《維向量教學(xué)》PPT課件.ppt

第一節(jié) n維向量,揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,線性代數(shù),定義1,分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.,分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，,一、 維向量的概念,例如,二、 維向量的表示方法,維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行 矩陣，通常用 等表示，如：,維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列 矩陣，通常用 等表示，如：,注意,行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則 進(jìn)行運(yùn)算；,當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是行向量還是列向量時(shí)， 都當(dāng)作列向量.,向 量,三、向量空間,空 間,叫做 維向量空間,時(shí)， 維向量沒(méi)有直觀的幾何形象,叫做 維向量空間 中的 維超平面,確定飛機(jī)的狀態(tài)，需 要以下6個(gè)參數(shù)：,飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z),機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角,機(jī)身的仰角,機(jī)翼的轉(zhuǎn)角,所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量,維向量的實(shí)際意義,課堂討論,在日常工作、學(xué)習(xí)和生活中，有許多問(wèn)題都 需要用向量來(lái)進(jìn)行描述，請(qǐng)同學(xué)們舉例說(shuō)明,向量的表示方法：行向量與列向量；, 向量空間： 解析幾何與線性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別、 向量空間的概念；, 向量在生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用,四、小結(jié), 維向量的概念，實(shí)向量、復(fù)向量；,若一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修36門課程,成績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量是幾維的？請(qǐng)大家再多舉幾例,說(shuō)明向量的實(shí)際應(yīng)用,思考題,如果我們還需要考察其它指標(biāo)， 比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加,思考題解答,答 36維的,第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性,揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,線性代數(shù),若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組,例如,一、向量、向量組與矩陣,向量組 , , ， 稱為矩陣A的行向量組,反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.,線性方程組的向量表示,方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng),定義,線性組合,向量 能 由向量組 線性表示,定理1,定義,從而,注意,定義,二、線性相關(guān)性的概念,則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān),定理 向量組 （當(dāng) 時(shí)）線性相關(guān) 的充分必要條件是 中至少有一個(gè)向 量可由其余 個(gè)向量線性表示,證明,充分性,設(shè) 中有一個(gè)向量（比如 ）能由其余向量線性表示.,即有,三、線性相關(guān)性的判定,故,因 這 個(gè)數(shù)不全為0，,故 線性相關(guān).,必要性,設(shè) 線性相關(guān)，,則有不全為0的數(shù) 使,因 中至少有一個(gè)不為0，,不妨設(shè) 則有,即 能由其余向量線性表示.,證畢.,線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用,結(jié)論,定理2,下面舉例說(shuō)明定理的應(yīng)用.,證明 （略）,解,例,解,例,分析,證,定理3,證明,說(shuō)明,說(shuō)明,. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方 程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；,. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念；線性相關(guān)性 在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）,. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定方法：定義， 兩個(gè)定理（難點(diǎn)）,四、小結(jié),思考題,證明 （）、（）略,（）充分性,必要性,思考題解答,第二節(jié) 向量組的秩,揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,線性代數(shù),定義,一、最大線性無(wú)關(guān)向量組,定理,二、矩陣與向量組秩的關(guān)系,結(jié)論,說(shuō)明,事實(shí)上,定理,三、向量組秩的重要結(jié)論,推論1,推論2,思考,證一,證二,注意,最大線性無(wú)關(guān)向量組的概念： 最大性、線性無(wú)關(guān)性, 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系： 矩陣的秩矩陣列向量組的秩 矩陣行向量組的秩, 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論： 一個(gè)定理、三個(gè)推論, 求向量組的秩以及最大無(wú)關(guān)組的方法： 將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩 陣，然后進(jìn)行初等行變換,四、小結(jié),比較教材例7的證法一、二、三，并總 結(jié)這類題的證法,思考題,證法一根據(jù)向量組等價(jià)的定義，尋找兩向量 組相互線性表示的系數(shù)矩陣；,思考題解答,證法二利用“經(jīng)初等列變換，矩陣的列向量 組等價(jià)，經(jīng)初等行變換，矩陣的行向量組等價(jià)” 這一特性，驗(yàn)證是否有相同的行最簡(jiǎn)形矩陣；,證法三直接計(jì)算向量組的秩，利用了向量組 的最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)這一結(jié)論,第四節(jié) 向量空間,揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,線性代數(shù),說(shuō)明,2 維向量的集合是一個(gè)向量空間,記作 .,一、向量空間的概念,定義1 設(shè) 為 維向量的集合，如果集合 非空， 且集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱 集合 為向量空間,1集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指,例2 判別下列集合是否為向量空間.,解,解,試判斷集合是否為向量空間.,定義2 設(shè)有向量空間 及 ，若向量空間 ， 就說(shuō) 是 的子空間,實(shí)例,二、子空間,設(shè) 是由 維向量所組成的向量空間，,三、向量空間的基與維數(shù),定義3 設(shè) 是向量空間，如果 個(gè)向量 ，且滿足,（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒(méi)有基,說(shuō)明,（3）若向量組 是向量空間 的一 個(gè)基，則 可表示為,（2）若把向量空間 看作向量組，那末 的基 就是向量組的最大無(wú)關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的 秩.,向量空間的概念： 向量的集合對(duì)加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉； 由向量組生成的向量空間,子空間的概念,向量空間的基和維數(shù)： 求向量空間基和維數(shù)的方法,四、小結(jié),思考題,思考題解答,第五節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu),揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,線性代數(shù),解向量的概念,設(shè)有齊次線性方程組,若記,（1）,一、齊次線性方程組解的性質(zhì),則上述方程組（1）可寫成向量方程,若,稱為方程組(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齊次線性方程組解的性質(zhì),證明,（2）若 為 的解， 為實(shí)數(shù)，則 也是 的解,證明,由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量 