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4.3 泰勒級數(shù),一、泰勒(Taylor)定理,則當 時，有,其中，,證明 (略),一、泰勒(Taylor)定理,而不是在整個解析區(qū)域 D 上展開？,的收斂性質的限制：,冪級數(shù)的收斂域必須,是圓域。,冪級數(shù)一旦收斂，其和函數(shù)一定解析。,一、泰勒(Taylor)定理,注,(2) 展開式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。,方法一,一、泰勒(Taylor)定理,注,(2) 展開式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。,方法二,一、泰勒(Taylor)定理,注,(3) 對于一個給定的函數(shù)，用任何方法展開為冪級數(shù)，,其結果都是一樣的，即具有唯一性。,方法一 利用已知的結果(4.2 ):,方法二 利用泰勒定理 :,方法三 利用長除法。,一、泰勒(Taylor)定理,注,(4) 對于一個給定的函數(shù)，能不能在不具體展開為冪級數(shù),的情況下，就知道其收斂域？,可以知道。,等于從 點到 的最近一個奇點 的距離。,在收斂圓內；,(2) 奇點 也不可能在收斂圓外，不然收斂半徑,還可以擴大，,故奇點 只能在收斂圓周上。,二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法,1. 直接展開法,利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù),解,二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法,1. 直接展開法,利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù),同理可得,二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法,2. 間接展開法,根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、,代換運算、逐項求導、逐項求積等方法展開。,兩個重要的已知展開式,故收斂半徑,(1),(2),(2),解,(1),解,(2),解,解,解,解,泰勒級數(shù)的應用舉例 計算斐波拉契數(shù)列的通項,1. 斐波拉契,3. 斐波拉契數(shù)列,2. 兔子問題,一對(超級)小兔，在它們出生的第三個月開始，每月又,可生一對(超級)小兔，問 n 個月后，共可得到多少對兔子？,4. 計算斐波拉契數(shù)列的通項,令,由,有,將 代入上式并求解得,泰勒級數(shù)的應用舉例 計算斐波拉契數(shù)列的通項,4. 計算斐波拉契數(shù)列的通項,(2) 泰勒級數(shù)展開,其中，,泰勒級數(shù)的應用舉例 計算斐波拉契數(shù)列的通項,作圓 G ，,附：泰勒定理的證明,由柯西積分公式有,由 有,設 z 為 G 內任意一點。,附：泰勒定理的證明,證明,其中，,下面需證明,交換 次序,附：泰勒定理的證明,證明,由 在 D 內解析，

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