2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1導(dǎo)數(shù)的概念1.1.2瞬時(shí)變化率__導(dǎo)數(shù)講義含解析蘇教版.docx

11.2瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)曲線上一點(diǎn)處的切線如圖Pn的坐標(biāo)為(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P的坐標(biāo)為(x0，y0)問題1：當(dāng)點(diǎn)Pn點(diǎn)P時(shí)，試想割線PPn如何變化？提示：當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置問題2：割線PPn斜率是什么？提示：割線PPn的斜率是kn.問題3：割線PPn的斜率與過點(diǎn)P的切線PT的斜率k有什么關(guān)系呢？提示：當(dāng)點(diǎn)Pn無限趨近于點(diǎn)P時(shí)，kn無限趨近于切線PT的斜率 問題4：能否求得過點(diǎn)P的切線PT的斜率？提示：能1割線設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，這時(shí)，直線PQ稱為曲線的割線2切線隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線C.當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S83t2，其中S表示位移，t表示時(shí)間問題1：該質(zhì)點(diǎn)在1,1t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是多少？提示：該質(zhì)點(diǎn)在1,1t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為63t.問題2：t的變化對(duì)所求平均速度有何影響？提示：t越小，平均速度越接近常數(shù)6.1平均速度運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱為平均速度2瞬時(shí)速度一般地，如果當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移S(t)的平均變化率無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在tt0時(shí)的瞬時(shí)速度，也就是位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率3瞬時(shí)加速度一般地，如果當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度v(t)的平均變化率無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在tt0時(shí)的瞬時(shí)加速度，也就是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無限趨近于0時(shí)，比值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在xx0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率3導(dǎo)函數(shù)(1)若f(x)對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(x)，在不引起混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f(x)也簡稱f(x)的導(dǎo)數(shù)(2)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求曲線上在某點(diǎn)處的切線的斜率，然后由點(diǎn)斜式寫出直線方程2函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，所以求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值求曲線上某一點(diǎn)處的切線例1已知曲線yx上的一點(diǎn)A，用切線斜率定義求：(1)點(diǎn)A處的切線的斜率；(2)點(diǎn)A處的切線方程思路點(diǎn)撥先計(jì)算，再求其在x趨近于0時(shí)無限逼近的值精解詳析(1)yf(2x)f(2)2xx，1.當(dāng)x無限趨近于零時(shí)，無限趨近于，即點(diǎn)A處的切線的斜率是.(2)切線方程為y(x2)，即3x4y40.一點(diǎn)通根據(jù)曲線上一點(diǎn)處的切線的定義，要求曲線過某點(diǎn)的切線方程，只需求出切線的斜率，即在該點(diǎn)處，x無限趨近于0時(shí)，無限趨近的常數(shù)1曲線yx22在點(diǎn)P處的切線的斜率為_解析：設(shè)P，Q，則割線PQ的斜率為kPQx1.當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，kPQ無限趨近于1，所以曲線yx22在點(diǎn)P處的切線的斜率為1.答案：12已知曲線y2x24x在點(diǎn)P處的切線的斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則4x042x.當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，4x042x無限趨近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,30)答案：(3,30)3已知曲線y3x2x，求曲線上一點(diǎn)A(1,2)處的切線的斜率及切線方程解：設(shè)A(1,2)，B(1x,3(1x)2(1x)，則kAB53x，當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，53x無限趨近于5，所以曲線y3x2x在點(diǎn)A(1,2)處的切線斜率是5.切線方程為y25(x1)，即5xy30.瞬時(shí)速度例2一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律S(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若該質(zhì)點(diǎn)在t2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，求常數(shù)a的值思路點(diǎn)撥先求出質(zhì)點(diǎn)在t2s時(shí)的平均速度，再根據(jù)瞬時(shí)速度的概念列方程求解精解詳析因?yàn)镾S(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat.當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近于4a.所以t2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為4a m/s.故4a8，即a2.