熱力學(xué)教案及課件.ppt

,云南師范大學(xué)物理與電子 信息學(xué)院理論物理教研組,統(tǒng)計物理 Statistical Physics,熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)的研究方法,熱力學(xué)是熱運動的宏觀理論。以實驗總結(jié)的定律出發(fā),經(jīng)過嚴密的邏輯推理得到物體宏觀熱性質(zhì)間的聯(lián)系,宏觀過程進行的方向和限度,從而揭示熱現(xiàn)象的有關(guān)規(guī)律。 統(tǒng)計物理是熱運動的微觀理論. 認為宏觀物質(zhì)系統(tǒng)由大量微觀粒子組成.宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子的集體表現(xiàn), 宏觀熱力學(xué)量則是相應(yīng)微觀力學(xué)量的統(tǒng)計平均值。,微觀粒子,觀察和實驗,出 發(fā) 點,熱力學(xué)驗證統(tǒng)計物理學(xué)，統(tǒng)計物理學(xué)揭示熱力學(xué)本質(zhì),二者關(guān)系,無法自我驗證,不深刻,缺 點,揭露本質(zhì),普遍，可靠,優(yōu) 點,統(tǒng)計平均方法 力學(xué)規(guī)律,總結(jié)歸納 邏輯推理,方 法,微觀量,宏觀量,物 理 量,熱現(xiàn)象,熱現(xiàn)象,研究對象,微觀理論 （統(tǒng)計物理學(xué)）,宏觀理論 （熱力學(xué)）,動力學(xué)規(guī)律: 確定性的理論. 在一定的初始條件下,某一時刻系統(tǒng)必然處于一定狀態(tài). 統(tǒng)計規(guī)律: 非確定性的理論. 由于宏觀系統(tǒng)中粒子數(shù)的巨大和粒子相互作用的隨即性,無法跟蹤單個粒子進行研究,也使得系統(tǒng)整體具有了不能歸結(jié)為單個粒子行為簡單疊加的新性質(zhì)和新規(guī)律,即統(tǒng)計性質(zhì)和統(tǒng)計規(guī)律.,伽爾頓板實驗,統(tǒng)計規(guī)律性的特點 (1)對大量隨機事件整體起作用,對少量粒子組成的系統(tǒng)失去意義. (2)在一定的宏觀條件下,某一時刻系統(tǒng)處在哪一個 微觀態(tài)是偶然的,但處于某一微觀態(tài)的概率是確定的.改變宏觀條件,不僅微觀態(tài)發(fā)生變化,而且系統(tǒng)處在一微觀態(tài)的概率也隨之改變.,統(tǒng)計規(guī)律性的特點 (3)統(tǒng)計規(guī)律永遠伴隨著漲落. (4)宏觀系統(tǒng)的演化是不可逆的,過去和將來不等價, 即統(tǒng)計規(guī)律性對時間反演是不對稱的.,第六章 近獨立粒子的最概然分布,6.1 粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述,一.粒子的狀態(tài)描述,粒子是指組成物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。 粒子的運動狀態(tài)是指它的力學(xué)運動狀態(tài)。 如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。 如果粒子遵從量子力學(xué)的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為量子描述。,粒子的自由度數(shù)r 能夠完全確定質(zhì)點空間位置的獨立坐標數(shù)目. 自由度為r的一個微觀粒子的微觀運動狀態(tài)由2r個廣義坐標和廣義動量確定。,空間中任何一點代表力學(xué)體系中一個粒子的一個運動狀態(tài)，這個點稱為代表點。當(dāng)粒子運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應(yīng)地在空間中移動，描畫出一條軌跡。,一、自由粒子,自由度： 3 空間維數(shù)：6,能量：,能量球,軌跡： 以一維自由粒子為例，以 為直角坐標，構(gòu)成二維的 空間，設(shè)一維容器的長度為 。粒子的一個運動狀態(tài) 可以用 空間在一定范圍內(nèi)的一點代表。,能量：,二、線性諧振子,自由度： 1 空間維數(shù)：2,能量橢圓,質(zhì)量為 的粒子在彈性力 作用下,將在原點附近作圓頻率為 的簡諧振動，稱為線性諧振子。,三、轉(zhuǎn)子 考慮質(zhì)量為 的質(zhì)點被具有一定長度的輕桿系于原點 時所作的運動。,質(zhì)點在直角坐標下的能量：,用球坐標表示，,考慮質(zhì)點和原點的距離保持不變，,考慮質(zhì)點和原點的距離保持不變 ，于是,考慮質(zhì)點和原點的距離保持不變，,考慮質(zhì)點和原點的距離保持不變,自由度： 2,空間維數(shù)：4,廣義坐標：,廣義動量：,能量：,雙原子分子的力學(xué)模型： 將雙原子分子看作一根細棒的兩端聯(lián)結(jié)著質(zhì)量為 和 的兩個質(zhì)點繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。然后將兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題，即將公式中的 換成約化質(zhì)量,根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，在沒有外力作用的情形下， 轉(zhuǎn)子的總角動量 是一個守恒量，其大小 和時間都不隨時間改變。由于 垂直于 ，質(zhì)點 的運動是在垂直于 的平面內(nèi)運動。如果選擇 軸 平行于 ，質(zhì)點的運動必在 平面上， 這時 能量簡化為,6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述,微觀粒子普遍具有波粒二象性（粒子性與波動性）,德布羅意關(guān)系：,測不準關(guān)系,其中,都稱為普朗克常數(shù)。,微觀粒子不可能同時有確定的動量和坐標，這生動地說明微觀粒子的運動不是軌道運動。微觀粒子的運動狀態(tài)不是用坐標和動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。 微觀粒子的能量是不連續(xù)的,稱為能級.如果一個能級的量子態(tài)不止一個，該能級就稱為簡并的。一個能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度。如果一個能級只有量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。,普朗克常數(shù) 時間能量=長度動量=角動量 這樣一個物理量通常稱為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。