函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(15).pptVIP

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性,一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少,由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)單調(diào)增加,證明 只證(1),在(a b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1 x2(x1x2),函數(shù)yexx1的定義域?yàn)? ) 因?yàn)樵? 0)內(nèi) y0 所以函數(shù) yexx1在0 )上單 調(diào)增加,解 yex1,例1 討論函數(shù) yex x1的單調(diào)性,解 函數(shù)的定義域?yàn)? ),所以函數(shù)在0 )上單調(diào)增加,因?yàn)閤0時(shí) y0,所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少,因?yàn)閤0時(shí) y0,(1)確定函數(shù)的定義域 (2)求出導(dǎo)數(shù)f (x) (3)求出f (x)全部零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) (4)判斷或列表判斷 (5)綜合結(jié)論,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟,例3. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,利用,劃分函數(shù)的定義域,列表討論.,例3. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,因?yàn)楫?dāng)x1時(shí) f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)單調(diào)增加,因此當(dāng)x1時(shí) f(x)f(1)=0 即,例5. 證明,時(shí), 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,定義 . 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有,則稱,圖形是凹的;,(2) 若恒有,則稱,連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn) 稱為拐點(diǎn) .,圖形是凸的 .,二、曲線的凹凸與拐點(diǎn),觀察與思考 觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.,定理2(曲線凹凸性的判定法),設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的,例6 判斷曲線yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí) y0 所以曲線在0 )內(nèi)是凹的 (0,0)是曲線的拐點(diǎn).,設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的,定理2(曲線凹凸性的判定法),例7. 判斷曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,注:,1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得拐點(diǎn)的判別法如下:,若曲線,或不存在,的一個(gè)拐點(diǎn).,則曲線的凹凸性不變 .,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),例8. 求曲線,的拐點(diǎn).,解:,不存在,因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點(diǎn) .,凹,凸,例9. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).,解:,1) 求,2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo),令,得,對(duì)應(yīng),3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,向上凸 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及,均為拐點(diǎn).,凹,凹,凸,例10. 證明不等式,證明 設(shè),則,當(dāng)n1時(shí);在(0,+),所以在(0,+)內(nèi), f(t)是凹函數(shù),所以對(duì)于任意的x,y 滿足,有,即,所以,內(nèi)容小結(jié),1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,在 I 上單調(diào)遞增,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別,拐點(diǎn), 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn),思考與練習(xí),上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,及,B,1. 設(shè)在,.,2. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點(diǎn)為,提示:,及,;,;,證明:,當(dāng),時(shí)