）高考數(shù)學(xué)第八章平面解析幾何第八節(jié)拋物線教案（含解析）.docx

第八節(jié) 拋物線1拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；(3)定點(diǎn)不在定直線上2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y0x0焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0小題體驗(yàn)1(2018杭州七校聯(lián)考)拋物線C：yax2的準(zhǔn)線方程為y，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析：由題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線C的方程可化為x2y，由題意得，解得a1.答案：12焦點(diǎn)在直線2xy20上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案：y24x或x28y3(教材習(xí)題改編)拋物線y4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)；準(zhǔn)線方程為_(kāi)解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.答案：y1拋物線的定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)且與直線垂直的直線2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p易忽視，只有p0才能證明其幾何意義是焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離，否則無(wú)幾何意義3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式要注意，根據(jù)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程時(shí)，要注意標(biāo)準(zhǔn)形式的確定小題糾偏1平面內(nèi)到點(diǎn)(1,1)與到直線x2y30的距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線 D一條直線答案：D2拋物線8x2y0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析：由8x2y0，得x2y.2p，p，焦點(diǎn)為.答案：典例引領(lǐng)1(2019溫州十校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：yx2的焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，|AF|3，線段AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為4，則|BF|()A.B5C4 D3解析：選B拋物線C的方程可化為x24y，由線段AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為4，可得|AF|BF|8，又|AF|3，所以|BF|5.2已知M是拋物線x24y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x1)2(y5)21上，則|MA|MF|的最小值是()A4 B5C6 D7解析：選B依題意，由點(diǎn)M向拋物線x24y的準(zhǔn)線l：y1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|MF|MA|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|MM1|的最小值等于圓心C(1,5)到y(tǒng)1的距離再減去圓C的半徑，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5，故選B.由題悟法應(yīng)用拋物線定義的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x|或|PF|y|.即時(shí)應(yīng)用1如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B.C. D.解析：選A由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知其焦點(diǎn)F(1,0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.2已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.B2C. D3解析：選B由題可知l2：x1是拋物線y24x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，則動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，則動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l1：4x3y60的距離，所以最小值是2.鎖定考向拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)常見(jiàn)的命題角度有：(1)求拋物線方程；(2)拋物線的對(duì)稱性 題點(diǎn)全練角度一：求拋物線方程1(2019臺(tái)州重點(diǎn)校聯(lián)考)已知直線l過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是()Ay212xBy28xCy26x Dy24x解析：選B過(guò)A，B分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，由拋物線定義知|AF|AA1|，|BF|BB1|，則|AA1|BB1|28，解得p4，所以此拋物線的方程是y28x.角度二：拋物線的對(duì)稱性2已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)分別交于O，A，B三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為，則p()A1 B.C2 D3解析：選B雙曲線的漸近線方程為yx，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以 2，.由解得或由曲線的對(duì)稱性及AOB的面積得，2，解得p2，即p.通法在握求拋物線方程的3個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；(2)要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題演練沖關(guān)1(2019寧波質(zhì)檢)已知點(diǎn)M是拋物線C：y22px(p0)上一點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，MF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2)，則p的值為()A1 B2C3 D4解析：選D拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，設(shè)M，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知22，y1022，解得p4.2(2019麗水高三質(zhì)檢)過(guò)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線準(zhǔn)線交于M，且FM3FP，則|FP|()A. B.C. D.