這個作用量子常作為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。 當(dāng)一個物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與普朗克常數(shù)相比擬的數(shù)值時，這個物質(zhì)系統(tǒng)就是量子系統(tǒng)。反之，如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個具有作用量綱的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時，這個系統(tǒng)就可以用經(jīng)典力學(xué)來研究。,葉企孫小傳 葉企孫，男，漢族，教授。著名物理學(xué)家、教育家。上海人。1918年6月清華學(xué)校畢業(yè)留美，1923年獲哈佛大學(xué)博士學(xué)位。1925年后歷任清華大學(xué)教授、物理學(xué)系主任、理學(xué)院院長，西南聯(lián)合大學(xué)教授、理學(xué)院院長，清華大學(xué)校務(wù)委員會主任委員。1952年院系調(diào)整時調(diào)入北京大學(xué)。他還是中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員、常委。,前排右起依次為葉企孫、張奚若、陳毅、吳晗。后排右起為潘光旦、張子高、周培源,他在30年代創(chuàng)建了頗負盛名的清華物理學(xué)系和理學(xué)院，聘請名教授來校，實行“理論與實驗并重，重質(zhì)而不重量“的辦學(xué)方針，培養(yǎng)出一批高質(zhì)量的人才，對我國科學(xué)事業(yè)發(fā)展和清華大學(xué)在短期內(nèi)躋身于名大學(xué)之林作出重要貢獻。他在主持清華大學(xué)校務(wù)委員會期間，和校黨委密切配合，貫徹黨和政府對高等教育有步驟的進行改造的方針和院系調(diào)整的措施。,23位兩彈一星功勛獎?wù)芦@得者，半數(shù)以上是他的學(xué)生。121運動負責(zé)與政府交涉開追悼會；破格提拔華羅庚；邀請朗之萬、狄拉克和玻爾訪華；中國物理學(xué)會設(shè)立葉企孫物理學(xué)獎（固體物理）。早在讀博士時，他就以論文普朗克（Planck）常數(shù)的測定而名聲大噪。 文革中，葉企孫便被誣為特務(wù)頭子。1977年1月葉企孫含冤去世。,一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit),電子、質(zhì)子、中子等粒子具有內(nèi)稟角動量（自旋） 和內(nèi)稟磁矩,關(guān)系為,自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取兩個值,在外場B中的勢能為,在外場B中的磁矩為,二、線性諧振子,圓頻率為 的線性諧振子的能量可能值為,所有能級等間距，均為 。能級為非簡并。,三、轉(zhuǎn)子,所以：,基態(tài)非簡并，激發(fā)態(tài)簡并，簡并度：,轉(zhuǎn)子的能量,量子理論要求,四、自由粒子,一維自由粒子,考慮處于長度為 的一維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。周期性邊界條件要求粒子可能的運動狀態(tài)，其德布羅意波長 滿足,因此，一維自由粒子的量子數(shù)：1個,基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為二度簡并。,三維自由粒子,考慮處于長度為 的三維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。 假設(shè)此粒子限制在一個邊長為L的方盒子中運動，仿照一維粒子的情形，該粒子在三個方向動量的可能值為,量子數(shù)：3個,基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為6度簡并。,能量的可能值為,（1）在微觀體積下，粒子的動量值和能量值的分離性很顯著，粒子運動狀態(tài)由三個量子數(shù)表征。,對于,有六個量子態(tài)與之對應(yīng)，,所以該能級為六度簡并，而基態(tài)為非簡并。,能量值決定于,（2）在宏觀體積下，粒子的動量值和能量值是準連續(xù)的，這時往往考慮在體積 內(nèi)，在一定的動量范圍內(nèi)的自由粒子量子態(tài)數(shù)。,求V=L3內(nèi)在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz間的自由粒子的量子態(tài)數(shù)與態(tài)密度。,在V=L3內(nèi)，Px到Px+dPx， Py到Py+dPy，Pz到Pz+dPz間可能的Px， Py， Pz的數(shù)目為,在V=L3內(nèi)，符合上式的量子態(tài)數(shù)：,微觀粒子的運動必須遵守測不準關(guān)系，不可能同時具有確定的動量和坐標，所以量子態(tài)不能用空間的一點來描述，如果硬要沿用廣義坐標和廣義動量來描述量子態(tài)，那么一個狀態(tài)必然對應(yīng)于 空間中的一個體積元，而不是一個點，這個體積元稱為量子相格。自由度為1的粒子，相格大小為普朗克常數(shù) 如果自由度為,相格大小為,采用球極坐標，用,代替,因此 的含義為 中的量子態(tài)數(shù)。,表示單位能量間隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，稱為態(tài) 密度。如果粒子的自旋不為零，以上量子態(tài)數(shù)公式需乘 以2。,6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述,一.全同粒子與近獨立粒子,1）全同粒子,2）近獨立粒子,全同粒子是可以分辨的（因為經(jīng)典粒子的 運動是軌道運動，原則上是可以被跟蹤的）。 如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個粒 子的運動狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力 學(xué)運動狀態(tài)是不同的。,二.經(jīng)典物理中系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述,1）可分辨 （可跟蹤的經(jīng)典軌道運動）,2）描述方式： 代數(shù)方法,單個粒子的經(jīng)典運動狀態(tài)，由 個廣義坐標和 個廣義動量來描述，當(dāng)組成系統(tǒng)的 個粒子在某 一時刻的運動狀態(tài)都確定時，也就確定了整個 系統(tǒng)的在該時刻的運動狀態(tài)。