對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)(2).ppt

,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對面積的曲面積分的計算,104 對面積的曲面積分,對面積的曲面積分,在分片光滑的曲面上的曲面積分,對面積的曲面積分的性質(zhì),對面積的曲面積分的計算公式,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),設(shè)f(x, y, z)為非均勻的曲面形金屬構(gòu)件S的面密度，則以下定 義曲面積分的過程可以看成是求曲面形金屬構(gòu)件質(zhì)量的過程。,定義 設(shè)曲面S是光滑的，函數(shù)f (x, y, z)在S上有界,分成n小塊Si (Si同時也代表第i小塊曲面的面積)，,Si上任意取定的一點，,把S任意,設(shè)(xi, hi, zi )是,作乘積 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, , n)，并作,這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對面積,其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù)，S叫做積分曲面,如果當各小塊曲面的直徑的最大值l0時，,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),設(shè)f(x, y, z)為非均勻的曲面形金屬構(gòu)件S的面密度，則以下定 義曲面積分的過程可以看成是求曲面形金屬構(gòu)件質(zhì)量的過程。,定義 設(shè)曲面S是光滑的，函數(shù)f (x, y, z)在S上有界,分成n小塊Si (Si同時也代表第i小塊曲面的面積)，,Si上任意取定的一點，,把S任意,設(shè)(xi, hi, zi )是,作乘積 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, , n)，并作,當f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時，對面積的曲面積分是存在 的今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù),對面積的曲面積分的存在性：,根據(jù)上述定義，面密度為連續(xù)函數(shù)f(x, y, z)的光滑曲面S的質(zhì) 量M，可表示為f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分:,如果S是分片光滑的，我們規(guī)定函數(shù)在S上對面積的曲線面積 分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和,在分片光滑的曲面上的曲面積分：,S1,S2,設(shè)S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S S1S2)，,例如，,就規(guī)定,對面積的曲面積分的性質(zhì)：,由對面積的曲面積分的定義 可知，它具有與對弧長的曲線積 類似的性質(zhì)，這里不再贅述,二、對面積的曲面積分的計算,前面已指出，面密度為連續(xù)函數(shù)f(x, y, z)的光滑曲面S的質(zhì)量 M，可表示為f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分:,另一方面，設(shè)積分曲面S由方程zz(x, y)給出，S在xOy面上的 投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)zz(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導數(shù)，則光滑曲 面S的質(zhì)量M也可用元素法來求：,S上任意點(x, y, z)處的面積元素為,質(zhì)量元素為,于是質(zhì)量,，,，,化曲面積分為二重積分：設(shè)積分曲面S由方程zz(x, y)給出， S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)zz(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏 導數(shù)，被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù)，則有,對面積的曲面積分的計算公式：,討論： 如果積分曲面S由方程yy(z, x)給出或由xx(y, z)給出，那么 f(x, y, z)在S上對面積的曲線面積分如何計算?,zh(0ha)截出的頂部,zh(0ha)截出的頂部,Dxy 為圓形閉區(qū)域：x2y2a 2h 2,于是,又,Dxy,所圍成的四面體的整個邊界曲面,其中S是由平面x0，y0，z0及x