2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1部分第2章圓錐曲線與方程2.2橢圓2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程講義含解析蘇教版選修.docx

22.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，2)問題1：若動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB6，設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則x，y滿足的關(guān)系式是什么？提示：由兩點(diǎn)間距離公式得6，化簡(jiǎn)得1.問題2：若動(dòng)點(diǎn)P滿足PCPD6，設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則x、y滿足什么關(guān)系？提示：由兩點(diǎn)間距離公式得6， 化簡(jiǎn)得1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)(0，c)a、b、c的關(guān)系c2a2b21標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件a，b，c三者之間a最大，b，c大小不確定，且滿足a2b2c2.2兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程具有共同的特征：方程右邊為1，左邊是兩個(gè)非負(fù)分式的和，并且分母為不相等的正值當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，含x項(xiàng)的分母大；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，含y項(xiàng)的分母大，已知橢圓的方程解題時(shí)，應(yīng)特別注意ab0這個(gè)條件待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，)，；(2)過點(diǎn)(，)，且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)思路點(diǎn)撥(1)由于橢圓焦點(diǎn)的位置不確定，故可分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況進(jìn)行討論也可利用橢圓的一般方程Ax2By21(其中A0，B0，AB)，直接求A，B.(2)求出焦點(diǎn)，然后設(shè)出相應(yīng)方程，將點(diǎn)(，)代入，即可求出a，b，則標(biāo)準(zhǔn)方程易得精解詳析(1)法一：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得即a24，b28，則a2b0矛盾，舍去綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0，B0，AB)將兩點(diǎn)(2，)，代入，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)樗髾E圓與橢圓1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c225916.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)閏216，且c2a2b2，故a2b216.又點(diǎn)(，)在橢圓上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.一點(diǎn)通求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟為：1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)P，Q.解：(1)由已知得：c4，a5.b2a2c225169.故所求橢圓方程為1.(2)設(shè)橢圓方程為Ax2By21.(A0，B0，AB)由已知得，解得：故所求橢圓方程為1.2求適合下列條件的橢圓的方程(1)焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(0,1)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，10)，P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.解：(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)橢圓經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(0,1)，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)P(0，10)在橢圓上，a10.又P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2，c(10)2，故c8，b2a2c236，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論例2已知方程x2sin y2cos 1(02)表示橢圓(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，求的取值范圍(2)若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，求的取值范圍思路點(diǎn)撥(1)已知的方程不是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)方程(2)對(duì)于橢圓方程1(m0，n0，mn)可由m，n的大小確定橢圓焦點(diǎn)的位置，列出三角不等式后求的范圍精解詳析將橢圓方程x2sin y2cos 1(02)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1(02)(1)若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則0，即所以0，即所以3或6a2.答案：(3，)(6，2)4已知方程1表示橢圓，求k的取值范圍解：方程1可化為1，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得得3k5，且k4.所以滿足條件的k的取值范圍是k|3k0，B0，AB)求解，避免了分類討論，達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(八) 1若橢圓1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_解析：由橢圓定義知，a5，P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a10，因此，到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5.答案：52橢圓25x216y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故焦點(diǎn)在y軸上，其中a2，b2，所以c2a2b2，故c.所以該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.答案：3已知方程(k21)x23y21是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是_解析：方程(k21)x23y21可化為1.由橢圓焦點(diǎn)在y軸上，得解之得k2或kb0)2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一：由9x25y245，得1，c2954，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0,2)，F(xiàn)2(0，2)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由點(diǎn)M(2，)在橢圓上，所以MF1MF22a，即2a4，所以a2，又c2，所以b2a2c28，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：由法一知，橢圓9x25y245的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0,2)，F(xiàn)2(0，2)，則設(shè)所求橢圓方程為1(0)，將M(2，)代入，得1(0)，解得8或2(舍去)所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.7如圖，設(shè)點(diǎn)P是圓x2y225上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且MDPD，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xP，yP)，由已知易得P在圓上，x2(y)225.即軌跡C的方程為1.8已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)A(3,0)，并且內(nèi)切于定圓B：(x3)2y264，求