熱力學(xué)教案及課件.ppt

,云南師范大學(xué)物理與電子 信息學(xué)院理論物理教研組,統(tǒng)計(jì)物理 Statistical Physics,熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法,熱力學(xué)是熱運(yùn)動(dòng)的宏觀理論。以實(shí)驗(yàn)總結(jié)的定律出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理得到物體宏觀熱性質(zhì)間的聯(lián)系,宏觀過程進(jìn)行的方向和限度,從而揭示熱現(xiàn)象的有關(guān)規(guī)律。 統(tǒng)計(jì)物理是熱運(yùn)動(dòng)的微觀理論. 認(rèn)為宏觀物質(zhì)系統(tǒng)由大量微觀粒子組成.宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子的集體表現(xiàn), 宏觀熱力學(xué)量則是相應(yīng)微觀力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)平均值。,微觀粒子,觀察和實(shí)驗(yàn),出 發(fā) 點(diǎn),熱力學(xué)驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)物理學(xué)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)揭示熱力學(xué)本質(zhì),二者關(guān)系,無法自我驗(yàn)證,不深刻,缺 點(diǎn),揭露本質(zhì),普遍，可靠,優(yōu) 點(diǎn),統(tǒng)計(jì)平均方法 力學(xué)規(guī)律,總結(jié)歸納 邏輯推理,方 法,微觀量,宏觀量,物 理 量,熱現(xiàn)象,熱現(xiàn)象,研究對象,微觀理論 （統(tǒng)計(jì)物理學(xué)）,宏觀理論 （熱力學(xué)）,動(dòng)力學(xué)規(guī)律: 確定性的理論. 在一定的初始條件下,某一時(shí)刻系統(tǒng)必然處于一定狀態(tài). 統(tǒng)計(jì)規(guī)律: 非確定性的理論. 由于宏觀系統(tǒng)中粒子數(shù)的巨大和粒子相互作用的隨即性,無法跟蹤單個(gè)粒子進(jìn)行研究,也使得系統(tǒng)整體具有了不能歸結(jié)為單個(gè)粒子行為簡單疊加的新性質(zhì)和新規(guī)律,即統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律.,伽爾頓板實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的特點(diǎn) (1)對大量隨機(jī)事件整體起作用,對少量粒子組成的系統(tǒng)失去意義. (2)在一定的宏觀條件下,某一時(shí)刻系統(tǒng)處在哪一個(gè) 微觀態(tài)是偶然的,但處于某一微觀態(tài)的概率是確定的.改變宏觀條件,不僅微觀態(tài)發(fā)生變化,而且系統(tǒng)處在一微觀態(tài)的概率也隨之改變.,統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的特點(diǎn) (3)統(tǒng)計(jì)規(guī)律永遠(yuǎn)伴隨著漲落. (4)宏觀系統(tǒng)的演化是不可逆的,過去和將來不等價(jià), 即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性對時(shí)間反演是不對稱的.,第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布,6.1 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述,一.粒子的狀態(tài)描述,粒子是指組成物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。 粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是指它的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。 如果粒子遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為量子描述。,粒子的自由度數(shù)r 能夠完全確定質(zhì)點(diǎn)空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目. 自由度為r的一個(gè)微觀粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由2r個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量確定。,空間中任何一點(diǎn)代表力學(xué)體系中一個(gè)粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在空間中移動(dòng)，描畫出一條軌跡。,一、自由粒子,自由度： 3 空間維數(shù)：6,能量：,能量球,軌跡： 以一維自由粒子為例，以 為直角坐標(biāo)，構(gòu)成二維的 空間，設(shè)一維容器的長度為 。粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 可以用 空間在一定范圍內(nèi)的一點(diǎn)代表。,能量：,二、線性諧振子,自由度： 1 空間維數(shù)：2,能量橢圓,質(zhì)量為 的粒子在彈性力 作用下,將在原點(diǎn)附近作圓頻率為 的簡諧振動(dòng)，稱為線性諧振子。,三、轉(zhuǎn)子 考慮質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)被具有一定長度的輕桿系于原點(diǎn) 時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)。,質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的能量：,用球坐標(biāo)表示，,考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變，,考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變 ，于是,考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變，,考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變,自由度： 2,空間維數(shù)：4,廣義坐標(biāo)：,廣義動(dòng)量：,能量：,雙原子分子的力學(xué)模型： 將雙原子分子看作一根細(xì)棒的兩端聯(lián)結(jié)著質(zhì)量為 和 的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。然后將兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題，即將公式中的 換成約化質(zhì)量,根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，在沒有外力作用的情形下， 轉(zhuǎn)子的總角動(dòng)量 是一個(gè)守恒量，其大小 和時(shí)間都不隨時(shí)間改變。由于 垂直于 ，質(zhì)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)是在垂直于 的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。如果選擇 軸 平行于 ，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)必在 平面上， 這時(shí) 能量簡化為,6.2 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,微觀粒子普遍具有波粒二象性（粒子性與波動(dòng)性）,德布羅意關(guān)系：,測不準(zhǔn)關(guān)系,其中,都稱為普朗克常數(shù)。