一點(diǎn)通要計(jì)算物體的瞬時(shí)速度，只要給時(shí)間一個(gè)改變量t，求出相應(yīng)的位移的改變量S，再求出平均速度，最后計(jì)算當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近常數(shù)，就是該物體在該時(shí)刻的瞬時(shí)速度4一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移S與時(shí)間t的關(guān)系是S3tt2，則此物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為_解析：由于S3(2t)(2t)2(3222)3t4t(t)2t(t)2，所以1t.當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)1.故物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為1.答案：15如果一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程S(t)試求該物體在t1和t4時(shí)的瞬時(shí)速度解：當(dāng)t1時(shí)，S(t)t22，則2t，當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，2t無限趨近于2，所以v(1)2；t43，)，S(t)293(t3)23t218t56，3t6，當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，3t66，即6，所以v(4)6.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用例3已知f(x)x23.(1)求f(x)在x2處的導(dǎo)數(shù)；(2)求f(x)在xa處的導(dǎo)數(shù)思路點(diǎn)撥根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解深刻理解概念是正確解題的關(guān)鍵精解詳析(1)因?yàn)?x，當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，4x無限趨近于4，所以f(x)在x2處的導(dǎo)數(shù)等于4.(2)因?yàn)?ax，當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，2ax無限趨近于2a，所以f(x)在xa處的導(dǎo)數(shù)等于2a.一點(diǎn)通由導(dǎo)數(shù)的定義知，求一個(gè)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的改變量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)令x無限趨近于0，求得導(dǎo)數(shù)6函數(shù)yx在x1處的導(dǎo)數(shù)是_解析：函數(shù)yf(x)x，yf(1x)f(1)1x11，當(dāng)x0時(shí)，0，即yx在x1處的導(dǎo)數(shù)為0.答案：07設(shè)f(x)ax4，若f(1)2，則a_.解析：a，f(1)a，即a2.答案：28將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x h時(shí)，原油的溫度(單位：)為f(x)x27x15(0x8)求函數(shù)yf(x)在x6處的導(dǎo)數(shù)f(6)，并解釋它的實(shí)際意義解：當(dāng)x從6變到6x時(shí)，函數(shù)值從f(6)變到f(6x)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為：5x.當(dāng)x6時(shí)，即x0，平均變化率趨近于5，所以f(6)5，導(dǎo)數(shù)f(6)5表示當(dāng)x6 h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率即原油溫度的瞬時(shí)變化速度也就是說，如果保持6 h時(shí)溫度的變化速度，每經(jīng)過1 h時(shí)間，原油溫度將升高5.1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過某點(diǎn)的切線方程(1)若已知點(diǎn)(x0，y0)在已知曲線上，則先求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程yy0f(x0)(xx0)(2)若題中所給的點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程2f(x0)與f(x)的異同區(qū)別聯(lián)系f(x0)f(x0)是具體的值，是數(shù)值在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值f(x)f(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二)一、填空題1一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為S53t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度為_解析：當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，3t6無限趨近于常數(shù)6，該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度為6.答案：62函數(shù)f(x)13x在x2處的導(dǎo)數(shù)為_解析：yf(2x)f(2)3x，3，則x趨于0時(shí)，3.故f(x)在x2處的導(dǎo)數(shù)為3.答案：33已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_.解析：由題意知f(1)，f(1)2，所以f(1)f(1)3.答案：34曲線f(x)x22在點(diǎn)處的切線的傾斜角為_解析：x1.當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)1，即切線的斜率為1.切線的傾斜角為.答案：5已知曲線y2ax21過點(diǎn)P(，3)，則該曲線在P點(diǎn)處的切線方程為_解析：y2ax21過點(diǎn)P(，3)，32a21，即a21.又a0，a1，即y2x21.P(1,3)又42x.當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)4，f(1)4，即切線的斜率為4.由點(diǎn)斜式可得切線方程為y34(x1)，即4xy10.答案：4xy10二、 解答題6已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程是S(t)gt22t1(g是重力加速度，常量)，求質(zhì)點(diǎn)在t4 s時(shí)的瞬時(shí)速度(其中s的單位是m，t的單位是s)解：gt4g2.當(dāng)t0時(shí)，4g2，S(4)4g2，即v(4)4g2，所以，質(zhì)點(diǎn)在t4 s時(shí)的瞬時(shí)速度為(4g2) m/s.7求過點(diǎn)P(1,2)且與曲線y3x24x2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程解：23x，當(dāng)x0時(shí)，23x2，f(1)2，所以直線的斜率為2，所以直線方程為y22(x