《導數(shù)與微分》PPT課件.ppt

第2章 導數(shù)與微分,結束,本章共六節(jié)，大體上分為兩部分。其中第一部分是導數(shù)，第二部分是微分，從結構上來說它們是平行的。,2.1.1 引出導數(shù)概念的實例,例1 平面曲線的切線斜率 曲線 的圖像如圖所示, 在曲線上任取兩點 和 ，作割線 ，割線的斜率為,2.1 導數(shù)的概念,這里 為割線MN的傾角，設 是切線MT的傾角， 當 時，點N沿曲線趨于點M。若上式的 極限存在，記為k，則此極限值k就是所求切線 MT的斜率，即,當 趨向于0時，如果極限,設某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù)，即C=C(Q )，當產(chǎn)量Q 從 變到 時，總成本相應地改變量為 當產(chǎn)量從 變到 時，總成本的平均變化率,存在，則稱此極限是產(chǎn)量為 時總成本的變化率。,例2 產(chǎn)品總成本的變化率,定義 設y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義， 屬于該鄰域，記 若 存在，則稱其極限值為y = f (x)在點x0 處的導數(shù)，記為,或,2.1.2 導數(shù)的概念,導數(shù)定義與下面的形式等價：,若y =f (x)在x= x0 的導數(shù)存在，則稱y=f(x)在點x0 處可導，反之稱y = f (x)在x = x0 不可導，此時意味著不存在.函數(shù)的可導性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點處的性態(tài)，導數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點處變化(增大或減小)的快慢.,書上50頁還有幾個常見的形式，值得注意的是其中的第二個一般來說只能在已知導數(shù)存在的時候使用。另外，導數(shù)為無窮只是個記號，不代表導數(shù)存在。,三、左導數(shù)與右導數(shù) 左導數(shù):,右導數(shù):,顯然可以用下面的形式來定義左、右導數(shù),定理3.1 y = f (x)在x =x0可導的充分必要條件是 y = f (x)在x=x0 的左、右導數(shù)存在且相等.,三、導數(shù)的幾何意義,當自變量 從變化到 時，曲線y=f(x)上的點由 變到,此時 為割線兩端點M0，M的橫坐標之差，而 則為M0，M 的縱坐標之差，所以 即為過M0，M兩點的割線的斜率.,曲線y = f (x)在點M0處的切線即為割線M0M當M沿曲 線y=f(x)無限接近 時的極限位置M0P，因而當 時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：,所以，導數(shù) 的幾何意義是曲線y = f (x) 在點M0(x0,f(x0)處的切線斜率.,M0,M,設函數(shù)y=f(x)在點處可導，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為： 而當 時,曲線 在 的切線方程為,(即法線平行y軸).,當 時,曲線 在 的法線方程為,而當 時,曲線 在 的法線方程為,例3 求函數(shù) 的導數(shù) 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取極限: 同理可得: 特別地, .,例4 求曲線 在點 處的切線與法線方程. 解:因為 ,由導數(shù)幾何意義,曲線 在點 的切線與法線的斜率分別為: 于是所求的切線方程為: 即 法線方程為:,即,2.1.4 可導性與連續(xù)性的關系,定理2 若函數(shù)y = f (x)在點x0處可導，,則f(x)在點x0 處連續(xù).,證 因為f (x)在點x0處可導，故有,根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關系,可得:,兩端乘以 得:,由此可見:,即函數(shù)y = f (x)在點x0 處連續(xù).證畢.,例5 證明函數(shù) 在x=0處連續(xù)但不可導.,證 因為,所以 在x =0連續(xù),而,即函數(shù) 在x=0處左右導數(shù)不相等,從而在,x=0不可導.,由此可見，函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件，但不是充分條件,即可導定連續(xù),連續(xù)不一定可導.,2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,2.2 導數(shù)的運算,特別地,如果,可得公式,注：法則（1）（2）均可推廣到有限 多個可導函數(shù)的情形,例：設u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均 可導，則,解：,例2 設,解：,例1,解：,即,類似可得,例3 求y = tanx 的導數(shù),解：,即,類似可得,例4 求 y = secx 的導數(shù),2.2.2 復合函數(shù)的導數(shù),例7,解：,解：,例6,證 因為 的反函數(shù),或,2.2.3 反函數(shù)的求導法則,因此在對應的區(qū)間（-1，1）內(nèi)有,即,同理,基本導數(shù)公式表,2.2.4 基本初等函數(shù)的導數(shù),n階導數(shù)：,二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù),2.3 高階導數(shù),解：,特別地,例9,解：,即,同理,例8,簡單 介紹下求高階導數(shù)的Leibniz公式。特別指出它和二項式展開的形式上的類似之處與差別。,1. 隱函數(shù)的導數(shù),例10 求方程 所確定的函數(shù)的導數(shù),解：,方程兩端對x求導得,2. 5 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),隱函數(shù)即是由 所確定的函數(shù)，其求導方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時對x求導，然后解出 。,即,例9,解一,例11,兩邊對x求導，由鏈導法有,解二稱為對數(shù)求導法，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導,注：,解二,兩邊對x求導得,例12,此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導公式,2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù),變量y與x之間的函數(shù)關系有時是由參數(shù)方程,確定的，其中t 稱為參數(shù),曲線t =1在處的切線斜率為,于是所求的切線方程為 y =x,簡單介紹一下對由方程確定的函數(shù)求二階導數(shù)的方法，關鍵是正確寫出一階導數(shù)的正確形式。,2.6.1 微分的概念,2.6 微分,所以上式可寫成,于是,（2.3.1)式可寫成,記為,于是函數(shù),，稱自變量的微分，,上式兩端同除以自變量的微分，得,因此導數(shù)也稱為微商,可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a , b)內(nèi)每一點都可微， 則稱該函數(shù)在(a , b)內(nèi)可微。,f (x)在點x0 處的微分又可寫成,f(x) 在(a,b)內(nèi)任一點x處的微分記為,解：,于是,面積的微分為,解：面積的增量,2.6.2 微分的幾何意義,2.6.3 微分的運算法則,1. 微分的基本公式：,續(xù)前表,2. 微分的四則運算法則,設u=u(x)，v=v(x)均可微 ，則,（C 為常數(shù)）；,3復合函數(shù)的微分法則,利用微分形式不變性，可以計算復合函數(shù)和隱 函數(shù)的微分.,而,解：,解：對方程兩邊求導，得,即導數(shù)為,微分為,例4,由以上討論可以看出，微分與導數(shù)雖是兩個 不同的概念，但卻緊密相關，求出了導數(shù)便立即 可得微分，求出了微分亦可得導數(shù)，因此，通常