利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(2).pptVIP

,復(fù)習(xí):,如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).,單調(diào)性的判斷方法有哪些？ 單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系?,f (x)0,f (x)0,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，,如果f (x)0，則f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)；,如果f (x)0，則f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)；,如果f (x)=0，則f(x)在此區(qū)間為常數(shù)函數(shù)；,練習(xí):判斷函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)性。,函數(shù)的極值,函數(shù) y=f (x)在點(diǎn)x1 、x2 、x3 、x4處的函數(shù)值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，與它們左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值，相比有什么特點(diǎn)?,觀察圖像：,一、函數(shù)的極值定義,如果對X0附近的所有點(diǎn)X，都有f(x)f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處取極大值， 記作y極大值= f(x0)；并把X0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大植點(diǎn)。,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),已知 函數(shù)y=f(x)，設(shè)X0是定義域（a,b)內(nèi)任一點(diǎn)，,探究 1、圖中有哪些極值點(diǎn)和最值點(diǎn)？ 2、函數(shù)極值點(diǎn)可以有多個(gè)嗎？極大值一定比極小值大么？ 3、最值和極值有什么聯(lián)系和區(qū)別? 4、端點(diǎn)可能是極值點(diǎn)嗎？,練習(xí)：課本30頁A、1,(1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值，而最值是對整體而言。 （2）極大值不一定比極小值大。 (3)極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)。,觀察與思考：極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？,在極值點(diǎn)處，曲線如果有切線，則切線是水平的。,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,f (b)=0,結(jié)論：設(shè)x=x0是y=f(x)的極值點(diǎn)，且f(x)在x=x0是可導(dǎo)的，則必有f (x0)=0,f (x)0,x1,f (x)0,f (x)0,f (x)0,二、判斷函數(shù)極值的方法,x2,注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有多個(gè)極大值或極小值，并對同一個(gè)函數(shù)來說，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。,例.判斷下面4個(gè)命題，其中是真命題序號為 。 可導(dǎo)函數(shù)必有極值； 函數(shù)的極值點(diǎn)必在定義域內(nèi)； 函數(shù)的極小值一定小于極大值。 （設(shè)極小值、極大值都存在）； 函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個(gè)。,例1 求函數(shù) 的極值。,解：定義域?yàn)镽，y=x2-4,由y=0可得x=-2或 x=2,當(dāng)x變化時(shí)，y, y的變化情況如下表：,因此，當(dāng)x=-2時(shí)， y極大值=28/3,當(dāng)x=2時(shí)， y極小值=4/3,(-，-2）,(-2，2）,(2，+）,+,+,極大值28/3,極小值 -4/3,1、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的 步驟：,(2)求導(dǎo)數(shù)f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格,檢查f (x)在方程根左右的符號 如果左正右負(fù)（+ -）， 那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值,如果左負(fù)右正（- +）， 那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；,(1) 確定函數(shù)的定義域；,2、思考與討論：在區(qū)間-3，5上，,最小值分別是多少？-3，3上呢？,4、求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在a,b上的最值步驟如何？,的最大值，,1、求y=f(x)在開區(qū)間（a,b)內(nèi)所有使f (x）=0的點(diǎn)； 2、計(jì)算函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)使f (x）=0的所有點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。,練習(xí)1,求下列函數(shù)的極值:,解:,令 解得 列表:,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以, 當(dāng) 時(shí), f (x)有極小值,求下列函數(shù)的極值:,解:,解得 列表:,+,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以, 當(dāng) x = 3 時(shí), f (x)有極大值 54 ;,當(dāng) x = 3 時(shí), f (x)有極小值 54 .,練習(xí)1,練習(xí)2：下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象, 在標(biāo)記的點(diǎn)中, 在哪一點(diǎn)處,(1)導(dǎo)函數(shù) 有極大值? (2)導(dǎo)函數(shù) 有極小值? (3)函數(shù) 有極大值? (4)函數(shù) 有極小值?,或,例2 求函數(shù) y=(x2-1)3+1 的極值。,解：定義域?yàn)镽， y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1,當(dāng)x變化時(shí)，y , y的變化情況如下表：,因此，當(dāng)x=0時(shí)， y極小值=0,點(diǎn)評：可導(dǎo)函數(shù),在點(diǎn)x0取得極值的充分必要條,件是,且在點(diǎn)x0左側(cè)和右側(cè)， f (x)異號。,練習(xí)：課本30頁A 2（2）,例3 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，當(dāng)x=-1時(shí)取極大值7；當(dāng)x=3時(shí)取得極小值， 求這個(gè)極小值及a、b、c的值。,練習(xí)：1、求函數(shù)f(x)=x+2sinx在區(qū)間0,2內(nèi)的極值,練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一個(gè)根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,當(dāng)a=-3,b=3時(shí), ,此時(shí)f(x)在x=1處無 極值,不合題意.,當(dāng)a=4,b=-11時(shí),-3/111時(shí), ,此時(shí)x=1是極 值點(diǎn).,從而所求的解為a=4,b=-11.,1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)概念及與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 2、求極值的方法步驟。 3、極值與最值的