2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2導(dǎo)數(shù)的運算1.2.2函數(shù)的和差積商的導(dǎo)數(shù)講義含解析蘇教版.docx

12.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)已知f(x)x，g(x).問題1：f(x)、g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么？提示：f(x)1，g(x).問題2：若Q(x)x，則Q(x)的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：y(xx)x，1.當(dāng)x無限趨近于0時，無限趨近于1，Q(x)1.問題3：Q(x)的導(dǎo)數(shù)與f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？提示：Q(x)f(x)g(x)導(dǎo)數(shù)的運算法則設(shè)兩個函數(shù)分別為f(x)和g(x)，則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)Cf(x)Cf(x)(C為常數(shù))；(4)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(5)(g(x)0)1對于和差的導(dǎo)數(shù)運算法則，可推廣到任意有限可導(dǎo)函數(shù)的和或差，即f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)2對于積與商的導(dǎo)數(shù)運算法則，首先要注意在兩個函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)運算中，不能出現(xiàn)f(x)g(x)f(x)g(x)以及(5)這樣想當(dāng)然的錯誤；其次還要特別注意兩個函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號的異同，積的導(dǎo)數(shù)法則中是“”，商的導(dǎo)數(shù)法則中分子上是“”求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx2log3x；(2)yx3ex；(3)y；(4)yxtan x.思路點撥結(jié)合常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則直接求導(dǎo)精解詳析(1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3ex(3x2x3)ex.(3)y.(4)y(xtan x).一點通(1)應(yīng)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則可迅速解決一些簡單的求導(dǎo)問題，要透徹理解函數(shù)求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)特點，準確熟記公式，還要注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律(2)在求較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時應(yīng)首先利用代數(shù)恒等變換對已知函數(shù)解析式進行化簡或變形，如把乘積的形式展開，公式形式變?yōu)楹突虿畹男问?，根式化成分?shù)指數(shù)冪，然后再求導(dǎo)，使求導(dǎo)計算更加簡化1若f(x)x32x1，則f(1)_.解析：f(x)(2x)1x22，所以f(1)(1)223.答案：32函數(shù)yx(x21)的導(dǎo)數(shù)是_解析：yx(x21)(x3x)3x21.答案：3x213求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y2x；(2)y.解：(1)y(2x)2xln 22xln 22xln 2.(2)y.導(dǎo)數(shù)運算法則的簡單應(yīng)用例2設(shè)f(x)aexbln x，且f(1)e，f(1)，求a，b的值思路點撥首先求f(x)，然后利用條件建立a，b的方程組求解精解詳析f(x)(aex)(bln x)aex，由f(1)e，f(1)，得解得所以a，b的值分別為1,0.一點通利用導(dǎo)數(shù)值求解參數(shù)問題，是高考的熱點問題它比較全面地考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用而熟練地掌握導(dǎo)數(shù)的運算法則以及常用函數(shù)的求導(dǎo)公式是解決此類問題的關(guān)鍵4設(shè)f(x)ax33x22，若f(1)4，則a_.解析：f(x)ax33x22，f(x)3ax26x，f(1)3a64，即a.答案：5若函數(shù)f(x)在xc(c0)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，求c的值解：f(x)，f(c)，又f(x)，f(c)，依題意知f(c)f(c)0，0，2c10得c.導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用例3已知拋物線yax2bxc通過點P(1,1)，且在點Q(2，1)處與直線yx3相切，求實數(shù)a、b、c的值思路點撥題中涉及三個未知參數(shù)，題設(shè)中有三個獨立的條件，因此可通過解方程組來確定參數(shù)a、b、c的值精解詳析曲線yax2bxc過P(1,1)點，abc1.y2axb，當(dāng)x2時，y4ab.4ab1.又曲線過Q(2，1)點，4a2bc1.聯(lián)立，解得a3，b11，c9.一點通利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率是行之有效的方法，它適用于任何可導(dǎo)函數(shù)，解題時要充分運用這一條件，才能使問題迎刃而解解答本題常見的失誤是不注意運用點Q(2，1)在曲線上這一關(guān)鍵的隱含條件6已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為_解析：易知拋物線yx2上的點P(4,8)，Q(2,2)，且yx，則過點P的切線方程為y4x8，過點Q的切線方程為y2x2，聯(lián)立兩個方程解得交點A(1，4)，所以點A的縱坐標是4.答案：47已知f(x)是一次函數(shù)，x2f(x)(2x1)f(x)1，求f(x)的解析式解：由f(x)為一次函數(shù)可知f(x)為二次函數(shù)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)2axb.把f(x)，f(x)代入方程x2f(x)(2x1)f(x)1中得：x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.要使方程對任意x恒成立，則需有ab，b2c，c10，解得a2，b2，c1，所以f(x)2x22x1.1應(yīng)用和、差、積、商的求導(dǎo)法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時，在可能的情況下，應(yīng)盡量少用甚至不用乘積的求導(dǎo)法則，應(yīng)在求導(dǎo)之前，先利用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)進行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，避免出錯2對復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡后求導(dǎo)的原則，但要注意化簡過程中變換的等價性對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(四)一、填空題1(廣東高考)曲線y5ex3 在點(0，2) 處的切線方程為_解析：由y5ex3得，y5ex，所以切線的斜率ky|x05，所以切線方程為y25(x0)，即5xy20.答案：5xy202設(shè)f(x)xln x，若f(x0)2，則x0_.解析：f(x)ln xxln x1.f(x0)2，1ln x02，x0e.答案：e3函數(shù)f(x)excos x，x0,2，且f(x0)0，則x0_.解析：f(x)excos xexsin x，由f(x0)0，得ex0cos x0ex0sin x00，cos x0sin x0，即tan x01.又x00,2，x0或.答案：或4(江西高考)若曲線yx1(R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標原點，則_.解析：由題意yx1，在點(1,2)處的切線的斜率為k，又切線過坐標原點，所以2.答案：25曲線y在點(1,1)處的切線方程為_解析：y，當(dāng)x1時，y1.切線方程為y1(x1)，即xy20.答案：xy20二、解答題6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)ysin x3x2x；(2)y(1cos x)(2x2ex)解：(1)y(sin x3x2x)(sin x)(3x2)xcos x6x1.(2)y(1cos x)(2x2ex)(1cos x)(2x2ex)(1cos x)(2x2ex)sin x(2x2ex)(1cos x)(4xex)ex(1cos xsin x)2x2sin x4x(1cos x)7設(shè)定義在(0，)上的函數(shù)f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yx，求a，b的值解：(1)法一：由題設(shè)和基本不等式可知，f(x)axb2b，其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ax1，即當(dāng)x時，f(x)取最小值為2b.法二：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)a，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)0x時，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞減所以當(dāng)x時，f(x)取最小值為2b.(2)由題設(shè)知，f(x)a，f(1)a，解得a2或a(不合題意，舍去)將a2代入f(1)ab，解得b1.所以a2，b1.8已知函數(shù)f(x)x32x2ax(xR，aR)，在曲線yf(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與