,微觀粒子不可能同時(shí)有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)，這生動(dòng)地說明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng)。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。 微觀粒子的能量是不連續(xù)的,稱為能級.如果一個(gè)能級的量子態(tài)不止一個(gè)，該能級就稱為簡并的。一個(gè)能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度。如果一個(gè)能級只有量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。,普朗克常數(shù) 時(shí)間能量=長度動(dòng)量=角動(dòng)量 這樣一個(gè)物理量通常稱為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。這個(gè)作用量子常作為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。 當(dāng)一個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與普朗克常數(shù)相比擬的數(shù)值時(shí)，這個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)就是量子系統(tǒng)。反之，如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個(gè)具有作用量綱的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)就可以用經(jīng)典力學(xué)來研究。,葉企孫小傳 葉企孫，男，漢族，教授。著名物理學(xué)家、教育家。上海人。1918年6月清華學(xué)校畢業(yè)留美，1923年獲哈佛大學(xué)博士學(xué)位。1925年后歷任清華大學(xué)教授、物理學(xué)系主任、理學(xué)院院長，西南聯(lián)合大學(xué)教授、理學(xué)院院長，清華大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主任委員。1952年院系調(diào)整時(shí)調(diào)入北京大學(xué)。他還是中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員、常委。,前排右起依次為葉企孫、張奚若、陳毅、吳晗。后排右起為潘光旦、張子高、周培源,他在30年代創(chuàng)建了頗負(fù)盛名的清華物理學(xué)系和理學(xué)院，聘請名教授來校，實(shí)行“理論與實(shí)驗(yàn)并重，重質(zhì)而不重量“的辦學(xué)方針，培養(yǎng)出一批高質(zhì)量的人才，對我國科學(xué)事業(yè)發(fā)展和清華大學(xué)在短期內(nèi)躋身于名大學(xué)之林作出重要貢獻(xiàn)。他在主持清華大學(xué)校務(wù)委員會(huì)期間，和校黨委密切配合，貫徹黨和政府對高等教育有步驟的進(jìn)行改造的方針和院系調(diào)整的措施。,23位兩彈一星功勛獎(jiǎng)?wù)芦@得者，半數(shù)以上是他的學(xué)生。121運(yùn)動(dòng)負(fù)責(zé)與政府交涉開追悼會(huì)；破格提拔華羅庚；邀請朗之萬、狄拉克和玻爾訪華；中國物理學(xué)會(huì)設(shè)立葉企孫物理學(xué)獎(jiǎng)（固體物理）。早在讀博士時(shí)，他就以論文普朗克（Planck）常數(shù)的測定而名聲大噪。 文革中，葉企孫便被誣為特務(wù)頭子。1977年1月葉企孫含冤去世。,一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit),電子、質(zhì)子、中子等粒子具有內(nèi)稟角動(dòng)量（自旋） 和內(nèi)稟磁矩,關(guān)系為,自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)值,在外場B中的勢能為,在外場B中的磁矩為,二、線性諧振子,圓頻率為 的線性諧振子的能量可能值為,所有能級等間距，均為 。能級為非簡并。,三、轉(zhuǎn)子,所以：,基態(tài)非簡并，激發(fā)態(tài)簡并，簡并度：,轉(zhuǎn)子的能量,量子理論要求,四、自由粒子,一維自由粒子,考慮處于長度為 的一維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。周期性邊界條件要求粒子可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其德布羅意波長 滿足,因此，一維自由粒子的量子數(shù)：1個(gè),基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為二度簡并。,三維自由粒子,考慮處于長度為 的三維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 假設(shè)此粒子限制在一個(gè)邊長為L的方盒子中運(yùn)動(dòng)，仿照一維粒子的情形，該粒子在三個(gè)方向動(dòng)量的可能值為,量子數(shù)：3個(gè),基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為6度簡并。,能量的可能值為,（1）在微觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值的分離性很顯著，粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由三個(gè)量子數(shù)表征。,對于,有六個(gè)量子態(tài)與之對應(yīng)，,所以該能級為六度簡并，而基態(tài)為非簡并。,能量值決定于,（2）在宏觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值是準(zhǔn)連續(xù)的，這時(shí)往往考慮在體積 內(nèi)，在一定的動(dòng)量范圍內(nèi)的自由粒子量子態(tài)數(shù)。,求V=L3內(nèi)在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz間的自由粒子的量子態(tài)數(shù)與態(tài)密度。,在V=L3內(nèi)，Px到Px+dPx， Py到Py+dPy，Pz到Pz+dPz間可能的Px， Py， Pz的數(shù)目為,在V=L3內(nèi)，符合上式的量子態(tài)數(shù)：,微觀粒子的運(yùn)動(dòng)必須遵守測不準(zhǔn)關(guān)系，不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)，所以量子態(tài)不能用空間的一點(diǎn)來描述，如果硬要沿用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量來描述量子態(tài)，那么一個(gè)狀態(tài)必然對應(yīng)于 空間中的一個(gè)體積元，而不是一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)體積元稱為量子相格。自由度為1的粒子，相格大小為普朗克常數(shù) 如果自由度為,相格大小為,采用球極坐標(biāo)，用,代替,因此 的含義為 中的量子態(tài)數(shù)。,表示單位能量間隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，稱為態(tài) 密度。如果粒子的自旋不為零，以上量子態(tài)數(shù)公式需乘 以2。,6.3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述,一.