所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的， 因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線 性方程組 的解空間,證畢.,基礎(chǔ)解系的定義,二、基礎(chǔ)解系及其求法,線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,現(xiàn)對(duì) 取下列 組數(shù)：,依次得,從而求得原方程組的 個(gè)解：,下面證明 是齊次線性方程組解空 間的一個(gè)基,所以 個(gè) 維向量 亦線性無(wú)關(guān).,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基.,說(shuō)明,解空間的基不是唯一的,解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系,若 是 的基礎(chǔ)解系，則 其通解為,定理1,解,對(duì)系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩 陣，有,例2 解線性方程組,解,對(duì)系數(shù)矩陣施 行初等行變換,即方程組有無(wú)窮多解，,其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.,所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,故原方程組的通解為,例3,證,證明,非齊次線性方程組解的性質(zhì),三、非齊次線性方程組解的性質(zhì),證明,證畢,其中 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程 組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特 解.,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=b的通解為,與方程組 有解等價(jià)的命題,線性方程組 有解,線性方程組的解法,（1）應(yīng)用克萊姆法則,（2）利用初等變換,特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形， 計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可 用來(lái)證明很多命題,特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無(wú)解以及有 無(wú)窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù) 表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效 的計(jì)算方法,例4 求解方程組,解,解,例5 求下述方程組的解,所以方程組有無(wú)窮多解.,且原方程組等價(jià)于方程組,求基礎(chǔ)解系,令,依次得,求特解,所以方程組的通解為,故得基礎(chǔ)解系,另一種解法,則原方程組等價(jià)于方程組,所以方程組的通解為,齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,四、小結(jié),（1）對(duì)系數(shù)矩陣 進(jìn)行初等變換，將其化為 最簡(jiǎn)形,由于,令,（2）得出 ，同時(shí)也可知方程組的一 個(gè)基礎(chǔ)解系含有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,故,為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系., 線性方程組解的情況,思考題,思考題解答,第四章 習(xí)題課,揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,線性代數(shù),分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量,分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量, 向量的定義,定義,向量的相等,零向量,分量全為0的向量稱為零向量,負(fù)向量,向量加法, 向量的線性運(yùn)算,數(shù)乘向量,向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn) 算，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：,除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：,若干個(gè)同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合 叫做向量組,定義, 線性組合,定義, 線性表示,定理,定義,定義, 線性相關(guān),定理,定理,定義, 向量組的秩,等價(jià)的向量組的秩相等,定理,矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于 它的行向量組的秩,定理,設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，則向量 組B的秩不大于向量組A的秩,推論,推論,推論（最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義）,設(shè)向量組 是向量組 的部分組，若向量組 線性無(wú)關(guān)，且向量組 能由向量組 線性表示， 則向量組 是向量組 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組, 向量空間,定義, 子空間,定義, 基與維數(shù),向量方程, 齊次線性方程組,解向量,解向量的性質(zhì),性質(zhì),性質(zhì),定義,定理,定義,向量方程, 非齊次線性方程組,解向量的性質(zhì),性質(zhì),性質(zhì),解向量,向量方程 的解就是方程組 的解向量,（）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, 線性方程組的解法,第一步：對(duì)系數(shù)矩陣 進(jìn)行初等行變換，使其 變成行最簡(jiǎn)形矩陣,第三步：將其余 個(gè)分量依次組成 階 單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,（）求非齊次線性方程組的特解,將上述矩陣中最后一列的前 個(gè)分量依次作為 特解的第 個(gè)分量，其余 個(gè)分量全部取 零，于是得,即為所求非齊次線性方程組的一個(gè)特解,一、向量組線性關(guān)系的判定,二、求向量組的秩,三、向量空間的判定,四、基礎(chǔ)解系的證法,五、解向量的證法,典 型 例 題,一、向量組線性關(guān)系的判定,研究這類問(wèn)題一般有兩個(gè)方法,方法1 從定義出發(fā),整理得線性方程組,方法 利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān) 系判定,例 研究下列向量組的線性相關(guān)性,解一,整理得到,解二,分析,證明,證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線性無(wú) 關(guān)組的基本方法就是：,分析,根據(jù)最大線性無(wú)關(guān)組的定義來(lái)證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系,證明,求一個(gè)向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的 秩來(lái)求，這個(gè)矩陣是由這組向量為行（列）向量 所排成的,如果向量組的向量以列（行）向量的形式給 出，把向量作為矩陣的列（行），對(duì)矩陣作初等 行（列）變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩， 而且可以求出最大線性無(wú)關(guān)組,二、求向量組的秩,若矩陣 經(jīng)過(guò)初等行（列）變換化為矩陣 ， 則 和 中任何對(duì)應(yīng)的列（行）向量組都有相同的 線性相關(guān)性,解,判斷向量的集合是否構(gòu)成向量空間，需看集合 是否對(duì)于加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉若封閉，則構(gòu) 成向量空間；否則，不構(gòu)成向量空間,解,三、向量空間的判定,例 證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組 也是基礎(chǔ)解系,四、基礎(chǔ)解系的證法,分析,(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示,(1)該組向量都是方程組的解；,(2)該組向量線性無(wú)關(guān)；,要證明某一向量組是方程組 的基礎(chǔ)解 系，需要證明三個(gè)結(jié)論:,證明,注 當(dāng)線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取 法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的,五、解向量的證法,證明,注意(1)本例是對(duì)非齊次線性方程組 的解 的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即非齊次線性方 程組一定存在著 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，題