解析：選C設(shè)直線l的傾斜角為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)N，由拋物線定義知|PN|PF|.FM3FP，|FM|3|FP|，即|PM|2|PN|.在RtMNP中，cosMPN，PNx軸，cos ，由拋物線焦半徑的性質(zhì)可得|PF|，即|FP|.典例引領(lǐng)(2018長(zhǎng)興中學(xué)模擬)已知拋物線C1：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，P為C1上一點(diǎn)，|PF|4，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于3.(1)求拋物線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A，B為拋物線C1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得線段AB的中點(diǎn)D在直線yx上，P(0,2)為定點(diǎn)，求PAB面積的最大值解：(1)由題意，34，p2，所以拋物線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.(2)設(shè)直線AB：xtyb，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立方程消元化簡(jiǎn)得y24ty4b0，16t216b0.且y1y24t，x1x2t(y1y2)2b4t22b，所以D(2t2b,2t)，2t2b2t.由0得0t2.所以點(diǎn)P到直線AB的距離d，所以|AB|4，所以SABP|AB|d42|2t24t|.令m，則m(0,1，且SABP4m3.由函數(shù)單調(diào)性可知，(SABP)max4.由題悟法解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的2種常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式即時(shí)應(yīng)用如圖所示，已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)(1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y2上，求直線l的方程；(2)若線段|AB|20，求直線l的方程解：(1)由已知，得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直線l的方程是yx1.(2)設(shè)直線l的方程為xmy1，與拋物線方程聯(lián)立得消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24，16(m21)0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直線l的方程是x2y1，即x2y10.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2019湖州質(zhì)檢)已知拋物線y22px(p0)，點(diǎn)C(4,0)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若CAB的面積為24，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay24xBy24xCy28x Dy28x解析：選DABx軸，且AB過(guò)點(diǎn)F，AB是焦點(diǎn)弦，|AB|2p，SCAB2p24，解得p4或p12(舍去)，直線AB的方程為x2，以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x，故選D.2(2018江山質(zhì)檢)在拋物線y22px(p0)上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為()A. B1C2 D3解析：選C由拋物線的定義可知，45，解得p2.3(2018珠海模擬)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PAl，垂足為A，|PF|4，則直線AF的傾斜角等于()A. B.C. D.解析：選B由拋物線y24x知焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x1，由拋物線定義知|PA|PF|4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，所以kAF，所以直線AF的傾斜角為.4(2019寧波六校聯(lián)考)已知拋物線C：y22x，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為M，N兩點(diǎn)，則SMFN()A8 B2C4 D8解析：選B法一：由題意可得p，F(xiàn).不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，由拋物線定義可知|PF|PM|，|QF|QN|，設(shè)直線PQ的傾斜角為，則tan ，由拋物線焦半徑的性質(zhì)可知，|PF|2，|QF|，|MN|PQ|sin (|PF|QF|)sin4，SMFN|MN|p42.法二：由題意可得F，直線PQ的方程為yx，與拋物線方程y22x聯(lián)立，得22x，即3x25x0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，|PQ|x1x2p，直線PQ的斜率為，直線PQ的傾斜角為.|MN|PQ|sin 4，SMFN42.5已知點(diǎn)P在拋物線y24x上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與其到焦點(diǎn)的距離之比為，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，故，解得xP1，所以y4，所以|yP|2.答案：2二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2018臨海期初)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與直線y1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()Ay0 Bx2y21 Cx24y Dy24x 解析：選C設(shè)動(dòng)圓圓心M(x，y)，則|y1|，解得x24y.2(2018紹興二模)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線y(x1)與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)若AFmFB，則m的值為()A. B.C2 D3解析：選D直線方程為xy1，代入y24x可得y2y40，則yA2，yB，所以|yA|3|yB|，因?yàn)锳FmFB，所以m3.3(2018寧波十校聯(lián)考)已知拋物線x24y，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，若直線l的傾斜角為30，則的值等于()A3 B.C2 D. 