全同粒子與近獨(dú)立粒子,1）全同粒子,2）近獨(dú)立粒子,全同粒子是可以分辨的（因?yàn)榻?jīng)典粒子的 運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以被跟蹤的）。 如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個(gè)粒 子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力 學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。,二.經(jīng)典物理中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述,1）可分辨 （可跟蹤的經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)）,2）描述方式： 代數(shù)方法,單個(gè)粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由 個(gè)廣義坐標(biāo)和 個(gè)廣義動(dòng)量來描述，當(dāng)組成系統(tǒng)的 個(gè)粒子在某 一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都確定時(shí)，也就確定了整個(gè) 系統(tǒng)的在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此確定系統(tǒng)的 微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要 這 個(gè)變量來確定。,用 空間中N個(gè)點(diǎn)描述,一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在 空間中用一個(gè)點(diǎn)表示，由N個(gè)全同粒子組成的 系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在空間中用 N個(gè)點(diǎn)表示，那么如果交換兩個(gè)代表點(diǎn)在空間 的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。,3）.玻色子與費(fèi)米子,b）玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子或 復(fù)合粒子。 如：光子、介子等。,a)費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子或復(fù) 合粒子。如：電子、質(zhì)子、中子等。,c）復(fù)合粒子的分類 ：凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費(fèi)米子。,如， 原子、 核、 核、 原子為玻色子,原子、 核、 核、 原子為費(fèi)米子,d）泡利不相容原理： 對于含有多個(gè)全同近獨(dú)立的費(fèi)米子的系統(tǒng)中， 一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多能容納一個(gè)費(fèi)米子。,費(fèi)米子遵從泡利不相容原理，即在含有多個(gè) 全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個(gè)個(gè)體量 子態(tài)的費(fèi)米子不可能超過一個(gè)，而玻色子構(gòu)成 的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費(fèi)米子和 玻色子遵從不同的統(tǒng)計(jì)。,4）玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng),玻耳茲曼系統(tǒng): 由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成，且處 在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。,玻色系統(tǒng): 把由不可分辨的全同近獨(dú)立的玻色粒子組成，不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。,費(fèi)米系統(tǒng): 把由不可分辨的全同近獨(dú)立的費(fèi)米粒子組成，受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個(gè)粒子的系統(tǒng)稱作費(fèi)米系統(tǒng)。,設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成，粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè)，如果這兩個(gè)粒子分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)時(shí)，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？,對于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài),對于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)。,對于費(fèi)米系統(tǒng)，可以有3個(gè)不同的微觀狀態(tài)。,分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的兩個(gè)粒子占據(jù)三個(gè)量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù),經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為經(jīng) 典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。 量子經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為經(jīng) 典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。兩者在原理上相同，區(qū)別在于微 觀狀態(tài)的描述。,64 等概率原理 宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)的區(qū)別 宏觀狀態(tài)：平衡狀態(tài)下由一組參量表示，如N、 E、V。 微觀狀態(tài)：由廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量或一組量子數(shù) 表示。 為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒必要也不可能追究微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化，只要知道各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計(jì)方法求微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理的根本問題。,等概率原理： 對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V 的宏觀條件，沒有理由認(rèn)為哪一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。 等幾率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)合理的基本假設(shè)。該原理不能從更基本的原理推出，也不能直接從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實(shí)際相符而得到肯定。,6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù),一. 