【南京一輪復習】課時12向量的數量積和向量的應用

第12課時 向量的數量積和向量的應用【課前自主探究】考綱鏈接（1）理解平面向量數量積的含義及其物理意義.（2）掌握數量積的坐標表示，會進行平面向量數量積的運算；能利用數量積表示兩個向量夾角的余弦，會用數量積判斷兩個非零向量是否垂直.（3）了解向量是一種處理幾何、物理等問題的工具. 教材回歸基礎重現(xiàn)：1兩個向量的數量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則= 叫做與的數量積（或內積）,規(guī)定 2（1）向量的投影：cos= ，稱為向量在方向上的投影.（2）數量積的幾何意義： 等于 3向量的模與平方的關系： 4平面向量數量積的運算律：（1）交換律成立： （2）對實數的結合律成立： （3）分配律成立： 5兩個向量的數量積的坐標運算：（1）已知兩個向量，則=（2）向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =，則 叫做向量與的夾角cos= ,當且僅當兩個非零向量與同方向時，= ，當且僅當與反方向時= .（3）垂直：如果與的夾角為900，則稱與 ，記作 6向量方法解決實際問題的步驟：（1）建立實際問題與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的關系，將實際問題轉化為向量問題；（2）通過向量的運算，研究所給元素之間的關系，如夾角、距離、垂直、平行等問題；（3）把運算結果“翻譯”成實際問題基礎重現(xiàn)答案：1. cos 2（1）R （2）的長度與在方向上的投影的乘積34（1）（2）（3）5（1） （2）AOB=（）= 00 1800（3）垂直 思維升華：1下面的各式能否成立？ （1）；（2）；（3）=0=或=.2由于，能否說與的夾角為思維升華答案：1（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=2不能，與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題 基礎自測1若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是 （填序號）（a+b）+c=a+（b+c）；（a+b）c=ac+bc；m（a+b）=ma+mb；（ab）c=a（bc）答案： 解析：因為（ab）c=|a|b|cosc，而a（bc）=|b|c|cosa而c方向與a方向不一定同向.2（2010重慶文數）若向量a =（3，m），b =（2， 1），ab =0，則實數的值為 答案：6 解析：ab =，所以=6.3（2010湖南文數改編）若非零向量a，b，滿足|a|=|b|，（2a+b）b=0，則a與 b的夾角為 答案：1200 解析：由（2a+b）b=0，可得2ab =b=|b|=|a|b|，設a，b的夾角為，則，所以1200.4（2010重慶理數改編）已知向量a，b，滿足ab=0，|a|=1，|b|=2，則|2ab|= 答案： 解析：.5已知力F(3,5)，在力F的作用下發(fā)生的位移S(6,9)，則F所做的功為_ _ 答案：63 解析：WFS(3,5)(6,9)184563.【課堂師生共探】 經典例題題型一 對平面向量積定義的理解例1已知，當，與的夾角是60時，分別求.分析：兩個向量平面時夾角為或180，兩個向量垂直時夾角為90，直接利用數量積公式代入計算即可.解：當時，若與同向，則它們的夾角，cos036118；若與反向，則它們的夾角180，cos18036（-1）18；當時，它們的夾角90，；當與的夾角是60時，有cos60369.點評：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是0，180，因此，當/時，有0或180兩種可能，而兩個向量只要垂直其數量積一定為零.變式訓練1：已知平面上三點A、B、C滿足|=2，|=1，|=，則+的值等于_答案：4 解析：|2+|2=|2，ABC為直角三角形且C=90.+=|+0+|=4.變式訓練2：（2009陜西卷文）在中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足，則等于 答案： 解析：由知，為的重心，根據向量的加法，則=.題型二 與夾角有關的向量數量積問題例2已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角.分析：由兩組向量垂直可得到向量數量積與向量模之間的關系，再利用求夾角的表達求之即可.解：由已知條件，可得(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 兩式相減： 2ab = b2，代入或得：a2 = b2設a、b的夾角為q ，則cosq =，q = 60點評：根據向量數量積的計算公式知道，要求兩向量夾角，只要知道兩向量數量積和它們的模.解題過程中值得注意的是：由2ab = b2不能推出2a= b，前者是實數等式，后者是向量等式，向量運算中沒有除法.變式訓練1：（2009全國卷文）設非零向量、滿足，則、的夾角為 答案：120解析：由向量加法的平行四邊形法則，知、可構成菱形的兩條相鄰邊，且、為起點處的對角線長等于菱形的邊長.變式訓練2：已知|a|=，|b|=3，a和b的夾角為45，求當向量a+b與a+b的夾角為銳角時，的取值范圍.