2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)階段質(zhì)量檢測(cè)（一）推理與證明（含解析）北師大版.docx

階段質(zhì)量檢測(cè)（一） 推理與證明(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1下列推理正確的是()A把a(bǔ)(bc)與loga(xy)類比，則有l(wèi)oga(xy)logaxlogayB把a(bǔ)(bc)與sin(xy)類比，則有sin(xy)sin xsin yC把a(bǔ)(bc)與axy類比，則有axyaxayD把(ab)c與(xy)z類比，則有(xy)zx(yz)解析：選D(xy)zx(yz)是乘法的結(jié)合律，正確2用反證法證明命題“若關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0，a，b，cZ)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是奇數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)B假設(shè)a，b，c都不是奇數(shù)C假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)奇數(shù)D假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)奇數(shù)解析：選B命題“a，b，c中至少有一個(gè)是奇數(shù)”的否定是“a，b，c都不是奇數(shù)”，故選B.3求證：.證明：因?yàn)楹投际钦龜?shù)，所以為了證明，只需證明()2()2，展開得525，即20，此式顯然成立，所以不等式成立上述證明過程應(yīng)用了()A綜合法B分析法C綜合法、分析法配合使用 D間接證法解析：選B證明過程中的“為了證明”，“只需證明”這樣的語(yǔ)句是分析法所特有的，是分析法的證明模式4利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n(n2，nN)的過程中，由nk變到nk1時(shí)，左邊增加了()A1項(xiàng) Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)解析：選D當(dāng)nk時(shí)，不等式左邊的最后一項(xiàng)為，而當(dāng)nk1時(shí)，最后一項(xiàng)為，并且不等式左邊和式的分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加1，故增加了2k項(xiàng)5對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”，可類比猜想出：正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的位置是()A各正三角形內(nèi)的任一點(diǎn)B各正三角形的中心C各正三角形邊上的任一點(diǎn)D各正三角形的某中線的中點(diǎn)解析：選B正三角形類比正四面體，正三角形的三邊類比正四面體的四個(gè)面，三邊的中點(diǎn)類比正三角形的中心6已知函數(shù)f(x)5x，則f(2 018)的末四位數(shù)字為()A3 125 B5 625C0 625 D8 125解析：選B因?yàn)閒(5)553 125的末四位數(shù)字為3 125，f(6)5615 625的末四位數(shù)字為5 625，f(7)5778 125的末四位數(shù)字為8 125，f(8)58390 625的末四位數(shù)字為0 625，f(9)591 953 125的末四位數(shù)字為3 125，故周期T4.又由于2 01850442，因此f(2 018)的末四位數(shù)字與f(6)的末四位數(shù)字相同，即f(2 018)的末四位數(shù)字是5 625.7用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1n(nN)”時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證()A11 B11C12 D11解析：選A當(dāng)n1時(shí)不等式左邊為1，右邊為1，即需要驗(yàn)證：11.8用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，從k到k1，左邊需要增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：選B當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)，所以，增乘的式子為2(2k1)9對(duì)于函數(shù)f(x)，g(x)和區(qū)間D，如果存在x0D，使|f(x0)g(x0)|1，則稱x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間D上的“友好點(diǎn)”現(xiàn)給出下列四對(duì)函數(shù)：f(x)x2，g(x)2x3；f(x)，g(x)x2；f(x)ex，g(x)；f(x)ln x，g(x)x.其中在區(qū)間(0，)上存在“友好點(diǎn)”的是()A BC D解析：選C對(duì)于，|f(x)g(x)|x2(2x3)|(x1)22|2，所以函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)上不存在“友好點(diǎn)”，故錯(cuò)，應(yīng)排除A、D；對(duì)于，| f(x)g(x) |(x2)|，所以函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)上也不存在“友好點(diǎn)”，故錯(cuò)，排除B；同理，可知均正確10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，且a11，Snn2an(nN)，可歸納猜想出Sn的表達(dá)式為()ASn BSnCSn DSn解析：選A由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4.由S1，S2，S3，S4可以猜想Sn.11已知f(x)x3x，若a，b，cR，且ab0，ac0，bc0，則f(a)f(b)f(c)的值()A一定大于0 B一定等于0C一定小于0 D正負(fù)都有可能解析：選Af(x)3x210，f(x)在R上是增函數(shù)又ab0，ab，f(a)f(b)又f(x)x3x是奇函數(shù)，f(a)f(b)，即f(a)f(b)0.