解析：選A由題可得，F(xiàn)(0,1)，設(shè)l：yx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x，化簡(jiǎn)得3y210y30，解得y13，y2.由拋物線的定義可知3.4已知P為拋物線yx2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為點(diǎn)M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則|PA|PM|的最小值是()A8 B.C10 D.解析：選B依題意可知焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程為y，延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于點(diǎn)H(圖略)則|PF|PH|，|PM|PF|，|PM|PA|PF|PA|，即求|PF|PA|的最小值因?yàn)閨PF|PA|FA|，又|FA| 10.所以|PM|PA|10，故選B.5(2019嘉興六校聯(lián)考)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，且|MO|MF|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則OMMF()A B.C. D解析：選A設(shè)M(m，)，拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，因?yàn)閨MO|MF|，所以m22pm，m，由解得m，p2，所以M，F(xiàn)(1,0)，所以O(shè)M，MF，故OMMF2.6(2018寧波期初)已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)M在拋物線上，|MF|4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MFO_.解析：由題可得，p2，焦點(diǎn)在y軸正半軸，所以F(0,1)因?yàn)閨MF|4，所以M(2，3)所以tanMFOtan(MFO)，所以MFO.答案：7設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為_(kāi)解析：如圖，由題可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(y00)，則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時(shí)等號(hào)成立，所以直線OM的斜率的最大值為.答案：8(2018嵊州一模)設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C點(diǎn)，|BF|3，則BCF與ACF的面積之比_.解析：設(shè)點(diǎn)A在第一象限，B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為xmy.由y24x，得p2，因?yàn)閨BF|3x2x21，所以x22，則y4x2428，所以y22，由得y24my40，則y1y24，所以y1，由y4x1，得x1.過(guò)點(diǎn)A作AA垂直于準(zhǔn)線x1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)B作BB垂直于準(zhǔn)線x1，垂足為B，易知CBBCAA，所以.又|BB|BF|3，|AA|x11，所以.答案：9(2018杭州高三檢測(cè))如圖，過(guò)拋物線M：yx2上一點(diǎn)A(點(diǎn)A不與原點(diǎn)O重合)作拋物線M的切線AB交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是拋物線M上異于點(diǎn)A的點(diǎn)，設(shè)G為ABC的重心(三條中線的交點(diǎn))，直線CG交y軸于點(diǎn)D.(1)設(shè)A(x0，x)(x00)，求直線AB的方程；(2)求的值解：(1)因?yàn)閥2x，所以直線AB的斜率ky|xx02x0，所以直線AB的方程為yx2x0(xx0)，即y2x0xx.(2)由(1)得，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yBx，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)C(x1，y1)，G(x2，y2)，直線CG的方程為xmy.由得m2y2(mx01)y0.因?yàn)镚為ABC的重心，所以y13y2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y24y2，y1y23y.所以y，解得mx032.所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD，故46.10(2018臺(tái)州模擬)已知拋物線C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(1，1)，且F1F2OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求拋物線C2的方程；(2)過(guò)點(diǎn)O的直線交C1的下半部分于點(diǎn)M，交C2的左半部分于點(diǎn)N，求PMN面積的最小值解：(1)由題意知F1(1,0)，F(xiàn)2，則，F(xiàn)1F2OP，(1，1)10，p2，拋物線C2的方程為x24y.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)O的直線為ykx(k0)，聯(lián)立得M，聯(lián)立得N(4k,4k2)，從而|MN|，又點(diǎn)P到直線MN的距離d，故SPMN2，令tk(t2)，則SPMN2(t2)(t1)8，當(dāng)t2，即k1時(shí)，SPMN取得最小值即當(dāng)過(guò)點(diǎn)O的直線為yx時(shí)，PMN面積的最小值為8.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2018臺(tái)州高三模擬)已知拋物線x22py(p0)，點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A(0，p)(R)的動(dòng)直線l交拋物線于B，C兩點(diǎn)(1)求證：MBMC0，并求等號(hào)成立時(shí)實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)2時(shí)，設(shè)分別以O(shè)B，OC(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的兩圓相交于另一點(diǎn)D，求|DO|DA|的最大值解：(1)由題意知?jiǎng)又本€l的斜率存在，且過(guò)點(diǎn)A(0，p)，則可設(shè)動(dòng)直線l的方程為ykxp，代入x22py(p0)，消去y并整理得x22pkx2p20，4p2(k22)0，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1x22pk，x1x22p2，y1y2(kx1p)(kx2p)k2x1x2pk(x1x2)2p22p2，y1y2k(x1x2)2p2pk22p2p(k2)