《維向量教學》PPT課件.pptVIP

第一節(jié) n維向量,揚州大學數(shù)學科學學院,線性代數(shù),定義1,分量全為復數(shù)的向量稱為復向量.,分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，,一、 維向量的概念,例如,二、 維向量的表示方法,維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行 矩陣，通常用 等表示，如：,維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列 矩陣，通常用 等表示，如：,注意,行向量和列向量總被看作是兩個不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩陣的運算法則 進行運算；,當沒有明確說明是行向量還是列向量時， 都當作列向量.,向 量,三、向量空間,空 間,叫做 維向量空間,時， 維向量沒有直觀的幾何形象,叫做 維向量空間 中的 維超平面,確定飛機的狀態(tài)，需 要以下6個參數(shù)：,飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z),機身的水平轉角,機身的仰角,機翼的轉角,所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量,維向量的實際意義,課堂討論,在日常工作、學習和生活中，有許多問題都 需要用向量來進行描述，請同學們舉例說明,向量的表示方法：行向量與列向量；, 向量空間： 解析幾何與線性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別、 向量空間的概念；, 向量在生產實踐與科學研究中的廣泛應用,四、小結, 維向量的概念，實向量、復向量；,若一個本科學生大學階段共修36門課程,成績描述了學生的學業(yè)水平，把他的學業(yè)水平用一個向量來表示，這個向量是幾維的？請大家再多舉幾例,說明向量的實際應用,思考題,如果我們還需要考察其它指標， 比如平均成績、總學分等，維數(shù)還將增加,思考題解答,答 36維的,第二節(jié) 向量組的線性相關性,揚州大學數(shù)學科學學院,線性代數(shù),若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組,例如,一、向量、向量組與矩陣,向量組 , , ， 稱為矩陣A的行向量組,反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣.,線性方程組的向量表示,方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應,定義,線性組合,向量 能 由向量組 線性表示,定理1,定義,從而,注意,定義,二、線性相關性的概念,則稱向量組 是線性相關的，否則稱它線性無關,定理 向量組 （當 時）線性相關 的充分必要條件是 中至少有一個向 量可由其余 個向量線性表示,證明,充分性,設 中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示.,即有,三、線性相關性的判定,故,因 這 個數(shù)不全為0，,故 線性相關.,必要性,設 線性相關，,則有不全為0的數(shù) 使,因 中至少有一個不為0，,不妨設 則有,即 能由其余向量線性表示.,證畢.,線性相關性在線性方程組中的應用,結論,定理2,下面舉例說明定理的應用.,證明 （略）,解,例,解,例,分析,證,定理3,證明,說明,說明,. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方 程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；,. 線性相關與線性無關的概念；線性相關性 在線性方程組中的應用；（重點）,. 線性相關與線性無關的判定方法：定義， 兩個定理（難點）,四、小結,思考題,證明 （）、（）略,（）充分性,必要性,思考題解答,第二節(jié) 向量組的秩,揚州大學數(shù)學科學學院,線性代數(shù),定義,一、最大線性無關向量組,定理,二、矩陣與向量組秩的關系,結論,說明,事實上,定理,三、向量組秩的重要結論,推論1,推論2,思考,證一,證二,注意,最大線性無關向量組的概念： 最大性、線性無關性, 矩陣的秩與向量組的秩的關系： 矩陣的秩矩陣列向量組的秩 矩陣行向量組的秩, 關于向量組秩的一些結論： 一個定理、三個推論, 求向量組的秩以及最大無關組的方法： 將向量組中的向量作為列向量構成一個矩 陣，然后進行初等行變換,四、小結,比較教材例7的證法一、二、三，并總 結這類題的證法,思考題,證法一根據(jù)向量組等價的定義，尋找兩向量 組相互線性表示的系數(shù)矩陣；,思考題解答,證法二利用“經(jīng)初等列變換，矩陣的列向量 組等價，經(jīng)初等行變換，矩陣的行向量組等價” 這一特性，驗證是否有相同的行最簡形矩陣；,證法三直接計算向量組的秩，利用了向量組 的最大線性無關組等價這一結論,第四節(jié) 向量空間,揚州大學數(shù)學科學學院,線性代數(shù),說明,2 維向量的集合是一個向量空間,記作 .,一、向量空間的概念,定義1 設 為 維向量的集合，如果集合 非空， 且集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱 集合 為向量空間,1集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指,例2 判別下列集合是否為向量空間.,解,解,試判斷集合是否為向量空間.,定義2 設有向量空間 及 ，若向量空間 ， 就說 是 的子空間,實例,二、子空間,設 是由 維向量所組成的向量空間，,三、向量空間的基與維數(shù),定義3 設 是向量空間，如果 個向量 ，且滿足,（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基,說明,（3）若向量組 是向量空間 的一 個基，則 可表示為,（2）若把向量空間 看作向量組，那末 的基 就是向量組的最大無關組, 的維數(shù)就是向量組的 秩.,向量空間的概念： 向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉； 由向量組生成的向量空間,子空間的概念,向量空間的基和維數(shù)： 求向量空間基和維數(shù)的方法,四、小結,思考題,思考題解答,第五節(jié) 線性方程組解的結構,揚州大學數(shù)學科學學院,線性代數(shù),解向量的概念,設有齊次線性方程組,若記,（1）,一、齊次線性方程組解的性質,則上述方程組（1）可寫成向量方程,若,稱為方程組(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齊次線性方程組解的性質,證明,（2）若 為 的解， 為實數(shù)，則 也是 的解,證明,由以上兩個性質可知，方程組的全體解向量 所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的， 因此構成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線 性方程組 的解空間,證畢.,基礎解系的定義,二、基礎解系及其求法,線性方程組基礎解系的求法,現(xiàn)對 取下列 組數(shù)：,依次得,從而求得原方程組的 個解：,下面證明 是齊次線性方程組解空 間的一個基,所以 個 維向量 亦線性無關.