同理，f(b)f(c)0，f(c)f(a)0，f(a)f(b)f(c)0，故選A.12下面的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為(n2)，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如，則第10行第4個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為()A. B.C. D.解析：選C依題意，結(jié)合所給的數(shù)陣，歸納規(guī)律可知第8行的第一個(gè)數(shù)、第二個(gè)數(shù)分別等于，第9行的第一個(gè)數(shù)、第二個(gè)數(shù)、第三個(gè)數(shù)分別等于，第10行的第一個(gè)數(shù)、第二個(gè)數(shù)、第三個(gè)數(shù)、第四個(gè)數(shù)分別等于，.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請(qǐng)把正確的答案填在題中的橫線上)13設(shè)f(n)1(nN)，那么f(n1)f(n)_.解析：f(n1)1，f(n1)f(n).答案：14已知點(diǎn)A(x1，3x1)，B(x2，3x2)是函數(shù)y3x的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論3成立運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)是函數(shù)ytan x的圖像上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有_成立解析：因?yàn)閥tan x圖像是上凸的，因此線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)ytan x圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即有tan 成立答案：0，則lg ；(2)622.證明：(1)當(dāng)a，b0時(shí)，有，lglg，lglg ab.(2)要證 22，只要證()2(22)2，即22，這是顯然成立的，所以原不等式成立18.(本小題滿分12分)如圖所示，設(shè)SA，SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)，求證：AC與平面SOB不垂直證明：假設(shè)AC平面SOB，因?yàn)橹本€SO在平面SOB內(nèi)，所以SOAC，因?yàn)镾O底面圓O，所以SOAB.因?yàn)锳BACA，所以SO平面SAB.所以平面SAB底面圓O，這顯然與平面SAB與底面圓O相交矛盾，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直19(本小題滿分12分)已知a，b，c(0,1)求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.證明：假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.因?yàn)?a1,0b1,0c0.由基本不等式，得.同理，.將這三個(gè)不等式兩邊分別相加，得，即，這是不成立的，故(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.20(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN)證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊所以當(dāng)n1時(shí)等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊右邊所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)和可知，等式對(duì)任何nN都成立21(本小題滿分12分)下列推理是否正確？若不正確，指出錯(cuò)誤之處(1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于360.證明：設(shè)四邊形ABCD是矩形，則它的四個(gè)角都是直角，有ABCD90909090360，所以四邊形的內(nèi)角和為360.(2)已知 和 都是無(wú)理數(shù)，試證：也是無(wú)理數(shù)證明：依題設(shè)和都是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)之和是無(wú)理數(shù)，所以必是無(wú)理數(shù)(3)已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m1)(m2)0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x22x5m20無(wú)實(shí)根證明：假設(shè)方程x22x5m20有實(shí)根由已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而關(guān)于x的方程x22x5m20的判別式4(m24)，2m，m24，0，即關(guān)于x的方程x22x5m20無(wú)實(shí)根解：(1)犯了偷換論題的錯(cuò)誤，在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形(2)使用的論據(jù)是“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，因此原題的真實(shí)性仍無(wú)法判定(3)利用反證法進(jìn)行證明時(shí)，要把假設(shè)作為條件進(jìn)行推理，得出矛盾，本題在證明過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，也沒有推出矛盾，所以不是反證法22(本小題滿分12分)是否存在二次函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意nN，都有f(n)成立，若存在，求出f(x)；若不存在，說(shuō)明理由解：假設(shè)存在二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，使得對(duì)于nN，都有f(n)成立當(dāng)n1時(shí)，abc1，當(dāng)n2時(shí)，4a2bc，當(dāng)n3時(shí)，9a3bc，聯(lián)立式得a，b，c，則由以上可假設(shè)存在二次函數(shù)f(x)