因此確定系統(tǒng)的 微觀運動狀態(tài)需要 這 個變量來確定。,用 空間中N個點描述,一個粒子在某時刻的力學(xué)運動狀態(tài)可以在 空間中用一個點表示，由N個全同粒子組成的 系統(tǒng)在某時刻的微觀運動狀態(tài)可以在空間中用 N個點表示，那么如果交換兩個代表點在空間 的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。,3）.玻色子與費米子,b）玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子或 復(fù)合粒子。 如：光子、介子等。,a)費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子或復(fù) 合粒子。如：電子、質(zhì)子、中子等。,c）復(fù)合粒子的分類 ：凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由奇數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費米子。,如， 原子、 核、 核、 原子為玻色子,原子、 核、 核、 原子為費米子,d）泡利不相容原理： 對于含有多個全同近獨立的費米子的系統(tǒng)中， 一個個體量子態(tài)最多能容納一個費米子。,費米子遵從泡利不相容原理，即在含有多個 全同近獨立費米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個個體量 子態(tài)的費米子不可能超過一個，而玻色子構(gòu)成 的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費米子和 玻色子遵從不同的統(tǒng)計。,4）玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng),玻耳茲曼系統(tǒng): 由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處 在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。,玻色系統(tǒng): 把由不可分辨的全同近獨立的玻色粒子組成，不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。,費米系統(tǒng): 把由不可分辨的全同近獨立的費米粒子組成，受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個粒子的系統(tǒng)稱作費米系統(tǒng)。,設(shè)系統(tǒng)由兩個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果這兩個粒子分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)時，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？,對于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài),對于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)。,對于費米系統(tǒng)，可以有3個不同的微觀狀態(tài)。,分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的兩個粒子占據(jù)三個量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù),經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué) 在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng) 典統(tǒng)計物理學(xué)。 量子經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué) 在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng) 典統(tǒng)計物理學(xué)。兩者在原理上相同，區(qū)別在于微 觀狀態(tài)的描述。,64 等概率原理 宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)的區(qū)別 宏觀狀態(tài)：平衡狀態(tài)下由一組參量表示，如N、 E、V。 微觀狀態(tài)：由廣義坐標和廣義動量或一組量子數(shù) 表示。 為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒必要也不可能追究微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化，只要知道各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計方法求微觀量的統(tǒng)計平均值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計物理的根本問題。,等概率原理： 對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V 的宏觀條件，沒有理由認為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。 等幾率原理是統(tǒng)計物理學(xué)中的一個合理的基本假設(shè)。該原理不能從更基本的原理推出，也不能直接從實驗上驗證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實際相符而得到肯定。,6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù),一. 分布,對于確定的宏觀狀態(tài)下，粒子數(shù)按能級的排列方式,能級：,簡并度：,粒子數(shù)：,確定的宏觀狀態(tài)滿足：,給定了一個分布，只能確定處在每一個能級上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個性質(zhì)不同的概念。,微觀狀態(tài)是粒子運動狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運動特征。例如：在某一能級上，假設(shè)有3個粒子，這三個粒子是如何占據(jù)該能級的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)。