信號(hào)與系統(tǒng)教案第4章-01.ppt

第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,傅里葉分析的發(fā)展歷史 1822 法國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家傅里葉（J.fourler 1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論的過(guò)程中提出并證明了周期信號(hào)可展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理。 泊松(Poisson)、高斯（Gauss）等人將這一理論引入電學(xué)中，并得到廣泛應(yīng)用。 進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路，濾波器，正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的天地。 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程應(yīng)用中，傅里葉分析具有很多優(yōu)點(diǎn)。 FFT快速傅里葉變換為傅里葉分析賦予了新的生命力。,第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),一、矢量正交與正交分解,時(shí)域分析的要點(diǎn)是，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其內(nèi)積為0。即,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為正交矢量集,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集,1. 定義：,定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和 2(t),若滿足,(兩函數(shù)的內(nèi)積為0),則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。,2. 正交函數(shù)集：,若n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),3. 完備正交函數(shù)集：,如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函數(shù)(t)(0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。,( i =1，2，n),4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),三、信號(hào)的正交分解,設(shè)有n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。,通常使均方誤差最小。均方誤差為,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),為使上式最小,展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫(xiě)為,即,所以系數(shù),4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）,在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有,上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。,函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),小結(jié)：,巴塞瓦爾(Parseval)公式：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。,函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),4.2 傅里葉級(jí)數(shù),一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),由積分可知,由,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù),系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù),可見(jiàn)， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。,2 周期信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù),4.2 傅里葉級(jí)數(shù),式中，A0 = a0,上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。,可見(jiàn)An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),二、波形的對(duì)稱性與諧波特性,1 .f(t)為偶函數(shù)對(duì)稱縱坐標(biāo),bn =0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。,2 .f(t)為奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn),an =0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),3 .f(t)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4 .f(t)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即 a1=a3=b1=b3=0,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式,三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。可從三角形式推出： 利用,虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是區(qū)間 (t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),上式中第三項(xiàng)的n用n代換，A n=An， n= n， 則上式寫(xiě)為,令A(yù)0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),令復(fù)數(shù),稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度為Fn 。其中 F0 = A0/2為直流分量。,4.2 傅里葉級(jí)數(shù),四、周期信號(hào)的功率Parseval等式,表明：對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率等于頻域中直流功率與各次諧波功率之和。,周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為,4.3 周期信號(hào)的頻譜,4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn),一、信號(hào)頻譜的概念,周期信號(hào)可分解為一系列正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和，即,4.3 周期信號(hào)的頻譜,4.3 周期信號(hào)的頻譜,例：周期信號(hào) f(t) = 試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，畫(huà)出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。,解 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即,顯然1是該信號(hào)的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12,4.3 周期信號(hào)的頻譜,是f(t)的/4/12 =3次諧波分量；,是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；,畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖,對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率，只有數(shù)學(xué)意義，而無(wú)實(shí)際的 物理意義。為什么引入負(fù)頻率？,根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為,4.3 周期信號(hào)的頻譜,二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn),舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）,4.3 周期信號(hào)的頻譜, n = 0 ,1，2，,1) 包絡(luò)線形狀為抽樣函數(shù)。,4.3 周期信號(hào)的頻譜,譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：,(a) T一定，變小，此時(shí)= 2/T （譜線間隔）不變,零點(diǎn)位置變寬。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多。 (b) 一定，T增大，零點(diǎn)位置不變，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。,特點(diǎn)： (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。,4.4 傅里葉變換,4.4 非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換,一、傅里葉變換,非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。 為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令,(單位頻率上的頻譜）,稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。,4.4 傅里葉變換,考慮到：T，無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時(shí)， ,于是，,傅里葉變換式,傅里葉反變換式,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。 f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。,根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù),4.4 傅里葉變換,也可簡(jiǎn)記為,F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),說(shuō)明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分,4.4 傅里葉變換,二、常用函數(shù)的傅里葉變換,單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et(t)， 0實(shí)數(shù),2. 雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0,4.4 傅里葉變換,3. 門函數(shù)(矩形脈沖),4. 沖激函數(shù)(t)、(t),4.4 傅里葉變換,5. 常數(shù)1,有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近f