2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章解析幾何初步7.3.2圓的一般方程學(xué)案湘教版.docx

73.2圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1正確理解圓的方程的形式及特點(diǎn)，會(huì)由一般式求圓心和半徑2會(huì)在不同條件下求圓的一般式方程知識(shí)鏈接1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，它的圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，可以利用代數(shù)法與幾何法進(jìn)行判斷預(yù)習(xí)導(dǎo)引1圓的一般方程的定義(1)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程x2y2DxEyF0叫作圓的一般方程，其圓心為，半徑為(2)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程x2y2DxEyF0表示點(diǎn)(3)當(dāng)D2E24F0)則其位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系代數(shù)關(guān)系點(diǎn)M在圓外xyDx0Ey0F0點(diǎn)M在圓上x(chóng)yDx0Ey0F0點(diǎn)M在圓內(nèi)xyDx0Ey0F0.也可將方程配方變?yōu)椤皹?biāo)準(zhǔn)”形式后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，觀察是否可以表示圓跟蹤演練1如果x2y22xyk0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的范圍是_答案解析由題意可知(2)2124k0，即k.要點(diǎn)二求圓的一般方程例2已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圓方程、圓心坐標(biāo)和外接圓半徑解法一設(shè)ABC的外接圓方程為x2y2DxEyF0，A，B，C在圓上，ABC的外接圓方程為x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.圓心坐標(biāo)為(1，1)，外接圓半徑為5.法二設(shè)ABC的外接圓方程為(xa)2(yb)2r2，A，B，C在圓上，解得即外接圓的圓心為(1，1)，半徑為5，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)225，展開(kāi)易得其一般方程為x2y22x2y230.法三kAB，kAC3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A為直角的直角三角形圓心是線段BC的中點(diǎn)，坐標(biāo)為(1，1)，r|BC|5.外接圓方程為(x1)2(y1)225.展開(kāi)得一般方程為x2y22x2y230.規(guī)律方法應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問(wèn)題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).跟蹤演練2已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，1)，求ABC的外接圓的方程解設(shè)ABC的外接圓的方程為x2y2DxEyF0，由題意得解得即ABC的外接圓方程為x2y28x2y120.要點(diǎn)三求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例3等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4，2)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)是B(3，5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么解設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)依題意，得|AC|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式，得，整理得(x4)2(y2)210.這是以點(diǎn)A(4，2)為圓心，以為半徑的圓，如上圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)B，C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3，5)又因?yàn)辄c(diǎn)B，C不能為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以4，且2，即點(diǎn)C不能為(5，1)故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x4)2(y2)210(除去點(diǎn)(3，5)和(5，1)，它的軌跡是以點(diǎn)A(4，2)為圓心，為半徑的圓，但除去(3，5)和(5，1)兩點(diǎn)規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題常用的方法直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿(mǎn)足的關(guān)系式定義法：當(dāng)列出的關(guān)系式符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程相關(guān)點(diǎn)法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨著圓上的另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程跟蹤演練3已知直角ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(1，0)和B(3，0)，求：直角頂點(diǎn)C的軌跡方程解法一設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳CBC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2y22x30(x3且x1)法二ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳CBC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x3且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2y22x30(x3且x1)1圓x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)答案D解析2，3，圓心坐標(biāo)是(2，3)2方程x2y2xyk0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()Ak BkCk Dk0k4F)表示的曲線關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，那么必有()ADE BDFCEF DDEF答案A解析方程所表示的曲線為圓，由已知，圓關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，所以圓心在直線yx上，即點(diǎn)在直線yx上，所以DE.故選A.4已知兩點(diǎn)A(2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C是圓x2y22x0上任意一點(diǎn)，則ABC的面積的最小值是()A3 B3C3 D.答案A解析直線AB的方程為xy20，由圓的方程得圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1，故圓心到直線AB的距離為d，所以，圓上任意一點(diǎn)到直線AB的最小距離為1，SABC的最小值|AB|23.5已知圓C：x2y22x2y30，AB為圓C的一條直徑，點(diǎn)A(0，1)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)答案(2，3)解析由x2y22x2y30得，(x1)2(y1)25，所以圓心C(1，1)設(shè)B(x0，y0)，又A(0，1)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，3)6點(diǎn)P(x0，y0)是圓x2y216上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是OP(O為原點(diǎn))的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是_答案x2y24解析設(shè)M(x，y)，則即又P(x0，y0)在圓上，4x24y216，即x2y24.7設(shè)圓的方程為x2y24x50.(1)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為P(3，1)，求直線AB的方程解(1)將x2y24x50配方得：(x2)2y29.圓心坐標(biāo)為C(2，0)，半徑為r3.(2)設(shè)直線AB的斜率為k.由圓的幾何性質(zhì)可知：CPAB，kCPk1.又kCP1，k1.直線AB的方程為y1(x3)，即：xy40.二、能力提升8圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20(a，bR)對(duì)稱(chēng)，則ab的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20(a，bR)對(duì)稱(chēng)，則圓心(1，2)在直線上，求得ab1，aba(1a)a2a，即ab的取值范圍是，故選A.9已知兩定點(diǎn)A(2，0)，B(1，0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積等于()A B4 C8 D9答案B解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由|PA|2|PB|得(x2)2y24(x1)24y2，即(x2)2y24.故點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積S4.10光線從點(diǎn)A(1，1)出發(fā)，經(jīng)y軸反射到圓C：(x5)2(y7)24的最短路程等于_答案62解析A(1，1)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(1，1)，所求的最短路程為|AC|2，|AC|6.所求的最短路程為62.11已知定點(diǎn)A(2，0)，圓x2y21上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，若線段AQ的中點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，Q(x1，y1)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式有即xy1，(2x2)2(2y)21，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x1)2y2.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以(1，0)為圓心，為半徑長(zhǎng)的圓三、探究與創(chuàng)新12設(shè)A(c，0)，B(c，0)(c0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a0)，求P點(diǎn)的軌跡解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由a(a0)得a2，化簡(jiǎn)得(1a2)x22c(1a2)x(1a2)c2(1a2)y20.當(dāng)a1時(shí)，方程化為x0；當(dāng)a1時(shí)，方程化為y2.所以當(dāng)a1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為y軸；當(dāng)a1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓13自點(diǎn)A(4，0)引圓x2y24的割線ABC，求弦BC中點(diǎn)P的軌跡方程解法一設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，連結(jié)OP，則OPBC.設(shè)P(x，y)