,就一個確定的分布而言，與它相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。不同的分布，有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。如上邊提到的分布 1，4，6和0，2，9， 它們分別有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。,三種統(tǒng)計的微觀狀態(tài)數(shù) 同一個分布對于玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài)數(shù)顯然是不同的，下面分別加以討論. 1 玻耳茲曼系統(tǒng) 粒子可以分辨，若對粒子加以編號，則 個粒子占據(jù)能級 上的 個量子態(tài)時，是彼此獨立、互不關(guān)聯(lián)的。分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,2 玻色系統(tǒng) 粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子個數(shù)不受限制。首先 個粒子占據(jù)能級 上的 個量子態(tài)有種 可能方式。將各種能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,3 費米系統(tǒng)： 粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。 個粒子占據(jù)能級 上的個 量子態(tài)，相當(dāng)于從 個量子態(tài)中挑出 個來為粒子所占據(jù)，有種可能的方式,將各能級的結(jié)果相乘，就得到費米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,經(jīng)典極限條件 如果在玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)中，任一能級上的粒子數(shù)均遠小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即 （對所有能級） 稱為滿足經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件。經(jīng)典極限條件表示，在所有的能級，粒子數(shù)都遠小于量子態(tài)數(shù)。,此時有：,在玻色和費米系統(tǒng)中， 個粒子占據(jù)能級 上的 個量子態(tài)時本來是存在關(guān)聯(lián)的，但在滿足 經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個量子態(tài)上的粒 子數(shù)遠小于1，粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略。這時， 全同性的影響只表現(xiàn)在因子 上。,經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù) 對于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對坐標和動量的測量總存在一定的誤差，假設(shè) ，這時經(jīng)典系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)不能用一個點表示，而必須用一個體積元表示，該體積元的大小 表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在 空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里 由測量精度決定，最小值為普朗克常量。,現(xiàn)將 空間劃分為許多體積元 ，以 表示運動狀態(tài)處在 內(nèi)的粒子所具有的能量， 內(nèi)粒子的運動狀態(tài)數(shù)為 這樣， 個粒子處在各 的分布可表示為,能級：,簡并度：,粒子數(shù)：,體 積 元:,由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個相格內(nèi)的粒子個數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律，所以與分布 相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,玻耳茲曼系統(tǒng),玻色系統(tǒng),費米系統(tǒng),經(jīng)典系統(tǒng),微觀狀態(tài),6.6 玻耳茲曼分布 在上一講中，我們得到了與一個分布相對應(yīng) 的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。而且舉例說明了對于一個 孤立系統(tǒng)的約束條件不變的條件下，即E、N、 V=Const。對于不同的分布系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不 同的?？赡艽嬖谶@樣一個分布，它使系統(tǒng)的微觀狀 態(tài)數(shù)最多。,根據(jù)等幾率原理，對處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾率是相等的。因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,三種分布的推導(dǎo) 斯太林公式： 當(dāng)足夠大時,第二項與第一項相比可以忽略.這時,玻耳茲曼分布,兩邊取對數(shù)得：,若假設(shè)N1，al1 ， l1,可得到：,對,兩邊關(guān)于,求變分，,但這些,不完全是獨立的，必須滿足約束條件：,則必須滿足：,為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗日乘數(shù)法， 取未定因子為a和分別乘以上面兩式，有,令,從中減去前兩式,則有：,即，,玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為,的量子態(tài),上的平均粒子數(shù),a和分別由下面條件決定,上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布， 稱為玻耳茲曼分布。 a和分別由下面條件決定,說明 （1）,取極大值的條件不僅要求,同時要求,證明：對,關(guān)于,再求變分，有,所以滿足取極大值的條件。,（2）一個處在宏觀平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)可能