函數(shù)的最大值與最小值--趙樹(shù)嫄.ppt

第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值,三、小結(jié) 思考題,二、最大值最小值問(wèn)題,一、函數(shù)的極值及其求法,第三章,1.問(wèn)題的提出,例如 (P146例4),一、函數(shù)的極值及其求法,2、函數(shù)極值的定義,圖形分析：,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。,注意, 極值點(diǎn)不唯一。, 極值是局部性的。, 對(duì)一函數(shù)而言，極小值可能比極大值大。,定理1.,可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件,前面已定義,注意:,例如：,例如：,因此駐點(diǎn)和 不存在的點(diǎn)是極值可疑點(diǎn)。,判定極值存在的第一充分條件,左正右負(fù),左負(fù)右正,求極值的步驟:,(不是極值點(diǎn)情形),例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值可疑點(diǎn),令,得,當(dāng),3) 列表判別,是極大點(diǎn)，,其極大值為,是極小點(diǎn)，,其極小值為,定理2 (極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù),且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,證: (1),存在,由第一判別法知,(2) 類(lèi)似可證 .,例2. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小值;,又,故需用第一判別法判別.,定理3 (判別法的推廣),則:,數(shù),且,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);,是極大點(diǎn).,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且,不是極值點(diǎn) .,當(dāng) 充分接近 時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確 .,證:,利用 在 點(diǎn)的泰勒公式,可得,例如,例2中,極值的判別法(定理1 定理3 ) 都是充分的.,說(shuō)明:,當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在 .,例如:,為極大值,但不滿足定理1, 定理3 的條件.,最值問(wèn)題：,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到在一定的條件下，怎樣使“成本最低”、“利潤(rùn)最大”、“用料最省”、“效率最高”等問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般可化為求某一函數(shù)(稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問(wèn)題。,最值定義：,二、最大值與最小值問(wèn)題,函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為最值，使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱(chēng)為最值點(diǎn)。,最值與極值的區(qū)別：, 極值是對(duì)極值點(diǎn)的某鄰域,最值是對(duì)整 個(gè)定義區(qū)間。, 極值只能在區(qū)間內(nèi)取,最值可在端點(diǎn)或區(qū) 間內(nèi)取得。,則其最值,只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.,閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值存在,從以上幾段曲線可以看出：最值可以在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)點(diǎn)處取得，即極值點(diǎn)，也就是有限個(gè)駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，同時(shí)最值也可以在整個(gè)區(qū)部的端點(diǎn)處取得。由此可按以下方法進(jìn)行求最值。,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);,2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值；,最值的求法步驟,特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大 值,則也是最大 值 .,(小),對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .,(小),例3. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解:顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0 ;,因此也可通過(guò),例3. 求函數(shù),說(shuō)明:,求最值點(diǎn).,與,最值點(diǎn)相同,由于,令,( 自己練習(xí) ),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,( k 為某一常數(shù) ),例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20,AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨,D 點(diǎn)應(yīng)如何選取?,解:設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點(diǎn),故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問(wèn),Km ,公路,例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面,的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為,令,得,從而有,即,由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求,結(jié)果就是最好的選擇 .,用開(kāi)始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上,受力 作,解:克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題 ., 為多少時(shí)才可使力,設(shè)摩擦系數(shù),的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題 .,清楚(視角 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上,它的底邊高于,解:設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,則,令,得駐點(diǎn),根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn):,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充分條件,過(guò),由正變負(fù),為極大值,過(guò),由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,(4) 判別法的推廣 ( Th.3),最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別 .,思考與練習(xí),(L. P500 題4),2. 連續(xù)函數(shù)的最值,1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處( ).,的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;,取得極小值;,的導(dǎo)數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,2. 設(shè),(A) 不可導(dǎo);,(B) 可導(dǎo),且,(C) 取得極大值;,(D) 取得極小值 .,D,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,3