2020版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教B版.docx

23.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題知識點(diǎn)一拋物線的定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線知識點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xxyy1在平面內(nèi)，點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()2拋物線其實(shí)就是雙曲線的一支()3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程只需焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p就可以確定()題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)；(2)焦點(diǎn)為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線的方程解(1)因?yàn)辄c(diǎn)(3，1)在第三象限，所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p(3)，解得p；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p(1)，解得p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y.(2)對于直線方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，3)時(shí)，3，所以p6，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，4，所以p8，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x.反思感悟求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動點(diǎn)滿足的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程注意當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2ax或x2ay(a0)的形式，以簡化討論過程跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線的方程解(1)易知拋物線的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且，則p，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)方程為x22my(m0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|5，m5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x210y和x210y.題型二拋物線定義的應(yīng)用命題角度1利用拋物線定義求軌跡(方程)例2若位于y軸右側(cè)的動點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)題點(diǎn)解由于位于y軸右側(cè)的動點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動點(diǎn)M到F的距離與它到直線l：x的距離相等由拋物線的定義知動點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，其方程應(yīng)為y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0)反思感悟解決軌跡為拋物線問題的方法拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解后者的關(guān)鍵是找到滿足動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離且定點(diǎn)不在定直線上的條件，有時(shí)需要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件跟蹤訓(xùn)練2已知動圓M經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)，且與直線l：x3相切，求動圓圓心M的軌跡方程考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)動點(diǎn)M(x，y)，M與直線l：x3的切點(diǎn)為N，則|MA|MN|，即動點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x3的距離相等，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點(diǎn)，以直線l：x3為準(zhǔn)線，3，p6，故動圓圓心M的軌跡方程是y212x.命題角度2利用拋物線定義求最值或點(diǎn)的坐標(biāo)例3如圖，已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線上一點(diǎn)(1)若|PF|x0，求x0；(2)已知點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)求拋物線的最值問題題點(diǎn)根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值解(1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x，根據(jù)拋物線的定義可得，x0|PF|x0，解得x02.(2)如圖，作PQl于Q，由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，由圖可知，求|PA|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的最小值的問題將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內(nèi)部由圖可知，當(dāng)PAl時(shí)，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x02.點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)引申探究若將本例中的點(diǎn)A(3,2)改為點(diǎn)(0,2)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值解由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離由圖可知，P點(diǎn)，(0,2)點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，所以最小距離d.反思感悟拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求此拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用解設(shè)焦點(diǎn)為F，M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d，則d|MF|10，即910，p2，拋物線方程為y24x.將M(9，y)代入拋物線的方程，得y6.M點(diǎn)坐標(biāo)為(9,6)或(9，6)拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題典例河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時(shí)，小船開始不能通航？考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船開始不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開始不能通航素養(yǎng)評析首先確定與實(shí)際問題相匹配的數(shù)學(xué)模型此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識解決此問題，操作步驟為：(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(3)計(jì)算：通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)求解：求出需要求出的量(5)還原：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題.1拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2答案A解析由yx2，得x24y，則拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且2p4，即p2，因此準(zhǔn)線方程為y1.2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在雙曲線1上，則拋物線方程為()Ay28xBy24xCy22xDy28x答案D解析由題意知拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線1的頂點(diǎn)，即為(2,0)或(2,0)，所以拋物線的方程為y28x或y28x.3已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0等于()A4B2C1D8答案C解析如圖，F(xiàn)，過A作AA準(zhǔn)線l，|AF|AA|，x0x0x0，x01.4若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離少1，則動點(diǎn)P的軌跡方程是_考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義確定軌跡及軌跡方程答案y216x解析點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離少1，點(diǎn)P到直線x4的距離和它到點(diǎn)(4,0)的距離相等根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(4,0)為焦點(diǎn)，以直線x4為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，4，動點(diǎn)P的軌跡方程為y216x.5設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值解如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到F的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為.1焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2mx(m0)，此時(shí)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2my(m0)，此時(shí)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為y.2設(shè)M是拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑若M(x0，y0)在拋物線y22px(p0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|x0.3對于拋物線上的點(diǎn)，利用定義可以把其到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，也可以把其到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，因此可以解決有關(guān)距離的最值問題一、選擇題1拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(2,0) B(2,0)C(4,0) D(4,0)答案B解析y28x，p4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)2已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x.由題設(shè)知1，即p2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選B.3已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與圓(x3)2y216相切，則p的值為()A.B1C2D4答案C解析拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x，它與圓相切，所以必有34，p2.4設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A4B6C8D12答案B解析由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是426.5過點(diǎn)F(0,3)，且和直線y30相切的動圓圓心的軌跡方程為()Ay212xBy212xCx212yDx212y答案C解析由題意，知動圓圓心到點(diǎn)F(0,3)的距離等于到定直線y3的距離，故動圓圓心的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線y3為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為x212y.6已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()AB1CD答案C解析因?yàn)閽佄锞€C：y22px的準(zhǔn)線方程為x，且點(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上，故2，解得p4.所以拋物線方程為y28x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，這時(shí)直線AF的斜率kAF.7O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|4，則POF的面積為()A2B2C2D4答案C解析拋物線C的準(zhǔn)線方程為x，焦點(diǎn)F(，0)，由|PF|4及拋物線的定義知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP3，從而縱坐標(biāo)yP2.SPOF|OF|yP|22.二、填空題8若拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則a_.答案解析yax2可化為x2y.準(zhǔn)線方程為y2，a0)的左焦點(diǎn)在拋物線y22px的準(zhǔn)線上，則p為_答案解析由題意知，左焦點(diǎn)為，則c.a23，b2，3，得p.10拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是_答案解析拋物線方程化為x2y，準(zhǔn)線為y.由于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離也為1，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)等于1.11已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_考點(diǎn)求拋物線的最值問題題點(diǎn)根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值答案2解析如圖所示，動點(diǎn)P到l2：x1的距離可轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)F的距離，由圖可知，距離和的最小值，即F到直線l1的距離d2.三、解答題12已知拋物線的方程如下，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y2a2x(a0)考點(diǎn)拋物線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)與準(zhǔn)線、焦點(diǎn)有關(guān)的簡單幾何性質(zhì)解(1)由方程y26x，知拋物線開口向左，2p6，p3，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(2)將3x25y0變形為x2y，知拋物線開口向下，2p，p，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.(3)由方程y2a2x(a0)知拋物線開口向右，2pa2，p，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.13已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過1的一個(gè)焦點(diǎn)，且與x軸垂直又拋物線與此雙曲線交于點(diǎn)，求拋物線和雙曲線的方程考點(diǎn)拋物線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合的有關(guān)問題解因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其準(zhǔn)線垂直于x軸，所以可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)將點(diǎn)代入方程，得p2，所以拋物線方程為y24x.準(zhǔn)線方程為x1.由此知雙曲線方程中c1，焦點(diǎn)為(1,0)，(1,0)，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差2a1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.14(2018濰坊聯(lián)考)已知P為拋物線y24x上一個(gè)動點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案1解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，圓x2(y4)21的圓心為C(0,4)，半徑r1，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離之和最小，為|FC|r1.15已知曲線C上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與到