（黃岡名師）高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升練六十八12.9離散型隨機(jī)變量的均值與方差理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練六十八離散型隨機(jī)變量的均值與方差(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于()A.2 B.2或C.D.1【解析】 選C.由題意,+=1,a0,所以a=1,所以E(X)=0+1=.2.已知X的分布列為X-101P則在下列式子中E(X)=-;D(X)=;P(X=0)=,正確的個(gè)數(shù)是( )A.0B.1C.2D.3【解析】選C.由E(X)=(-1)+0+1=-,知正確;由D(X)= +=,知不正確;由分布列知正確.3.節(jié)日期間,某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元,銷(xiāo)售價(jià)為每束5元;節(jié)日賣(mài)不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理.根據(jù)前五年銷(xiāo)售情況預(yù)測(cè),節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若購(gòu)進(jìn)這種鮮花500束,則利潤(rùn)的均值為()A.706元B.690元 C.754元D.720元【解析】選A.由分布列可以得到E(X)=2000.2+3000.35+4000.3+5000.15=340,所以利潤(rùn)是(3405+1601.6)-5002.5=706(元).4.已知X是離散型隨機(jī)變量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,則D(2X-1)=()A.B.C.D.【解析】選B.因?yàn)閄是離散型隨機(jī)變量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,所以由已知得1+a=,解得a=2,所以D(X)=1-2+2-2=,所以D(2X-1)=22D(X)=4=.【變式備選】已知離散型隨機(jī)變量的概率分布如下:012P0.33k4k隨機(jī)變量=2+1,則的數(shù)學(xué)期望為()A.1.1B.3.2C.11kD.22k+1【解析】選B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1,所以E()=00.3+10.3+20.4=1.1,E()=2E()+1=21.1+1=3.2.5.如果XB(20,p),當(dāng)p=且P(X=k)取得最大值時(shí),k的值為()A.9B.10C.11D.12【解析】選B.當(dāng)p=時(shí),P(X=k)=,顯然當(dāng)k=10時(shí),P(X=k)取得最大值.二、填空題(每小題5分,共15分)6.有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次數(shù),則D(X)=_.【解析】因?yàn)閄B,所以D(X)=3=.答案:【變式備選】設(shè)隨機(jī)變量XB(8,p),且D(X)=1.28,則概率p的值是_.【解析】由D(X)=8p(1-p)=1.28,所以p=0.2或p=0.8.答案:0.2或0.87.設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下表所示:012Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,若隨機(jī)變量的均值為,則的方差為_(kāi).【解析】由題意有a+b+c=1,2b=a+c,b+2c=,解得a=,b=,c=,則其方差為D()=+=.答案:8.據(jù)統(tǒng)計(jì),一年中一個(gè)家庭萬(wàn)元以上的財(cái)產(chǎn)被竊的概率為0.005,保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年期萬(wàn)元以上家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn),交保險(xiǎn)費(fèi)100元,若一年內(nèi)萬(wàn)元以上財(cái)產(chǎn)被竊,保險(xiǎn)公司賠償a元(a1 000),為確保保險(xiǎn)公司有可能獲益,則a的取值范圍是_.【解題指南】轉(zhuǎn)化為求保險(xiǎn)公司在參保人身上的收益的期望問(wèn)題,由此列不等式求解.【解析】X表示保險(xiǎn)公司在參加保險(xiǎn)者身上的收益,其概率分布列為:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995100+(100-a)0.005=100-.若保險(xiǎn)公司獲益,則期望大于0,解得a20 000,所以a(1 000,20 000).答案:(1 000,20 000)三、解答題(每小題10分,共20分)9.若n是一個(gè)三位正整數(shù),且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱(chēng)n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”; (2)若甲參加活動(dòng),求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).【解析】(1)個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為=84,隨機(jī)變量X可能的取值為0,-1,1,因此P(X=0)=,P(X=-1)=,P(X=1)=1-=,所以X的分布列為X0-11P則E(X)=0+(-1)+1=.10.某牛奶廠要將一批牛奶用汽車(chē)從所在城市甲運(yùn)至城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且運(yùn)費(fèi)由廠商承擔(dān).若廠商恰能在約定日期(月日)將牛奶送到,則城市乙的銷(xiāo)售商一次性支付給牛奶廠20萬(wàn)元;若在約定日期前送到,每提前一天銷(xiāo)售商將多支付給牛奶廠1萬(wàn)元;若在約定日期后送到,每遲到一天銷(xiāo)售商將少支付給牛奶廠1萬(wàn)元.為保證牛奶新鮮度,汽車(chē)只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送牛奶,已知下表內(nèi)的信息:統(tǒng)計(jì)信息汽車(chē)行駛路線在不堵車(chē)的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間(天)在堵車(chē)的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間(天)堵車(chē)的概率運(yùn)費(fèi)(萬(wàn)元)公路1231.6公路2140.8(1)記汽車(chē)選擇公路1運(yùn)送牛奶時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為(單位:萬(wàn)元),求的分布列和均值E().(2)選擇哪條公路運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多?(注:毛收入=銷(xiāo)售商支付給牛奶廠的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi))【解析】(1)若汽車(chē)走公路1,不堵車(chē)時(shí)牛奶廠獲得的毛收入=20-1.6=18.4(萬(wàn)元);堵車(chē)時(shí)牛奶廠獲得的毛收入=20-1.6-1=17.4(萬(wàn)元),所以汽車(chē)走公路1時(shí)牛奶廠獲得的毛收入的分布列為:18.417.4PE()=18.4+17.4=18.3(萬(wàn)元).(2)設(shè)汽車(chē)走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為,則不堵車(chē)時(shí)牛奶廠獲得的毛收入=20-0.8+1=20.2(萬(wàn)元);堵車(chē)時(shí)牛奶廠獲得的毛收入=20-0.8-2=17.2(萬(wàn)元).所以汽車(chē)走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入的分布列為20.217.2PE()=20.2+17.2=18.7(萬(wàn)元).