對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì).ppt

,一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對坐標的曲面積分的計算法,三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,105 對坐標的曲面積分,有向曲面、,流向曲面一側(cè)的流量,對坐標的曲面積分的定義、,對坐標的曲面積分的性質(zhì),計算公式,一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),有向曲面： 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的曲面的方向可以用曲面上 的單位法向量n cosa , cosb , cosg的方向來確定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)，,在曲面的上側(cè)cosg 0，,一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),有向曲面： 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的曲面的方向可以用曲面上 的單位法向量n cosa , cosb , cosg的方向來確定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)，,在曲面的上側(cè)cosg 0，,在曲面的下側(cè)cosg 0,g (,一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),有向曲面： 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的曲面的方向可以用曲面上 的單位法向量n cosa , cosb , cosg的方向來確定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)，在曲面的上 側(cè)cosg 0，在曲面的下側(cè)cosg 0,閉曲面分為內(nèi)側(cè)與外側(cè),類似地， 如果曲面的方程為yy(z, x)，則曲面分為左側(cè)與右 側(cè)，在曲面的右側(cè)cosb 0，在曲面的左側(cè)cosb 0,如果曲面的方程為xx(y, z)，則曲面分為前側(cè)與后側(cè)，在曲面 的前側(cè)cos a0，在曲面的后側(cè)cosa 0,流向曲面一側(cè)的流量：,設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由 V(x, y, z) P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) 給出，S是速度場中的一片有向曲面，函數(shù)P(x, y, z)、 Q(x, y, z)、 R(x, y, z)都在S上連續(xù)，求在單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的體 積，即流量m,V(x, y, z),顯然在t時間內(nèi)流過s 的是一個彎曲 的柱體,流向曲面一側(cè)的流量：,對于S上的一個小塊s，,它的體積近似于以s為底，而高為 (|V|t)cos(V,n)Vn t 的柱體的體積：Vn t S ，這里n cosa , cosb , cosg是s上的單 位法向量，S表示s的面積,V(x, y, z),顯然在t時間內(nèi)流過s 的是一個彎曲 的柱體,流向曲面一側(cè)的流量：,對于S上的一個小塊s，,它的體積近似于以s為底，而高為 (|V|t)cos(V,n)Vn t 的柱體的體積：Vn t S ，這里n cosa , cosb , cosg是s上的單 位法向量，S表示s的面積,所以單位時間內(nèi)流向s 指定側(cè)的流 體的流量近似于 V n S P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg S ,流向曲面一側(cè)的流量：,對于S上的一個小塊s，單位時間內(nèi)流向s 指定側(cè)的流體的流 量近似于 V n S P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg S ,舍去流體這個具體的物理內(nèi)容，我們就抽象出如下對坐標的 曲面積分的概念,按對面積的曲面積分的定義，在單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流量,對坐標的曲面積分的定義：,設(shè)S是空間內(nèi)一個光滑的曲面，n cosa , cosb , cosg是其上 的單位法向量，V(x, y, z) P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)是確 定在S上的向量場如果下列各式右端的積分存在，我們定義,并分別稱為P在曲面S上對坐標y、z的曲面積分， Q在曲面S上對 坐標z、x的曲面積分，R 在曲面S上對坐標y、z的曲面積分其中 P、Q、R叫做被積函數(shù)，S叫做積分曲面,以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分,三個對坐標的曲面積分之和的簡記形式：,根據(jù)對坐標的曲面積分的定義，通過S流向指定側(cè)的流量m可 表示為,如果S是分片光滑的有向曲面，我們規(guī)定函數(shù)在S上對坐標的 曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和,在分片光滑的曲面上對坐標的曲面積分：,對坐標的曲面積分的性質(zhì)：,對坐標的曲面積分具有與對坐標的曲線積分類似的些性質(zhì) 例如： (1)如果把S分成S 1和S2，則,(2)設(shè)S是有向曲面，S表示與S取相反側(cè)的有向曲面，則,這是因為如果n cosa , cosb , cosg是S的單位法向量，則S上的 單位法向量是-n - cosa , - cosb , - cosg,二、對坐標的曲面積分的計算法,設(shè)積分曲面S由方程zz(x, y)給出，S在xOy面上的投影區(qū)域為 Dxy，函數(shù)zz(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù) R(x, y, z)在S上連續(xù)，則有,其中如果取曲面的上側(cè)則積分前帶正號，如果取曲面的下側(cè)則積 分前帶負號,這是因為,二、對坐標的曲面積分的計算法,設(shè)積分曲面S由方程zz(x, y)給出，S在xOy面上的投影區(qū)域為 Dxy，函數(shù)zz(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù) R(x, y, z)在S上連續(xù)，則有,其中如果取曲面的上側(cè)則積分前帶正號，如果取曲面的下側(cè)則積 分前帶負號,這是因為,二、對坐標的曲面積分的計算法,設(shè)積分曲面S由方程zz(x, y)給出，S在xOy面上的投影區(qū)域為 Dxy，函數(shù)zz(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù) R(x, y, z)在S上連續(xù)，則有,其中如果取曲面的上側(cè)則積分前帶正號，如果取曲面的下側(cè)則積 分前帶負號,類似地，如果S由xx(y, z)給出，則有,如果S由yy(z, x)給出，則有,問：如何確定積分前的符號？,W的整個表面的外側(cè)，W=(x, y, z) |0xa，0yb，0zc ,解 把有向曲面S分成以下六部分：,S1：zc (0xa, 0yb)的上側(cè)；,S2：z0 (0xa, 0yb)的下側(cè)；,S3：xa (0yb, 0zc)的前側(cè)；,S4：x0 (0yb, 0zc)的后側(cè)；,S5：yb (0xa, 0zc)的右側(cè)；,S6：y0 (0xa, 0zc)的左側(cè),除S3、S4外，其余四片曲面在 yO z 面上的投影為零，因此,例1,W的整個表面的外側(cè)，W=(x, y, z) |0xa，0yb，0zc ,解 把有向曲面S分成以下六部分：,S1：zc (0xa, 0yb)的上側(cè)；,S2：z0 (0xa, 0yb)的下側(cè)；,S3：xa (0yb, 0zc)的前側(cè)；,S4：x0 (0yb, 0zc)的后側(cè)；,S5：yb (0xa, 0zc)的右側(cè)；,S6：y0 (0xa, 0zc)的左側(cè),除S3、S4外，其余四片曲面在 yO z 面上的投影為零，因此,類似地可得,于是所求曲面積分為 (abc)abc,例1,在x0，y0的部分,解 把有向曲面S分成以下兩部分：,S1和S2在xOy面上的投影區(qū)域都是 D x y ：x2y21(x0, y0),S2,S1,在x0，y0的部分,解 把有向曲面S分成以下兩部分：,