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齊次線性方程組解空間的一個基.,說明,解空間的基不是唯一的,解空間的基又稱為方程組的基礎解系,若 是 的基礎解系，則 其通解為,定理1,解,對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚?陣，有,例2 解線性方程組,解,對系數(shù)矩陣施 行初等行變換,即方程組有無窮多解，,其基礎解系中有三個線性無關的解向量.,所以原方程組的一個基礎解系為,故原方程組的通解為,例3,證,證明,非齊次線性方程組解的性質,三、非齊次線性方程組解的性質,證明,證畢,其中 為對應齊次線性方程 組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特 解.,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=b的通解為,與方程組 有解等價的命題,線性方程組 有解,線性方程組的解法,（1）應用克萊姆法則,（2）利用初等變換,特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形， 計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可 用來證明很多命題,特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有 無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù) 表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效 的計算方法,例4 求解方程組,解,解,例5 求下述方程組的解,所以方程組有無窮多解.,且原方程組等價于方程組,求基礎解系,令,依次得,求特解,所以方程組的通解為,故得基礎解系,另一種解法,則原方程組等價于方程組,所以方程組的通解為,齊次線性方程組基礎解系的求法,四、小結,（1）對系數(shù)矩陣 進行初等變換，將其化為 最簡形,由于,令,（2）得出 ，同時也可知方程組的一 個基礎解系含有 個線性無關的解向量,故,為齊次線性方程組的一個基礎解系., 線性方程組解的情況,思考題,思考題解答,第四章 習題課,揚州大學數(shù)學科學學院,線性代數(shù),分量全為實數(shù)的向量稱為實向量,分量全為復數(shù)的向量稱為復向量, 向量的定義,定義,向量的相等,零向量,分量全為0的向量稱為零向量,負向量,向量加法, 向量的線性運算,數(shù)乘向量,向量加法和數(shù)乘向量運算稱為向量的線性運 算，滿足下列八條運算規(guī)則：,除了上述八條運算規(guī)則，顯然還有以下性質：,若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合 叫做向量組,定義, 線性組合,定義, 線性表示,定理,定義,定義, 線性相關,定理,定理,定義, 向量組的秩,等價的向量組的秩相等,定理,矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于 它的行向量組的秩,定理,設向量組B能由向量組A線性表示，則向量 組B的秩不大于向量組A的秩,推論,推論,推論（最大無關組的等價定義）,設向量組 是向量組 的部分組，若向量組 線性無關，且向量組 能由向量組 線性表示， 則向量組 是向量組 的一個最大無關組, 向量空間,定義, 子空間,定義, 基與維數(shù),向量方程, 齊次線性方程組,解向量,解向量的性質,性質,性質,定義,定理,定義,向量方程, 非齊次線性方程組,解向量的性質,性質,性質,解向量,向量方程 的解就是方程組 的解向量,（）求齊次線性方程組的基礎解系, 線性方程組的解法,第一步：對系數(shù)矩陣 進行初等行變換，使其 變成行最簡形矩陣,第三步：將其余 個分量依次組成 階 單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個基礎解系,（）求非齊次線性方程組的特解,將上述矩陣中最后一列的前 個分量依次作為 特解的第 個分量，其余 個分量全部取 零，于是得,即為所求非齊次線性方程組的一個特解,一、向量組線性關系的判定,二、求向量組的秩,三、向量空間的判定,四、基礎解系的證法,五、解向量的證法,典 型 例 題,一、向量組線性關系的判定,研究這類問題一般有兩個方法,方法1 從定義出發(fā),整理得線性方程組,方法 利用矩陣的秩與向量組的秩之間關 系判定,例 研究下列向量組的線性相關性,解一,整理得到,解二,分析,證明,證明向量組的一個部分組構成最大線性無 關組的基本方法就是：,分析,根據(jù)最大線性無關組的定義來證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系,證明,求一個向量組的秩，可以把它轉化為矩陣的 秩來求，這個矩陣是由這組向量為行（列）向量 所排成的,如果向量組的向量以列（行）向量的形式給 出，把向量作為矩陣的列（行），對矩陣作初等 行（列）變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩， 而且可以求出最大線性無關組,二、求向量組的秩,若矩陣 經(jīng)過初等行（列）變換化為矩陣 ， 則 和 中任何對應的列（行）向量組都有相同的 線性相關性,解,判斷向量的集合是否構成向量空間，需看集合 是否對于加法和數(shù)乘兩種運算封閉若封閉，則構 成向量空間；否則，不構成向量空間,解,三、向量空間的判定,例 證明與基礎解系等價的線性無關的向量組 也是基礎解系,四、基礎解系的證法,分析,(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示,(1)該組向量都是方程組的解；,(2)該組向量線性無關；,要證明某一向量組是方程組 的基礎解 系，需要證明三個結論:,證明,注 當線性方程組有非零解時，基礎解系的取 法不唯一，且不同的基礎解系之間是等價的,五、解向量的證法,證明,注意(1)本例是對非齊次線性方程組 的解 的結構作進一步的分析和討論，即非齊次線性方 程組一定存在著 個線性無關的解，題