因?yàn)镋()E(),所以選擇公路2運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多.【變式備選】有甲、乙兩個(gè)建材廠,都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè),為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé),政府到兩建材廠抽樣檢查,他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo),其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度,在使用時(shí)要求選擇較高抗拉強(qiáng)度指數(shù)的材料,越穩(wěn)定越好.試從均值與方差的指標(biāo)分析該用哪個(gè)廠的材料.【解析】E(X)=80.2+90.6+100.2=9,D(X)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;E(Y)=80.4+90.2+100.4=9,D(Y)=(8-9)20.4+(9-9)20.2+(10-9)20.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),從而兩廠材料的抗拉強(qiáng)度指數(shù)平均水平相同,但甲廠材料相對(duì)穩(wěn)定,應(yīng)選甲廠的材料.(20分鐘40分)1.(5分)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6,他重復(fù)投籃5次,若他命中一次得10分,沒(méi)命中不得分;命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(X),D(Y)分別為()A.0.6,60B.3,12C.3,120D.3,1.2【解析】選C.XB(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=50.6=3, D(X)=50.60.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120.2.(5分)有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從這10件產(chǎn)品中任取兩件,用表示取到次品的件數(shù),則E()等于()A.B.C.D.1【解析】選A.服從超幾何分布P(=x)=(x=0,1,2),則P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.故E()=0+1+2=.3.(5分)已知X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1x2,若E(X)=,D(X)=,則x1+x2=_.【解析】由題意得,E(X)=x1+x2=,D(X)=+=,由得x1+x2=3.答案:34.(12分)某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,對(duì)25,55歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱(chēng)為“低碳族”,否則稱(chēng)為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組25,30)1200.6第二組30,35)195p第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組50,55150.3(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖,并求n,a,p的值.(2)從40,50)歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng),其中選取3人作為領(lǐng)隊(duì),記選取的3名領(lǐng)隊(duì)中年齡在40,45)歲的人數(shù)為X,求X的分布列和均值E(X).【解析】 (1)因?yàn)榈诙M的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)5=0.3,所以高為=0.06.頻率分布直方圖補(bǔ)全如下:因?yàn)榈谝唤M的人數(shù)為=200,頻率為0.045=0.2,所以n=1 000.第二組的頻率為0.065=0.3,故第二組的人數(shù)為1 0000.3=300,因此p=0.65.由題意可知,第四組的頻率為0.035=0.15,故第四組的人數(shù)為1 000 0.15=150,因此a=1500.4=60.(2)因?yàn)?0,45)歲年齡段的“低碳族”與45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為6030=21,所以采用分層抽樣法抽取18人,40,45)歲中有12人,45,50)歲中有6人.可知隨機(jī)變量X服從超幾何分布,所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以隨機(jī)變量X的分布列為:X0123P所以E(X)=0+1+2+3=2.【變式備選】(2018山東師大附中模擬)為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識(shí),某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)間是20,25),25,30), 30,35),35,40),40,45.(1)求圖中x的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中,年齡在35,40)歲的人數(shù).(2)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng),再?gòu)倪@20名中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法選取3名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及均值.【解析】(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e等于頻率,所以除35,40)外的頻率和為0.70,所以x=0.06.故500名志愿者中,年齡在35,40)歲的人數(shù)為0.065500=150(人).(2)用分層抽樣的方法,從中選取20名,則其中年齡“低于35歲”的人有12名,“年齡不低于35歲”的人有8名.故X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列為X0123P所以E(X)=0+1+2+3=.5.(13分)自2016年1月1日起,我國(guó)全面二孩政策正式實(shí)施,這次人口與生育政策的歷史性調(diào)整,使得“要不要再生一個(gè)”“生二孩能休多久產(chǎn)假”等成為千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)家庭在生育決策上避不開(kāi)的話題.為了解針對(duì)產(chǎn)假的不同安排方案形成的生育意愿,某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了200戶有生育二孩能力的適齡家庭進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):產(chǎn)假安排(單位:周)1415161718有生育意愿家庭數(shù)48162026(1)若用表中數(shù)據(jù)所得的頻率代替概率,面對(duì)產(chǎn)假為14周與16周,估計(jì)某家庭有生育意愿的概率分別為多少?(2)假設(shè)從5種不同安排方案中,隨機(jī)抽取2種不同安排分別作為備選方案,然后由單位根據(jù)單位情況自主選擇.求兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周的概率.如果用表示兩種方案休假周數(shù)和.求隨機(jī)變量的分布列及期望.【解析】(1)由表中信息可知,當(dāng)產(chǎn)假為14周時(shí)某家庭有生育意愿的概率為P1=;當(dāng)產(chǎn)假為16周時(shí)某家庭有生育意愿的概率為P2=.(2)設(shè)“兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周”為事件A,由已知從5種不同安排方案中,隨機(jī)地抽取2種方案選 法共有=10(種),其和不低于32周的選法有(14,18),(1