解析：a+b與a+b的夾角為銳角，則有（a+b）（a+b）0，即a2+（2+1）ab+b20.由|a|=，|b|=3，a和b的夾角為45，得2+（2+1）3+90，即32+11+30，解得或.又當a+b與a+b同向時，設a+b=k（a+b），則有，解得.所以的取值范圍或且.題型三 與向量模有關的問題例3 已知平面向量a，b，c滿足abc0，且a與b的夾角為135，c與b的夾角為120，|c|2，求|a|.分析：設出a，b的模，利用已知條件中的關系建立方程組來求.解：根據題意，設平面向量a，b，c的模分別為x，y，由abc0得acb，則abcbbb，又a與b的夾角為135，c與b的夾角為120，所以xyy2y2，故x1y，再由abc0得abc，兩邊平方得x2y22xycos 1354，將式代入得x.點評：求向量的模一般是先平方，利用向量的數量積來求；有時也可對已知向量之間的關系式兩邊同時點乘一個向量來達到數量化.變式訓練1：已知向量a、b的夾角為，|a|=2,|b|=1,則|a+b|a-b|= . 答案：.解析：.變式訓練2：設，則的最大值是 答案： 解析：，當時，的最大值是.題型四 向量的綜合運用例4 如圖，以原點和A (5, 2)為頂點作等腰直角ABO，使B = 90，求點B的坐標.分析：設出點B的坐標，表示出向量，利用及|=|列出方程組來求.解：設B點坐標(x, y)，則= (x, y)，= (x-5, y-2).，x(x-5)+ y(y-2)=0即：x2+y2-5x-2y = 0.又|=|，x2+y2=(x-5)2 +(y-2)2即：10x +4y =29.由B點坐標或.點評：向量是一個工具，它可以解決很多實際問題，如平面幾何問題、物理中的問題，解決這些問題的關系是能把所給問題轉化為向量的問題.變式訓練：若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為 .答案：或解析： 平移后，得，其與圓相切，即圓心到直線的距離為，即，解得或.高考新題零距離1.（2010 湖南高考題）在中，=90，AC=4，則等于 .答案：16 解析：=90，則.2（2010 江西高考題）已知向量，滿足，與的夾角為60，則 .答案： 解析：，由余弦定理得：.典型錯誤警示1在進行向量的數量積運算時，由于兩向量的夾角找錯而導致錯誤，如例1及其變式.2向量的數量積的運算律中由于搞不清是數量還是向量而導致錯誤，如向量數量結合律.3向量的實際應用中由于不能把實際問題很好的轉化為向量而導致問題出錯，如例4及其變式.典型錯題反思反思是自覺地對數學認知活動進行分析、總結、評價和調控的過程，是一種自我挑戰(zhàn)、自我完善和自我超越，是優(yōu)化解法、深化思維的有效手段，是高效的學習方法、最佳的糾錯手段，是走出“題海”的最有效途徑. 請整理出本課時的典型錯誤，找出錯因，并從審題、知識、方法和策略的層面進行反思！我的錯題：錯因：反思：學以致用第12課時 向量的數量積和向量的應用 基礎級 1已知向量a和b的夾角為120，且|a|=2，|b|=5，則（2ab）a= 答案：13 解析：（2ab）a=2a2ba=2|a|2|a|b|cos120=2425（）=13.2（2009重慶高考題改編）已知，則向量與向量的夾角是 答案： 解析：因為由條件得aba2=2，所以2+ a2=3=ab=|a|b|cos，3正的邊長為，若設，則的值是 答案： 解析：.4（2009廣東高考題）一質點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為 答案： 解析：，所以.5已知向 .答案：120提示：設，則，又，所以，得，.6（2009浙江高考題）已知向量，若向量滿足，則 答案： 解析：不妨設，則，對于，則有；又，則有，則有7（2010天津高考題）如圖，在中，,則 .答案： 解析： 升華級8（2009安徽高考題）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動.若其中，則的最大值是_答案：2 解析：設，則，即9已知=(，)，=(,)，且與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.解析：,又，解得.但，與不共線（否則均不全題意）.當與共線，則，解得.故所求的實數的取值范圍是：且.10設函數f（x）=ab，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），xR.（1）若f（x）=1，且x，求x；（2）若y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）（|m|平移后得到函數y=f（x）的圖象，求實數m、n的值.解析：（1）依題設f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由1+2sin（2x+）=1，得sin（2x+）=.|x|，2x+.2x+=，即x=.（2）函數y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）平移后得到函數y=2sin2（xm）+n的圖象，即y=f（x）的圖象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.又|m|，m=，n=1.11（2010江蘇高考題）在平面直角坐標系xOy中，點A(1,2)、B(2,3)、C(2,1