分布,對于確定的宏觀狀態(tài)下，粒子數(shù)按能級的排列方式,能級：,簡并度：,粒子數(shù)：,確定的宏觀狀態(tài)滿足：,給定了一個(gè)分布，只能確定處在每一個(gè)能級上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個(gè)性質(zhì)不同的概念。,微觀狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運(yùn)動(dòng)特征。例如：在某一能級上，假設(shè)有3個(gè)粒子，這三個(gè)粒子是如何占據(jù)該能級的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)。,就一個(gè)確定的分布而言，與它相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。不同的分布，有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。如上邊提到的分布 1，4，6和0，2，9， 它們分別有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。,三種統(tǒng)計(jì)的微觀狀態(tài)數(shù) 同一個(gè)分布對于玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài)數(shù)顯然是不同的，下面分別加以討論. 1 玻耳茲曼系統(tǒng) 粒子可以分辨，若對粒子加以編號，則 個(gè)粒子占據(jù)能級 上的 個(gè)量子態(tài)時(shí)，是彼此獨(dú)立、互不關(guān)聯(lián)的。分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,2 玻色系統(tǒng) 粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)能容納的粒子個(gè)數(shù)不受限制。首先 個(gè)粒子占據(jù)能級 上的 個(gè)量子態(tài)有種 可能方式。將各種能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,3 費(fèi)米系統(tǒng)： 粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。 個(gè)粒子占據(jù)能級 上的個(gè) 量子態(tài)，相當(dāng)于從 個(gè)量子態(tài)中挑出 個(gè)來為粒子所占據(jù)，有種可能的方式,將各能級的結(jié)果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,經(jīng)典極限條件 如果在玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中，任一能級上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即 （對所有能級） 稱為滿足經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件。經(jīng)典極限條件表示，在所有的能級，粒子數(shù)都遠(yuǎn)小于量子態(tài)數(shù)。,此時(shí)有：,在玻色和費(fèi)米系統(tǒng)中， 個(gè)粒子占據(jù)能級 上的 個(gè)量子態(tài)時(shí)本來是存在關(guān)聯(lián)的，但在滿足 經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個(gè)量子態(tài)上的粒 子數(shù)遠(yuǎn)小于1，粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略。這時(shí)， 全同性的影響只表現(xiàn)在因子 上。,經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù) 對于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對坐標(biāo)和動(dòng)量的測量總存在一定的誤差，假設(shè) ，這時(shí)經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用一個(gè)點(diǎn)表示，而必須用一個(gè)體積元表示，該體積元的大小 表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在 空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里 由測量精度決定，最小值為普朗克常量。,現(xiàn)將 空間劃分為許多體積元 ，以 表示運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在 內(nèi)的粒子所具有的能量， 內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為 這樣， 個(gè)粒子處在各 的分布可表示為,能級：,簡并度：,粒子數(shù)：,體 積 元:,由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個(gè)相格內(nèi)的粒子個(gè)數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以與分布 相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,玻耳茲曼系統(tǒng),玻色系統(tǒng),費(fèi)米系統(tǒng),經(jīng)典系統(tǒng),微觀狀態(tài),6.6 玻耳茲曼分布 在上一講中，我們得到了與一個(gè)分布相對應(yīng) 的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。而且舉例說明了對于一個(gè) 孤立系統(tǒng)的約束條件不變的條件下，即E、N、 V=Const。對于不同的分布系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不 同的?？赡艽嬖谶@樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的微觀狀 態(tài)數(shù)最多。,根據(jù)等幾率原理，對處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個(gè)可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾率是相等的。因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,三種分布的推導(dǎo) 斯太林公式： 當(dāng)足夠大時(shí),第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比可以忽略.這時(shí),玻耳茲曼分布,兩邊取對數(shù)得：,若假設(shè)N1，al1 ， l1,可得到：,對,兩邊關(guān)于,求變分，,但這些,不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束條件：,則必須滿足：,為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗日乘數(shù)法， 取未定因子為a和分別乘以上面兩式，有,令,從中減去前兩式,則有：,即，,玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為,的量子態(tài),上的平均粒子數(shù),a和分別由下面條件決定,上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布， 稱為玻耳茲曼分布。 a和分別由下面條件決定,說明 （1）,取極大值的條件不僅要求,同時(shí)要求,證明：對,關(guān)于,再求變分，有,所以滿足取極大值的條件。,（2）一個(gè)處在宏觀平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)可能