可分離變量方程(3).ppt

一、可分離變量方程,第五模塊 微積分學(xué)的應(yīng)用,第二節(jié) 一階微分方程,二、一階線性微分方程,一階微分方程的一般形式為,F(x, y, y) = 0.,一、可分離變量方程,例如：形如,y = f (x) g (y),的微分方程，稱為可分離變量方程.,(1) 分離變量,將方程整理為,使方程各邊都只含有一個(gè)變量.,的形式，,(2) 兩邊積分,兩邊同時(shí)積分，得,故方程通解為,我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，,而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上.,例 1 求方程,解 分離變量，得,兩邊積分，得,這就是所求方程的通解,例 2 求方程,解 分離變量，得,兩邊積分，得,化簡得,另外，y = 0 也是方程的解，,因此 C2 為任意常數(shù),求解過程可簡化為：,兩邊積分得,即通解為,其中 C 為任意常數(shù).,中的 C2 可以為 0，,這樣，方程的通解是,分離變量得,例 3 求方程 dx + xydy = y2dx + ydy 滿足初始條件 y(0) = 2 的特解.,解 將方程整理為,分離變量，得,兩邊積分，有,化簡，得,即,將初始條件 y(0) = 2 代入，,為所求之通解.,得 C = 3.,故所求特解為,例 4,解 分離變量得,即,兩邊積分，得,經(jīng)整理，得方程的通解為,也可寫為,二、一階線性微分方程,一階微分方程的下列形式,稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程.,其中P(x)、Q (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).,左邊的每項(xiàng)中僅含 y 或 y，且均為 y 或 y 的一次項(xiàng).,它的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)，,稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程，,0，則稱方程 為一階線性非齊次微分方程，簡稱線性非齊次方程.,通常方程 稱為方程 所對應(yīng)的線性齊次方程.,若 Q (x),1.一階線性齊次方程的解法,一階線性齊次方程,是可分離變量方程.,兩邊積分，得,所以，方程的通解公式為,分離變量，得,例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解.,解 所給方程是一階線性齊次方程，且 P(x) = sin x，,由通解公式即可得到方程的通解為,則,例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 滿足初始條件 y|x=1 = e 的特解.,解 將所給方程化為如下形式：,這是一個(gè)線性齊次方程，,則,由通解公式得該方程的通解,將初始條件 y(1) = e 代入通解，,得 C = 1.,故所求特解為,2.一階線性非齊次方程的解法,設(shè) y = C(x)y1 是非齊次方程的解，,將 y = C(x)y1 (其中 y1 是齊次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其導(dǎo)數(shù) y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程,則有,即,因 y1 是對應(yīng)的線性齊次方程的解，,因此有,其中 y1 與 Q(x) 均為已知函數(shù)，,代入 y = C (x)y1 中，得,容易驗(yàn)證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程,所以可以通過積分求得,且含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程,的通解,在運(yùn)算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個(gè)解為,于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：,上述討論中所用的方法，是將常數(shù) C 變?yōu)榇ê瘮?shù) C(x)，,再通過確定 C(x) 而求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易法.,例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.,解法一 使用常數(shù)變易法求解,將所給的方程改寫成下列形式：,這是一個(gè)線性非齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方程的通解為,將 y 及 y 代入該方程，得,設(shè)所給線性非齊次方程的解為,于是，有,因此，原方程的通解為,解法二 運(yùn)用通解公式求解,將所給的方程改寫成下列形式：,則,代入通解公式，得原方程的通解為,例 9 求解初值問題,解 使用常數(shù)變易法求解,將所給的方程改寫成下列形式：,則與其對應(yīng)的線性齊次方程,的通解為,設(shè)所給線性非齊次方程的通解為,于是，有,將 y 及 y代入該方程，得,因此，原方程的通解為,將初始條件 y(p) = 1 代入，得 C = p，,所以，所求的特解，即初值問題的解為,例 10 求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy =